По аналогии с теоремой 11.3.1 мы покажем, что оценки $\S 12.3$ равномерны относительно объема $|\Lambda|$ области $\Lambda$. Поскольку полиномиальная функция $Q$, которую требуется оценить, не представима в виде суммы четного полинома и линейного члена, мы не можем пользоваться монотонностью функционала $S_{\Lambda}$ по $\Lambda$. Поэтому потребуется другая серия оценок по методу многократных отражений. Мы воспользуемся методом несимметричных отражений, развитым в $\S 10.6$. Преимущество этого общего метода состоит в том, что от полинома взаимодействия $P$ требуется лишь полуограниченность, а в остальном он может быть произвольным. В частности, в этом параграфе полином $P$ необязательно имеет вид четный полином + линейный член.

Ниже $K$ и $\Lambda$ будут прямоугольниками, причем $K \subset \Lambda$. Мы предполагаем, что $\Lambda$ выбирается из некоторой специальной последовательности прямоугольников $\Lambda_{v} \uparrow \infty$, зависящей от $K$. Все эти соглашения имеют чисто технический характер и не мешают делать заключения о предельной мере в бесконечном объеме.
Теорема 12.4.1. Существуют такие константы с и в, что для лобых $x<x^{\prime}<\infty$ и произвольного прямоугольника $К$, длины сторон которого отделены от нуля, найдется последовательность прямоугольников $\Lambda_{
u} \uparrow R^{2}$, для которых верны неравенства
\[
\begin{array}{c}
\int \exp \left(: \varphi_{\varkappa}^{j}(g):\right) d \mu_{\Lambda_{l}} \leqslant \exp \left(c\left\{|K|+\|g\|_{L_{p}}^{p}\right\}\right), \\
\int \exp \left(: \varphi_{\varkappa}^{j}(g)-\varphi_{\varkappa^{\prime}}^{j}(g):\right) d \mu_{\Lambda_{l}} \leqslant x^{-\varepsilon} M(g) \exp \left(c\left\{|K|+\|g\|_{L_{p}}^{p}\right\}\right),
\end{array}
\]

при условии что supp $g \subset K$.
Доказательство. Вначале выберем прямоугольники $\Lambda_{v}$ и $K$ с общим центром и параллельными сторонами. Пусть $K$-прямоугольник размера $l \times t$, а $\Lambda_{v}$ – размера $\left(2 L_{v}+l\right) \times\left(2 T_{v}+t\right)$. Будем считать, что $T_{v}$ намного больше $L_{v}+l$, и рассмотрим соответствующую последовательность $\Lambda_{
u} \uparrow R^{2}$. Мы займемся выводом ощенок при фиксированном $v$ и, таким образом, опустим индекс $v$ у $\Lambda_{v}, L_{v}$, $T_{v}$. Полученные оценки окажутся равномерными по $v$. Без ограничения общности
(a)
(b)

Рис. 12.1. (a) до и (b) после отражения.

будем также считать, что $l \leqslant L$. Осью, относительно которой мы сделаем первое отражение, будет одна из сторон прямоугольника $K$. Она не является осью симметрии ни для прямоугольника $\Lambda$, ни для линии граничных условий $B$. Таким образом, мы используем несимметричную форму свойства положительности при отражениях (предложение 10.6.1). Выбранная нами ось разрезает прямоугольник $\Lambda$ на две части; пусть $\Lambda_{+}$- та из них, которая содержит $K$. Тогда в формуіе (10.6.8) $A=I$, а мнокитель, содержащий $A$, в силу нормировки, обращается в единицу. Это преобразование назовем основным шагом (рис 12.1).

Далее, как и в доказательстве теоремы 11.3.1, основной шаг повторяется несколько раз. После $n$ повторений получим области $K^{(n)}, \Lambda^{(n)}$ и функцию $B^{(n)}$, причем $\left|\Lambda^{(n)}\right| \leqslant 4\left|K^{(n)}\right|$ для большого $n$. Пусть $B=B^{(0)}=\exp \left(: \varphi_{x}(g):\right)$. После $n$ последовательных отражений получаем неравенство
\[
\begin{aligned}
\left|\int B d \mu_{\Lambda}\right| \leqslant \prod_{j=1}^{n}\left[\left(\frac{Z_{+}^{(j)} Z_{-}^{(j)}}{Z^{(j)}}\right)^{2-j} \operatorname{det}(\right. & \left.\left.C^{(j)-2} C_{+}^{(j)} C_{-}^{(j)}\right)^{2^{-j-1}}\right] \times \\
& \times\left(\int \overline{\left.\theta B^{(n-1)} B^{(n-1)} d \mu_{\Lambda^{(n)}}\right)^{2-n} .}\right.
\end{aligned}
\]

Выше мы предположнм, что (в обозначениях рис. 12.1) для достаточно большого $T(2 L+l)$ выполняется неравенство $L+l \ll T(2 L+l) \leqslant T^{2}$. Прямоугольник $\Lambda$, удовлетворяющий этим требованиям, должен быть очень вытянутым. Қак было сказано, первое отражение делается относительно вертикальной стороны $K$. Если $j_{0}$ и $j_{1}$ выбраны так, что $2^{j_{0}} t<2 T+t \leqslant 2^{f_{0}+1} t$ и $2^{j_{1}} l<2 L+l \leqslant 2^{f_{1}+1} l$, то
Г.1. 12 Регулярность поля и проверка аксиол
мы сделаем $j_{0}$ отражений относительно вертикальной оси и $j_{1}$ относительно горнзонтальной.

Оценим каждый из сомножителей правой части (12.4.1). Сначала оценим определители с помощью теоремы 10.6.2. Для начальных $j_{0}$ отражений относительно вертикальной оси выполнены соотношения
\[
L_{i}=2 L+l, \quad\left(T_{j}\right)_{-}=T, \quad\left(T_{i}\right)_{+}=T+2^{i-1} t .
\]

Поэтому $L_{j} /\left(T_{j}\right)_{ \pm} \leqslant(2 L+l) / T \leqslant 1$, и эти определители ограничены выражением $\prod_{j=1}^{j_{0}} O(1)^{2^{-j}} \leqslant O(1)$.

Для отражений относительно горизонтальной оси выполнены аналогичные соотношения
\[
\left(L_{j_{0}+k}\right)_{-}=L, \quad\left(L_{j_{0}+k}\right)_{+}=L+2^{k-1} l, \quad T_{f_{0}+k}=2 T+2^{f_{0}} t .
\]

Поскольку $L \geqslant 1, T_{J_{0}+k} /\left(L_{j_{0}+k}\right)_{ \pm} \leqslant\left(2 T+2^{j_{0}} t\right) / L \leqslant 2^{j_{0}+2} t$. Следовательно, определители, отвечающие индексам $j_{0}<j \leqslant j_{0}+j_{1}$, мажорируются величиной
\[
\prod_{k=1}^{j_{1}} \exp \left[O\left(2^{j_{0}} t\right) 2^{-j_{0}-k}\right] \leqslant \exp (O(t)) \leqslant \exp (O(|K|)) .
\]

Теперь рассмотрим произведение функций $Z$. После частичного сокращения (в силу равенства $Z_{+}^{(j)}=Z^{(j+1)}$ ) это произведение принимает вид
\[
\left(\prod_{j=1}^{j_{0}+j_{1}}\left(\frac{Z_{-}^{(j)}}{Z_{-}^{(1)}}\right)^{2-j}\right)\left(\frac{Z_{+}^{\left(j_{0}+j_{1}\right)}}{Z^{(1)}}\right)^{2^{-\left(f_{0}+j_{1}\right)}} \cdot
\]

В силу двусторонней оценки (10.3.8), функции $Z$ ограничены снизу и сверху. Поэтому сомножитель с $Z_{+}$можно оценить с помощью приведенных выше соотношений для площадей $\Lambda^{(n)}, n=j_{0}+j_{1}$. Имеем
\[
\left(Z_{+}^{(n)} / Z^{(1)}\right)^{2^{-n}} \leqslant \exp \left(O(T L) 2^{-n}\right) \leqslant \exp (O(t l))=\exp (O(|K|)) .
\]

С учетом предложения 12.3 .2 подобные оценки можно применить и к интегралу в правой части (12.4.1). Это приводит к появлению множителя exp[const $\left.N^{\prime}(g)\right]$. (Здесь мы считаем функцию $f$ фиксированной.)

Пусть $Z(a, b)$ обозначает нормируюшую статистическую сумму для прямоугольники $a \times b$. Тогда
\[
\begin{array}{lc}
Z^{(1)}=Z(2 T+t, 2 L+l), \\
Z_{-}^{(j)}=Z(2 T, 2 L+l), & \quad 1 \leqslant j \leqslant j_{0}, \\
Z_{-}^{(j)}=Z\left(2 T+2^{j_{0}} t, 2 L\right), \quad j_{0}+1 \leqslant j \leqslant j_{0}+i_{1}=n .
\end{array}
\]

Поэтому оставшееся отношение в произведении (12.4.2) сводится к выражению
\[
\left(\frac{Z(2 T, 2 L+l)}{Z(2 T+t, 2 L+l)}\right)^{1-2^{-J_{0}}} \cdot\left(\frac{Z\left(2 T+2^{J_{0}} t, 2 L\right)}{Z(2 T+t, 2 L+l)}\right)^{2-j_{0}\left(1-2^{-j_{1}}\right)} .
\]

Второй сомножитель в произведении (12.4.3) оценивается при помощи дополнительных несимметричных отражений относительно горизонтальной оси. В самом деле, в силу предыдущих рассуждений и неравенства (10.6.8),
\[
Z\left(2 T+2^{j_{0}} t, 2 L\right) \leqslant e^{O(T)} Z\left(2 T+2^{j_{0}} t, 2 L-t\right)^{1 / 2} Z\left(2 T+2^{j_{0}} t, 2 L+l\right)^{1 / 2} .
\]

Применив это неравенство $j_{1}$ раз, мажорируем второй сомножитель в произведении (12.4.3) выражением
\[
\begin{array}{l}
e^{O(|K|)}\left(\frac{Z\left(2 T+2^{j_{n}} t, 2 L-\left(2^{j_{1}}-1\right) l\right)}{Z(2 T+t, 2 L+l)}\right)^{2^{-j_{0}}\left(1-2^{-j_{1}}\right) 2^{-j_{1}}} \\
\times\left(\frac{Z\left(2 T+2^{j_{0}} t, 2 L+l\right)}{Z(2 T+t, 2 L+l)}\right)^{2-J_{0}\left(1-2^{-l_{1}}\right)\left(1-2-j_{1}\right)} . \\
\end{array}
\]

Снова пользуясь двусторонней оценкой (10.3.8), установим, что последнее выражение не превосходит
\[
e^{O(|K|)}\left(\frac{Z\left(2 T+2^{j_{0}} t, 2 L+l\right)}{Z(2 T+t, 2 L+l)}\right)^{2-j_{0}\left(1-2^{\left.-j_{1}\right)^{2}}\right.} .
\]

Оставшаяся часть доказательства посвящена асимптотическому анализу функции $Z(t, l)$ при фиксированном $l$ и $t \rightarrow \infty$. Воспользуемся конструкцией гл. 6 и рассмотренным в гл. 11 предельным переходом к бесконечному объему применительно к прямоугольнику $t \times l$ при фиксированном $l$ и $t \rightarrow \infty$. Получим гамильтониан $H_{l}$ и полугруппу $e^{-t H_{l}}$, ассоциированные с интервалом длины $l$ и граничными условиями Дирихле. В силу выбора вектора $\psi_{l}$, имеем
\[
Z(t, l)=\left\langle\psi_{l}, e^{-t H_{l}} \psi_{t}\right\rangle=\int e^{-\lambda t} d \rho_{l}(\lambda),
\]

где $d \rho_{l}$-спектральная мера, определенная гамильтонианом $H_{t}$ и вектором $\psi_{l}$. Пусть $E_{l}=\inf$ supp $d \rho_{l}$. Тогда
\[
Z(t, l)=O\left(e^{-t E_{l}}\right) \quad \text { при } \quad t \rightarrow \infty .
\]

В силу нормировки, введенной в гл. $6, H \geqslant 0$, и поэтому $E_{l} \geqslant 0$. В частности, выражение (12.45) ограничено сверху величной
\[
e^{O(|K|)} \exp \left[-\left(2^{J_{0}}-1\right) t E_{2 L+l^{2}} 2^{-J_{0}}\left(1-2^{-j_{1}}\right)\left(1-2^{-j_{1}}\right)\right] .
\]

Для того чтобы получить оценку первого множителя в произведении (12.4.3), воспользуемся спектральной теоремой. Она дает следующее усиление соотношения (12.4.6):
\[
\frac{Z(2 T, 2 L+l)}{Z(2 T+t, 2 L+l)} \leqslant 2 e^{t E_{2 L+l}} \quad \text { при } \quad T \rightarrow \infty,
\]

где $l, t$ и $L$ фиксированы. При этом $T(2 L+l)$ выбрано так, чтобы при минимальном $T$ имело место неравенство (12.4.8). Заметим, что, вообще говоря, произведение $T(2 L+l)$ могло бы зависеть и от $t$, но спектральная теорема исключает такую возможность. Итак,
\[
\begin{aligned}
\exp \left[-\operatorname{const} N^{\prime}(g)\right]\left|\int B d \mu_{\Lambda}\right| \leqslant e^{O(|K|)} \exp \left[t E_{2 L+l}\left(1-2^{-j_{0}}\right)\right] \times \\
\quad \times \exp \left[-t E_{2 L+l}\left(1-2^{-j_{0}}\right)\left(1-2^{-j_{1}}\right)^{2}\right] \leqslant e^{O(|K|)} \exp \left[t E_{2 L+l}\left(O\left(2^{-J_{1}}\right)\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Однако, в силу двусторонней оценки (10.3.8), $\quad\left|E_{2 L+1}\right| \leqslant O(2 L+l) \leqslant O\left(2^{j l} l\right)$, поэтому
\[
\exp \left[- \text { const } N^{\prime}(g)\right]\left|\int B d \mu_{\Lambda}\right| \leqslant e^{O(|K|)} e^{O(t t)}=e^{O(|K|)} .
\]

Этим доказано первое неравенство теоремы. Второе доказывается аналогично, с той лишь разницей, что вместо первого неравенства предложения 12.3 .2 следует воспользоваться вторым.

Гл. 12. Регнятность поля и проверка аксиом
Доказательство теоремы 12.2.1. По теореме 11.2.1 функции Швингера для взаимодействия: $\varphi_{x}^{j}$ : сходятся и в пределе определяют в пространстве $L_{2}(d \mu)$ поле $: \varphi_{x}^{j}:$ : По теореме 12.4 .1 и интегральной формуле Коши (как и в доказательстве следствия 12.2.4) эти функции Швингера допускают оценки, из которых следует суммируемость экспоненты. Соответствующие оценки равномерны относительно $\Lambda$ и, следовательно, верны для $\Lambda=R^{2}$. Поэтому при $x<\infty$ интеграл $\int \exp \left(: \varphi_{\chi}^{\prime}\left(g_{j}\right):\right) d \mu_{\Lambda}$ сходится. В силу равномерных оценок теоремы 12.4.1 и стандартиых $3 \varepsilon$-рассуждений, сходится также интеграл $\int \exp \left(: \varphi^{j}\left(g_{j}\right):\right) d \mu_{\Lambda}$. Аналогично доказынаются и остальные неравенства.

Сформулируем теперь теорему об оценках по методу отражений, которые являются для нас основным средством исследования.
Теорема 12.4.2. Предположим, что $\Lambda$-прямоугольник $L \times T$, мера $\mu_{\Lambda}$ определена формулами (11.2.1-3) и при некоторой постоянной а выполнена равномерная оценка
\[
\exp (-a|\Lambda|) \leqslant Z(\Lambda) \leqslant \exp (a|\Lambda|) .
\]

Пусть В-функция поля $\varphi$, локализованная в прямоугольнике $К є \Lambda$, причем $К$ и имеют параллельные стороны и длины сторон прямоугольника $К$ отделены от нуля. Пусть функция $B^{(n)}$ есть результат п отражений функции $B$, локализованный, как $u$ выше, в множестве $K^{(n)} \subset \Lambda^{(n)}$. Тогда для достаточно большого $T$ (т. е. $T \geqslant T_{0}=T_{0}(L, P, m)$ ) справедливо неравенство
\[
\left|\int B d \mu_{\Lambda}\right| \leqslant e^{\text {const } \mid K I}\left(\int B^{(n)} d \mu_{\Lambda^{(n)}}\right)^{2^{-n}},
\]

причем константа зависит только от постоянной а.
Доказательство. Следуем доказательству теоремы 12.4.1, но вместо неравенства (10.3.8) используем (12.4.9).