В этом параграфе мы покажем, что для векторных моделей в размерности $d \geqslant 3$ имеет место нарушение симметрии и существуют фазовые переходы первого рода. Это утверждение дополняет результат предыдущего параграфа о сохранении симметрии в таких системах при $d=2$. Методы, рассматриваемые ниже, применимы также к случаю непрерывного поля $\left(\varphi^{2}\right)^{2}$ в размерности $d=3$.
Для того чтобы избежать некоторых технических трудностей, мы будем изучать решеточную модель с периодическими граничными условиями. Мы предполагаем существование предельной меры при переходе к бесконечному объему и не доказываем, что периодические граничные условия в пределе эквивалентны условиям Дирихле, используемым в других местах книги.
Рассмотрим гамильтониан (на периодической решетке)
\[
H(\Lambda)=-\sum_{\substack{l, i=j=1 \\ i, j \in \Lambda}} \varphi_{i} \cdot \varphi_{j}-\sum_{j \in \Lambda} \mathbf{h} \cdot \boldsymbol{\varphi}_{j}
\]

и распределение отдельного спина $d \mu_{i}(\varphi)$, убывающее на бесконечности быстрее любого гауссова распределения. Таким образом, предполагается, что для любого $a<\infty$
\[
\int e^{a|\oplus|^{2}} d \mu_{i}(\varphi)<\infty,
\]

где $d \mu_{i}(\varphi)$ – положительная $S O(n)$-инвариантная мера в $R^{n}$. Мы предполагаем, что шаг решетки равен 1 , так что при преобразовании Фурье компоненты импульса $p_{\alpha} \in[-\pi, \pi]$. Распределение отдельного спина можно, например, выбрать в виде

или
\[
d \mu_{i}(\varphi)=\exp [-P(|\varphi|)] d \varphi
\]
\[
d \mu_{i}(\varphi)=\delta\left(|\varphi|^{2}-1\right) d \varphi .
\]

Мера $d \mu_{\Lambda}$ в объеме $\Lambda$ определяется выражением
\[
d \mu_{\Lambda}=Z^{-1} \exp [-\beta H(\Lambda)] \prod_{i \in \Lambda} d \mu_{i}\left(\varphi_{i}\right) .
\]

Так как гамильтониан $H(\Lambda)$ вида (16.4.1) с периодическими граничными условиями инвариантен относительно группы симметрий $S O(n)$, то в изучаемых моделях
\[
\langle\varphi\rangle\rangle=0 \quad \text { при } \quad \mathbf{h}=0 .
\]

Рассмотрим двухточечную функцию $\left\langle\varphi_{0} \cdot \varphi_{l}\right\rangle$. Ее преобразование Фурье в предельном переходе к бесконечному объему равно
\[
\widetilde{S}(p)=(2 \pi)^{-d / 2} \sum_{l \in Z^{d}} e^{-i p \cdot l}\left\langle\varphi_{0} \cdot \varphi_{l}\right\rangle .
\]

Доказательство существования фазовых переходов, предложенное в работе [Fröhlich, Simon, Spencer, 1976], основано на инфракрасной (или градиентной) оценке; см. также [Glimm, Jaffe, 1970a].
Теорема 16.4.1. Существует такая константа $c>0$, что
\[
0 \leqslant \tilde{S}(p)-(2 \pi)^{d / 2} c \delta(p) \leqslant \frac{n}{4 \beta \sum_{\alpha=1}^{d} \sin ^{2}\left(p_{\alpha} / 2\right)} .
\]

Замечание 1. Если шаг решетки равен $\varepsilon$, то мы получаем в знаменателе $\varepsilon^{-2} \sin ^{2}\left(\varepsilon p_{\alpha} / 2\right)$ вместо $\sin ^{2}\left(p_{\alpha} / 2\right)$, и $4 \varepsilon^{-2} \quad \sum \sin ^{2}\left(\varepsilon p_{\alpha} / 2\right) \rightarrow p^{2}$ при $\varepsilon \rightarrow 0$.

Замечание 2. Собственные значения решеточного оператора Лапласа $\Delta_{p}$ с периодическими граничными условиями равны
\[
-4 \sum_{\alpha=1}^{d} \sin ^{2}\left(p_{\alpha} / 2\right), \quad p_{\alpha} \in\left\{ \pm 2 \pi n_{\alpha} / L: 0 \leqslant n_{\alpha} \leqslant[L / 2]\right\},
\]

где $L=|\Lambda|^{1 / d}$ – целое число, равное длине ребра куба $\Lambda$, и $n_{\alpha}=0,1,2, \ldots,[L / 2]$. Соответствующие собственные функцин имеют вид $|\Lambda|^{-1 / 2} \exp \left(i\left(p_{1} l_{1}+p_{2} l_{2}+\ldots+p_{i} l_{d}\right)\right)$. Таким образом, правая часть (16.4.7) ннтегрируема и ее интеграл ограничен равномерно по $L \geqslant 1, d \geqslant 3$.
Следствие 16.4.2. Усеченная двухточечная функция
\[
\left\langle\varphi_{0} \cdot \varphi_{l}\right\rangle^{T} \equiv\left\langle\varphi_{0} \cdot \varphi_{l}\right\rangle-\left\langle\varphi_{0}\right\rangle \cdot\left\langle\varphi_{l}\right\rangle
\]

стремится к нулю при $|l| \rightarrow \infty$ в том и только в том случае, если
\[
\langle\varphi t\rangle^{2}=c .
\]

Доказательство. Поскольку выражение (16.4.7) интегрируемо, обратное преобразование фурье по лемме Римана – Лебега стремится на бесконечности к нулю. Поэтому
\[
\left\langle\varphi_{0} \cdot \varphi_{l}\right\rangle=(2 \pi)^{-\left.d\right|^{2}} \int_{\left|p_{\alpha}\right| \leqslant \pi} \tilde{S}(p) e^{i l \cdot p} d p \rightarrow c .
\]

Прежде чем доказывать теорему 16.4.1, мы докажем с ее помощью существование фазового перехода для $n$-компонентной модели Изинга при $d \geqslant 3$.
Теорема 16.4.3. Пусть $d \geqslant 3$ и $\beta$ достаточно велико, так что
\[
(2 \pi)^{-d / 2} n \int_{-\pi}^{\pi} \ldots \int_{-\pi}^{\pi}\left[4 \sum_{a=1}^{d} \sin ^{2}\left(p_{\alpha} / 2\right)\right]^{-1} d p<\beta .
\]

В предположении, что распределение отдельного спина имевт вид (16.4.4) $u \mathrm{~h} \equiv 0$,
\[
\lim _{l l \rightarrow \infty}\left\langle\varphi_{0} \cdot \varphi_{l}\right\rangle^{T}
eq 0 .
\]

При этом равновесное состояние в бесконечном обтеме не является чистой фазой.

Доказательство. Поскольку $d \geqslant 3$, интеграл в (16.4.10) конечен. По теореме 16.4.1 и в силу условия (16.4.10),
\[
\begin{aligned}
\left\langle\varphi_{0}^{2}\right\rangle-c & =(2 \pi)^{-d / 2} \int \tilde{S}(p) d p-c \leqslant \\
& \leqslant(2 \pi)^{-d / 2}(n / \beta) \int\left[4 \sum_{\alpha=1}^{d} \sin ^{2}\left(p_{\alpha} / 2\right)\right]^{-1} d p<1 .
\end{aligned}
\]

Однако в случае ротатора (16.4.4) $\varphi_{\mathrm{J}}^{2}=1$. Поэтому $c>0$. Так как $\langle\varphi\rangle=0$ в силу (16.4.6), то из (16.4.9) следует, что $\left\langle\varphi_{0} \cdot \varphi_{l}\right\rangle^{T}$ не стремится к нулю при $|l| \rightarrow \infty$. Последнее утверждение теоремы вытекает из доказательства предложения 16.1 .3 , в котором показано, что равновесное состояние не является чистой фазой.
Замечание. Теорема применима и к обычной модели Изинга $(n=1)$. В этом случае из теоремы Ли – Янга (теорема 4.5.1) следует, что $\lim _{l \mid \rightarrow \infty}\left\langle\varphi_{0} \varphi_{l}\right\rangle^{T}=0$ при $h>0$. В силу следствия 16.4.2, $\langle\varphi\rangle^{2}=c$. Пусть
\[
1-\bar{c}=(2 \pi)^{-d / 2}(n / \beta) \int\left[4 \sum_{\alpha=1}^{d} \sin ^{2}\left(p_{\alpha} / 2\right)\right]^{-1} d p
\]

так что неравенство (16.4.11) можно переписать в виде $1-c \leqslant$ $\leqslant 1-\bar{c}$, или $\vec{c} \leqslant c$. Следовательно, константа $c$ отделена от нуля равномерно по $h>0$ и $\lim _{h \rightarrow 0}\left\langle\varphi_{l}\right\rangle_{h}
eq 0$. Таким образом, в модели Изинга (как было ранее показано в § 5.4) имеется спонтанная намагниченность при низких температурах. Теорема Ли – Янга доказана также для моделей ротаторов с числом компонент $n=2,3$ [Dunlop, Newman, 1975], [Dunlop, 1979a, b], поэтому приведенные выше рассуждения дают такое
Следствие 16.4.4. В модели ротаторов с числом компонент $n=1$, 2,3 в размерности $d \geqslant 3$ при достаточно больших $\beta$ имеется спонтанная намагниченность:
\[
\lim _{h^{1} \rightarrow 0}\left\langle\varphi_{l}\right\rangle_{h^{1}}
eq 0
\]

Докажем теперь неравенство (16.4.7). Мы будем пользоваться обозначениями $\S 9.5$ для градиента функции на решетке. Введем также следующее обозначение. Пусть функции $\varphi(l)$ и $\mathbf{f}(l)$ опреде. лены на решетке $Z^{d}$ и принимают значения в $R^{n}$. Тогда $\varphi(\mathrm{f})=$ $=\sum_{l \in Z^{d}} \varphi(l) \cdot \mathbf{f}(l)$. Приводимое ниже доказательство следует работе [Fröhlich, Spencer, 1977].
Лемма 16.4.5. Пусть д обозначает прямой решеточный градиент. Пусть функции $\mathfrak{f}_{\alpha} E l_{2}\left(Z^{d}\right), \alpha=1, \ldots, d$, и принимают значения в $R^{n}, f=\left\{\mathfrak{f}_{\alpha}\right\} \in\left(l_{2}\left(Z^{d}\right)\right)^{d}$. Тогда
\[
\left\langle\exp \left(\sum_{a=1}^{d} \varphi\left(\partial_{\alpha} \mathbf{f}_{a}\right)\right)\right\rangle \leqslant \exp \left((2 \beta)^{-1}\|f\|_{l_{2}}^{2}\right),
\]

где $\|f\|_{l_{2}}^{2}=\sum_{l, a} \mathbf{f}_{a}(l)^{2}$.
Доказательство теоремы 16.4 .1 в предположении, что доказана лемма 16.4.5. Вычтем 1 из обеих частей неравенства (16.4.13). Подставим $\& f$ вместо $f$, умножим на $\varepsilon^{-2}$ и перейдем к пределу при $\varepsilon \rightarrow 0$. В силу трансляционной инварнантности среднего $\langle\cdot\rangle$, имеем $\left\langle\varphi\left(\partial_{\alpha} \mathbf{f}_{\alpha}\right)\right\rangle=0$. В результате получаем, что
\[
\left\langle\left(\varphi\left(\sum_{\alpha=1}^{d} \partial_{\alpha} \mathbf{f}_{\alpha}\right)\right)^{2}\right\rangle \leqslant \beta^{-1}\|f\|_{i^{2}}^{2}
\]

Возьмем $\mathfrak{f}_{\alpha}=\left(|\Lambda|^{-1 / 2} \partial_{\alpha}^{*}\left(-\Delta_{p}\right)^{-1 / 2} e^{i p \cdot l}\right) v_{r}$, где $\partial^{*}-$ обратный решеточный градиент, а $\boldsymbol{v}_{r}$ – единичный базисный вектор в спиновом пространстве $R^{n}$. Используя (16.4.8) и суммируя по $n$ различным базисным векторам $\boldsymbol{v}_{r}$, получаем оценку
\[
4 \sum_{\alpha=1}^{d} \sin ^{2}\left(p_{\alpha} / 2\right) \widetilde{S}(p) \leqslant n / \beta .
\]

Так как $\left\langle\boldsymbol{\varphi}_{0} \cdot \boldsymbol{\varphi}_{i}\right\rangle$ – положительно определенная функция, то ее преобразование Фурье $\mathcal{S}(p)$ определяет положительную меру. Отсюда и из неравенства (16.4.15) следует, что при $p=0$ имеется особенность вида ( $2 \pi)^{d / 2} c \delta(p)$, где $c$ неотрицательная константа. Разделив (16.4.15) на $4 \sum_{\alpha=1}^{d} \sin ^{2}\left(p_{\alpha} / 2\right)$, получаем (16.4.7).

Доказательство леммы 16.4.5. Мы доказываем лемму для случая конечной периодической решетки (тора) $\Lambda$. Поскольку мы предполагаем, что в предельном переходе к бесконечному объему имеется сходимость, лемма справедлива и для всей решетки $Z^{d}$. При доказательстве используется оценка по методу многократных отраженнй. Перепишем $\varphi\left(\partial_{\alpha} \mathbf{f}_{\alpha}\right)$ в виде
\[
\varphi\left(\partial_{\alpha} \mathbf{f}_{\alpha}\right)=\left(\partial_{\alpha}^{\star} \varphi\right)\left(\mathbf{f}_{\alpha}\right)=\sum_{l \in \Lambda} \mathbf{f}_{\alpha}(l)\left(-\varphi_{l}+\varphi_{l-e_{\alpha}}\right) .
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
I & =\left\langle\exp \left(\sum_{\alpha=1}^{d} \varphi\left(\partial_{\alpha} \mathrm{f}_{\alpha}\right)\right) \exp \left(-\frac{1}{2 \beta} \| f_{l_{2}}^{2}\right)\right\rangle= \\
& =\frac{\int \exp \left(-\sum_{l, \alpha} \frac{1}{2} \beta\left(\varphi_{l}-\varphi_{l-e_{\alpha}}+\beta^{-1} \mathrm{f}_{\alpha}(l)\right)^{2}\right) \prod d \mu_{i}}{\int \exp \left(-\sum \frac{1}{2} \beta\left(\varphi_{l}-\varphi_{l-e_{\alpha}}\right)^{2}\right) \prod d \mu_{i}} .
\end{aligned}
\]

Здесь линейный (пространственно-однородный) член в гамильтониане (16.4.1) (отвечающий внешнему магнитному полю) включен в меру $d \mu_{i}{ }^{1}$ ). Итак, нужно доказать неравенство $I \leqslant 1$.
1) В меры $d \mu_{i}$ включаются также лишние множители $e^{\beta \varphi_{l}^{2}}$. – Прим. перев.
Среднее $\langle\cdot\rangle$ в (16.4.16) определяется мерой (16.4.5). Из теорем 7.10 .3 и 10.4.3 следует, что эта мера положительна при отражениях. Для того чтобы это свойство представить более наглядно, мы, как и в $\S 7.10$, вложим $\Lambda$ в $R^{d+1}$. Возьмем гиперплоскость II, пересекающую тор $\Lambda$, как на рис. 16.2. Сгінны $\varphi i$ разбиваются на четыре подмножества: $\boldsymbol{\varphi}^{ \pm}$и $\boldsymbol{\sigma}^{ \pm}$. Спины $\boldsymbol{\sigma}^{+}$взаимодействуют со спинами $\boldsymbol{\sigma}^{-}$по ребрам, пересекаемым гиперплоскостью П. Қроме того, спины $\boldsymbol{\sigma}^{+}$ взаимодействуют со спинами $\varphi^{+}$. Спины $\varphi^{+}$и $\varphi^{-}$не взаимодействуют между собой. Спинами $\left\{\varphi^{+}, \boldsymbol{\sigma}^{+}\right\}$исчерпываются все спины, лежащие в $\Lambda_{+}=\Lambda \cap \Pi_{+}$, и т. д.

Рис. 16.2. Тор $\Lambda$, пересеченный гиперплоскостью П. Здесь изображено одно пересечение П с $\Lambda$. Ребра, связывающие спины $\boldsymbol{\sigma}^{+}$и $\boldsymbol{\sigma}^{-}$, разрезаются гиперплоскостью II. В силу трансляционной инвариантности, П можно поворачивать на угол, соответствующий симметрии решетки.

Пусть $A$ – функция от спинов в $\Lambda_{-}$, а $B$ – функция от спинов в $\Lambda_{+}$. Тогда условное среднее $\langle\cdot\rangle$ по переменным $\boldsymbol{\varphi}^{ \pm}$(при фиксированных $\boldsymbol{\sigma}^{ \pm}$) представляется интегралом от выражения вида
\[
\exp \left(\beta \sum \sigma_{l}^{+} \cdot \sigma_{l^{\prime}}^{-}\right) F\left(\sigma^{+}\right) G\left(\sigma^{-}\right) \prod_{l, l^{\prime}} d \sigma_{l}^{+} d \sigma_{l^{\prime}}^{-},
\]

причем меры, соответствующие распределениям отдельных спинов, включаются в $F, G$, так что интеграл берется в точности по мере Лебега $d \sigma^{ \pm}$.
Если $A=\overrightarrow{\theta B}$, то $F=\bar{G}$ и, в силу положительности при отражениях,
\[
0 \leqslant\langle\overline{\theta B} B\rangle=\int \exp \left(\beta \sum \sigma_{l}^{+} \cdot \sigma_{l^{\prime}}^{-}\right) G\left(\sigma^{+}\right) G\left(\sigma^{-}\right) \prod_{l, l^{\prime}} d \sigma_{l}^{+} d \sigma_{l^{\prime}}^{-}
\]

C помощью преобразования Фурье определим переменные $p$, двойственные к $\left(\boldsymbol{\sigma}_{l}^{+}-\boldsymbol{\sigma}_{l^{\prime}}^{-}\right)$. Пусть $b$ обозначает ребро $\left(l, l^{\prime}\right)$. Тогда в общем случае, когда $A
otin \overline{\theta B}$ (16.4.17) можно переписать в виде
\[
\begin{aligned}
\langle A B\rangle & =\text { const } \int \exp \left(-\frac{\beta}{2} \sum\left(\sigma_{l}^{+}-\sigma_{t^{\prime}}^{-}\right)^{2}\right) F\left(\sigma^{+}\right) G\left(\sigma^{+}\right) d \sigma^{+} d \sigma^{-}= \\
& =\text {const } \int \exp \left(-\frac{1}{2 \beta} \sum p_{b}^{2}\right) \widetilde{F}(-p) \widetilde{G}(p) \prod_{b} d p_{b^{.}}
\end{aligned}
\]

Заметим, что сдвиг $\boldsymbol{\sigma}_{l}^{+}-\boldsymbol{\sigma}_{l^{\prime}}^{-} \rightarrow \boldsymbol{\sigma}_{l}^{+}-\boldsymbol{\sigma}_{l^{\prime}}^{-}+g\left(l, l^{\prime}\right)$ в показателе экспоненты в (16.4.18) переходит после преобразования Фурье в умножение на $e^{i p g\left(l, l^{\prime}\right)}$. Поэтому свойство положительности при отражениях скалярного произведения (16.4.18) приводит к неравенству
\[
|\langle A B\rangle| \leqslant(\langle\overline{\theta A} A\rangle\langle\overline{\theta B} B\rangle)^{1 / 2} .
\]

Применяя оценку (16.4.19) к (16.4.16), мы исключаем множители $\mathbf{f}_{\alpha}(l)$, относящиеся к тем ребрам $b=\left(l, l-e_{\alpha}\right)$, которые пересекаются с гиперплоскостью П. Кроме того, полученные в результате функции $f_{a}$ будут симметричными относительно отражения $\theta$.

Действуя подобным образом, т. е. выбирая всеми возможными способами гиперплоскость $\Pi$, мы исключим из (16.4.16) все множители, содержащие $\mathrm{f}_{\alpha}(l)$, Таким образом, $I \leqslant 1$, что и требовалось $\left.{ }^{1}\right)$.