Изучение термодинамических величин и корреляционных функций вблизи критических точек представляет наибольшую трудность. Главный член асимптотики обычно является степенным и, таким образом, определяется небольшим числом параметров-показателями степени (индексами) и коэффициентами. Обычно считается, что индексы универсальны в том смысле, что они совпадают для широкого класса близких взаимодействий (например, для модели

${\phi }^4$ и модели Изинга, определенных на решетке произвольного вида, или для всех непрерывных ${\phi }^4$-теорий). Однако индексы зависят от размерности $d$ пространства или пространства-времени, так же как и от числа компонент вектора $\phi$. Поскольку находить индексы как с помощью вычислений, так и экспериментально, довольно трудно, большое значение приобретают точные теоретические соотношения (неравенства и предполагаемые тождества). Систематическое обсуждение критических индексов содержится в работе [Stanley, 1971]. Здесь же мы лишь проиллюстрируем основные идеи на примере вывода нескольких стандартных, а также менее известных неравенств между индексами из неравенств Гриффитса и Лебовица. Поскольку мы применяем неравенства Лебовица, придется ограничиться случаем $n=1$.

Примем каноническую нормировку и определение (17.4.2) для величины $S(p)$ и положим
$$\chi =S^{(2)}(0),\epsilon =\sigma -{\sigma }_c.$$

Тогда критические индексы $v,\gamma ,\eta$ и $\zeta$ определяются из соотношений
$$\begin{array}{c}m\sim {\epsilon }^v,\chi \sim {\epsilon }^{-u},\\ {⟨\phi (x)\phi (0)⟩|}_{\sigma ={\sigma }_c}\sim x{x}^{-d+2-\eta },Z\sim {\epsilon }^{\zeta }.\end{array}$$

Теорема 17.7.1. Гауссовы (полученные с помощью приближения среднего поля) значения $v,\gamma ,\eta$ и равны соответственно
$$v_{\text{кл }}=1/2,{\gamma }_{кл}=1,{\eta }_{\text{кл }}=0,{\zeta }_{\text{кл }}=0.$$

Таблица 17.1. Значения критического индекса $v$, основанные на точных или машинных вычислениях, теоретических оценках и экспепиментах

Для ${\phi }^4$-теории однокомпонентного поля каждый из индексов $v,\gamma$, $\eta ,\zeta$ не меньше своего классического значения.
Доказателоство, Вычисление гауссовых значений элементарно. Например, в гауссовом случае ${\sigma }_c=0,\epsilon =\sigma =(1/2)m^2,Z=1,\rho (a)da=0,S(p)=1/(p^2+$ $+m^2$ ). По определению, $0⩽Z⩽1$, так что $0={\zeta }_{\kappa ,.}⩽\zeta$. Аналогично, $0=$ $={\eta }_{кл}⩽\eta$, что следует из спектральной формулы Лемана (6.2.9).

Оценка $d{m}^2/d\sigma ⩽Z$ из $\mathrm{\$}17.4$ влечет за собой следующие соотношения для критических индексов:
$$1⩽(2-\zeta /v)v⩽(2-\eta )v,$$

и, как частный случай, $1/2⩽v$. Каноническая опенка $\gamma$ вытекает из неравенств $0⩽d{\chi }^{-1}/d\sigma ⩽1$, установленных в $\mathrm{\$}17.4$.

Вернемся к оценке ${\lambda }_2⩽$ const в теореме 17.3.2. Как следствие, ${\lambda }_2(\epsilon )$ обязана иметь неотрицательный показатель степенной асимптотики по $\epsilon$. При $d=3$
$${\lambda }_2\sim {\epsilon }^{3v+2\gamma -(2\mathrm{\Delta }+\gamma )}={\epsilon }^{3v+\gamma -2\mathrm{\Delta }},$$

где $\gamma$ — индекс значения восприимчивости, а $\mathrm{\Delta }$ — индекс массовой щели, связывающий четырехточечную и двухточечную функции. Отсюда мы заключаем, что $0⩽3v+\gamma -2\mathrm{\Delta }$. С другой стороны, если ${\lambda }_{2}eq0$ при $\sigma ={\sigma }_c$, то с необходимостью имеет место «гипермасштабное» соотношение $3v+\gamma -2\mathrm{\Delta }=0$.

Существуют два подхода, в рамках которых могут быть получены индекс $v$ и гипермасштабное соотношение: высокотемпературные разложения и суммирование по Борелю. Высокотемпературные разложения использовались Вортисом и другими в случае модели Изинга. Эти методы применяли также Бейкер и Кинкейд [Baker, Kincaid, 1980] в области сильной связи (модель Изинга: [J. Rosen, 1977], [Constantinescu, 1980], [Caginalp, 1980a, b], [Constantinescu, Storter, 1980]) для модели $\lambda {\phi }_3^4$. Суммирование по Борелю рядов теории возмущений для непрерывной модели $\lambda {\phi }_3^4$, упомянутой в §9.4, было использовано Легийу и Цинн-Жюстеном [LeGuillou, Zinn-Justin, 1977]. Ни один из этих методов не дает математически строгой оценки ошибок. Для $3v+\gamma -2\mathrm{\Delta }$ (или других подобных величин) получены следующие результаты:
$$\text{Unknown environment 'tabular'}$$

Таким образом, высокотемпературные (BT) ряды, вероятно, свидетельствуют о нарушении гипермасштабности. По-видимому, разница в этих вычислениях возникает из-за различия в определении индекса $v$. В частности, имеем
$$\text{ ВT: }v=0,{638}_{-0,001}^{+0,002}$$

Борель: $v=0,6300\pm 0,0008$,

Значит,
$$3(v_{\mathrm{BT}}-v_{\text{Борель }})=0,{024}_{-0,004}^{+0,006},$$

чем и объясняется расхождение в величине $3v+\gamma -2\mathrm{\Delta }$.
Эти результаты свидетельствуют о наличии ошибки по крайней мере в одном из следующих пунктов: (1) гипотеза универсальности: Изинг $\approx {\phi }^4$; (2) гипермасштабное соотношение: $0=3v+$ $+\gamma -2\mathrm{\Delta }$; (3) оценки ошибок высокотемпературных разложений; (4) оценки ошибок при суммировании по Борелю. Вычисление дальнейших членов высокотемпературных разложений как для модели Изинга со спином $1/2$, так и для моделей Изинга с более высоким спином [Nickel, 1980] дает основание думать, что приведенные выше оценки ошибок в высокотемпературных разложениях, быть может, слишком оптимистичны. См. также [Bender, Cooper, Guralnik, Roskies, Sharp, 1981]. Этот анализ, по-видимому, свидетельствует о том, что в вычислениях очень важно учесть не только саму масштабную асимптотику, но и поправки к ней. Действительно, имеющиеся расхождения между универсальностью и гипермасштабностью могут исчезнуть при таком усовершенствовании вычислений.