Изучение термодинамических величин и корреляционных функций вблизи критических точек представляет наибольшую трудность. Главный член асимптотики обычно является степенным и, таким образом, определяется небольшим числом параметров-показателями степени (индексами) и коэффициентами. Обычно считается, что индексы универсальны в том смысле, что они совпадают для широкого класса близких взаимодействий (например, для модели

$\varphi^{4}$ и модели Изинга, определенных на решетке произвольного вида, или для всех непрерывных $\varphi^{4}$-теорий). Однако индексы зависят от размерности $d$ пространства или пространства-времени, так же как и от числа компонент вектора $\varphi$. Поскольку находить индексы как с помощью вычислений, так и экспериментально, довольно трудно, большое значение приобретают точные теоретические соотношения (неравенства и предполагаемые тождества). Систематическое обсуждение критических индексов содержится в работе [Stanley, 1971]. Здесь же мы лишь проиллюстрируем основные идеи на примере вывода нескольких стандартных, а также менее известных неравенств между индексами из неравенств Гриффитса и Лебовица. Поскольку мы применяем неравенства Лебовица, придется ограничиться случаем $n=1$.

Примем каноническую нормировку и определение (17.4.2) для величины $S(p)$ и положим
\[
\chi=S^{(2)}(0), \quad \varepsilon=\sigma-\sigma_{c} .
\]

Тогда критические индексы $v, \gamma, \eta$ и $\zeta$ определяются из соотношений
\[
\begin{array}{c}
m \sim \varepsilon^{v}, \quad \chi \sim \varepsilon^{-
u}, \\
\left.\langle\varphi(x) \varphi(0)\rangle\right|_{\sigma=\sigma_{c}} \sim x x^{-d+2-\eta}, \quad Z \sim \varepsilon^{\zeta} .
\end{array}
\]

Теорема 17.7.1. Гауссовы (полученные с помощью приближения среднего поля) значения $v, \gamma, \eta$ и равны соответственно
\[
v_{\text {кл }}=1 / 2, \quad \gamma_{к л}=1, \quad \eta_{\text {кл }}=0, \quad \zeta_{\text {кл }}=0 .
\]

Таблица 17.1. Значения критического индекса $v$, основанные на точных или машинных вычислениях, теоретических оценках и экспепиментах

Для $\varphi^{4}$-теории однокомпонентного поля каждый из индексов $v, \gamma$, $\eta, \zeta$ не меньше своего классического значения.
Доказателоство, Вычисление гауссовых значений элементарно. Например, в гауссовом случае $\sigma_{c}=0, \varepsilon=\sigma=(1 / 2) m^{2}, Z=1, \rho(a) d a=0, S(p)=1 /\left(p^{2}+\right.$ $+m^{2}$ ). По определению, $0 \leqslant Z \leqslant 1$, так что $0=\zeta_{\kappa, .} \leqslant \zeta$. Аналогично, $0=$ $=\eta_{к л} \leqslant \eta$, что следует из спектральной формулы Лемана (6.2.9).

Оценка $d m^{2} / d \sigma \leqslant Z$ из $\$ 17.4$ влечет за собой следующие соотношения для критических индексов:
\[
1 \leqslant(2-\zeta / v) v \leqslant(2-\eta) v,
\]

и, как частный случай, $1 / 2 \leqslant v$. Каноническая опенка $\gamma$ вытекает из неравенств $0 \leqslant d \chi^{-1} / d \sigma \leqslant 1$, установленных в $\$ 17.4$.

Вернемся к оценке $\lambda_{2} \leqslant$ const в теореме 17.3.2. Как следствие, $\lambda_{2}(\varepsilon)$ обязана иметь неотрицательный показатель степенной асимптотики по $\varepsilon$. При $d=3$
\[
\lambda_{2} \sim \varepsilon^{3 v+2 \gamma-(2 \Delta+\gamma)}=\varepsilon^{3 v+\gamma-2 \Delta},
\]

где $\gamma$ — индекс значения восприимчивости, а $\Delta$ — индекс массовой щели, связывающий четырехточечную и двухточечную функции. Отсюда мы заключаем, что $0 \leqslant 3 v+\gamma-2 \Delta$. С другой стороны, если $\lambda_{2}
eq 0$ при $\sigma=\sigma_{c}$, то с необходимостью имеет место «гипермасштабное» соотношение $3 v+\gamma-2 \Delta=0$.

Существуют два подхода, в рамках которых могут быть получены индекс $v$ и гипермасштабное соотношение: высокотемпературные разложения и суммирование по Борелю. Высокотемпературные разложения использовались Вортисом и другими в случае модели Изинга. Эти методы применяли также Бейкер и Кинкейд [Baker, Kincaid, 1980] в области сильной связи (модель Изинга: [J. Rosen, 1977], [Constantinescu, 1980], [Caginalp, 1980a, b], [Constantinescu, Storter, 1980]) для модели $\lambda \varphi_{3}^{4}$. Суммирование по Борелю рядов теории возмущений для непрерывной модели $\lambda \varphi_{3}^{4}$, упомянутой в §9.4, было использовано Легийу и Цинн-Жюстеном [LeGuillou, Zinn-Justin, 1977]. Ни один из этих методов не дает математически строгой оценки ошибок. Для $3 v+\gamma-2 \Delta$ (или других подобных величин) получены следующие результаты:
\begin{tabular}{lll}
ВТ: & $0,038_{-0,03}^{+0,02}$ & Вортис и др. \\
ВТ: & $0,028 \pm 0,03$ & Бейкер, Кинкейд \\
Борель: & $0,000 \pm 0,003$ & Легийу, Цинн-Жюстен
\end{tabular}

Таким образом, высокотемпературные (BT) ряды, вероятно, свидетельствуют о нарушении гипермасштабности. По-видимому, разница в этих вычислениях возникает из-за различия в определении индекса $v$. В частности, имеем
\[
\text { ВT: } \quad v=0,638_{-0,001}^{+0,002}
\]

Борель: $\quad v=0,6300 \pm 0,0008$,

Значит,
\[
3\left(v_{\mathrm{BT}}-v_{\text {Борель }}\right)=0,024_{-0,004}^{+0,006},
\]

чем и объясняется расхождение в величине $3 v+\gamma-2 \Delta$.
Эти результаты свидетельствуют о наличии ошибки по крайней мере в одном из следующих пунктов: (1) гипотеза универсальности: Изинг $\approx \varphi^{4}$; (2) гипермасштабное соотношение: $0=3 v+$ $+\gamma-2 \Delta$; (3) оценки ошибок высокотемпературных разложений; (4) оценки ошибок при суммировании по Борелю. Вычисление дальнейших членов высокотемпературных разложений как для модели Изинга со спином $1 / 2$, так и для моделей Изинга с более высоким спином [Nickel, 1980] дает основание думать, что приведенные выше оценки ошибок в высокотемпературных разложениях, быть может, слишком оптимистичны. См. также [Bender, Cooper, Guralnik, Roskies, Sharp, 1981]. Этот анализ, по-видимому, свидетельствует о том, что в вычислениях очень важно учесть не только саму масштабную асимптотику, но и поправки к ней. Действительно, имеющиеся расхождения между универсальностью и гипермасштабностью могут исчезнуть при таком усовершенствовании вычислений.