Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Изучение термодинамических величин и корреляционных функций вблизи критических точек представляет наибольшую трудность. Главный член асимптотики обычно является степенным и, таким образом, определяется небольшим числом параметров-показателями степени (индексами) и коэффициентами. Обычно считается, что индексы универсальны в том смысле, что они совпадают для широкого класса близких взаимодействий (например, для модели $\varphi^{4}$ и модели Изинга, определенных на решетке произвольного вида, или для всех непрерывных $\varphi^{4}$-теорий). Однако индексы зависят от размерности $d$ пространства или пространства-времени, так же как и от числа компонент вектора $\varphi$. Поскольку находить индексы как с помощью вычислений, так и экспериментально, довольно трудно, большое значение приобретают точные теоретические соотношения (неравенства и предполагаемые тождества). Систематическое обсуждение критических индексов содержится в работе [Stanley, 1971]. Здесь же мы лишь проиллюстрируем основные идеи на примере вывода нескольких стандартных, а также менее известных неравенств между индексами из неравенств Гриффитса и Лебовица. Поскольку мы применяем неравенства Лебовица, придется ограничиться случаем $n=1$. Примем каноническую нормировку и определение (17.4.2) для величины $S(p)$ и положим Тогда критические индексы $v, \gamma, \eta$ и $\zeta$ определяются из соотношений Теорема 17.7.1. Гауссовы (полученные с помощью приближения среднего поля) значения $v, \gamma, \eta$ и равны соответственно Таблица 17.1. Значения критического индекса $v$, основанные на точных или машинных вычислениях, теоретических оценках и экспепиментах Для $\varphi^{4}$-теории однокомпонентного поля каждый из индексов $v, \gamma$, $\eta, \zeta$ не меньше своего классического значения. Оценка $d m^{2} / d \sigma \leqslant Z$ из $\$ 17.4$ влечет за собой следующие соотношения для критических индексов: и, как частный случай, $1 / 2 \leqslant v$. Каноническая опенка $\gamma$ вытекает из неравенств $0 \leqslant d \chi^{-1} / d \sigma \leqslant 1$, установленных в $\$ 17.4$. Вернемся к оценке $\lambda_{2} \leqslant$ const в теореме 17.3.2. Как следствие, $\lambda_{2}(\varepsilon)$ обязана иметь неотрицательный показатель степенной асимптотики по $\varepsilon$. При $d=3$ где $\gamma$ – индекс значения восприимчивости, а $\Delta$ – индекс массовой щели, связывающий четырехточечную и двухточечную функции. Отсюда мы заключаем, что $0 \leqslant 3 v+\gamma-2 \Delta$. С другой стороны, если $\lambda_{2} Существуют два подхода, в рамках которых могут быть получены индекс $v$ и гипермасштабное соотношение: высокотемпературные разложения и суммирование по Борелю. Высокотемпературные разложения использовались Вортисом и другими в случае модели Изинга. Эти методы применяли также Бейкер и Кинкейд [Baker, Kincaid, 1980] в области сильной связи (модель Изинга: [J. Rosen, 1977], [Constantinescu, 1980], [Caginalp, 1980a, b], [Constantinescu, Storter, 1980]) для модели $\lambda \varphi_{3}^{4}$. Суммирование по Борелю рядов теории возмущений для непрерывной модели $\lambda \varphi_{3}^{4}$, упомянутой в §9.4, было использовано Легийу и Цинн-Жюстеном [LeGuillou, Zinn-Justin, 1977]. Ни один из этих методов не дает математически строгой оценки ошибок. Для $3 v+\gamma-2 \Delta$ (или других подобных величин) получены следующие результаты: Таким образом, высокотемпературные (BT) ряды, вероятно, свидетельствуют о нарушении гипермасштабности. По-видимому, разница в этих вычислениях возникает из-за различия в определении индекса $v$. В частности, имеем Борель: $\quad v=0,6300 \pm 0,0008$, Значит, чем и объясняется расхождение в величине $3 v+\gamma-2 \Delta$.
|
1 |
Оглавление
|