В этой главе мы начинаем построение квантовой модели $P(\varphi)_{2}$, которое закончим в гл. 11-12. Мы изложим здесь эффективные методы подсчета и оценивания интегралов
\[
\int A d \varphi=\sum_{G=\text { граф }} I(G)
\]
от полиномов $A=A(\varphi)$ по гауссовой мере $d \varphi$. Имеются различные эквивалентные способы вычисления гауссова интеграла от полинома, такие, как интегрирование по частям, разложение $A(\varphi)$ по полиномам Эрмита или использование операторов рождения и уничтожения. Все эти методы чисто алгебраические. Графы (или диаграммы) Фейнмана $G$ служат удобным мнемоническим средством для записи и перечисления всех слагаемых, получающихся при вычислении интеграла (8.1.1) любым из этих способов. Каждое такое слагаемое $I(G)$ – это интеграл по пространству конечной размерности, зависящий от ковариации $C$ меры $d \varphi$. Оценки таких интегралов получаются с помощью неравенства Гёльдера и оценок для $C$ типа
\[
C(x-y) \equiv \text { ядро }\left(-\Delta+m^{2}\right)^{-1} \in L_{p}(x-y),
\]

которые существенно зависят от размерности $d$ пространства-времени. В этой главе мы рассматриваем случай $d=2$ (случай $d=1$ содержится в нем как частный случай). При $d=2$ перенормировки в квантовой теории поля достаточно просты. В частности, для модели $P(\varphi)_{2}$ перенормировки ограничиваются вычитанием, связанным с виковым упорядочением. Мы покажем, что это бесконечное вычитание приводит к определенному ответу. Так, например, в конечном объеме $\Lambda$ определен интеграл
\[
V=\int_{\Lambda}: P(\varphi(x)): d x \in L_{2}(d \varphi),
\]

в то время как $\int_{\Lambda} \varphi(x)^{2} d x$ обращается в бесконечность для почти всех $\varphi \in \mathscr{D}^{\prime}$. Далее мы будем рассматривать только ограниченные снизу полиномы $P$. Хотя при этом интеграл $\int: P(\varphi)(x): d x$ не ограничен снизу (в силу внкова упорядочения), он, тем не менее, полуограничен всюду, за исключением множества малой меры. Этот факт позволяет показать, что $e^{-V} \in L_{p}(d \varphi)$ для всех $p<\infty$.