Қластерное разложение гл. 18 аналогично высокотемпературному разложению в статистической физике, которое справедливо в однофазной области вдали от критической точки. Это разложение сводит изучение теории в бесконечном объеме к конечному объему и сходится, когда модель близка к гауссовой, например в случае $\lambda \varphi^{4}+\varphi^{2}$-моделей при малых $\lambda$.

Такие разложения можно делать и для многофазных моделей квантовых полей, например для двумерной $\lambda \varphi^{4}-\varphi^{2}$-модели, $\lambda \approx 0$. Это низкотемпературные разложения, справедливые в области фазовых переходов. В этих разложениях нужно внимательно следить за вероятностью флуктуаций около одного основного состояния, с тем чтобы не произошел переход к конфигурации, отвечающей другому основному состоянию. Иными словами, надо улучшить соответствующие оценки вроде тех, которые приведены в $\$ 16.2$, чтобы показать, что мала вероятность границы раздела фаз: $\operatorname{Pr}(\Gamma)<\exp \left(-\lambda^{-1 / 2}|\Gamma|\right)$. Цель состонт в том, чтобы получить асимптотическое разложение функций Швингера при $\lambda \ll 1$. Для $\lambda \varphi^{4}$ – $\varphi^{2}$-моделей эта программа реализована в работе [Glimm, Jaffe, Spencer, 1976a]. Тем самым доказано экспоненциальное убывание усеченных функций Швингера для чистой фазы. Эти методы применимы также и для низкотемпературных разложений в статистической механике [Schor, 1978b].

Анализ в многофазной области перенесен в квантовую теорию поля в работе [Gawedzki, 1978a], где доказано сосуществование трех фаз в равновесии (при некоторых $\lambda$ и $\sigma$ ) в $\lambda \varphi^{6}+\sigma \varphi^{4}$-модели. Эта ситуация соответствует тройной точке на рис. 4.1.

Низкотемпературные разложения использовались также и при изучении спектра $\varphi^{4}$-модели в случае нескольких фаз [Imbrie, 1980], [Koch, 1981].

Основную идею низкотемпературного разложения можно проиллюстрировать на примере полиномиального взаимодействия $V(\varphi)=\lambda \varphi^{4}-2 \varphi^{2}$. Можно ввести удобную перепараметризацию, разложив полином около каждого из двух его минимумов $\varphi=$

$= \pm \lambda^{-1 / 2}$. Имеем
\[
\begin{aligned}
V(\varphi) & =V_{+}\left(\psi_{+}\right)=\lambda \varphi_{+}^{4}+4 \lambda^{1 / 2} \psi_{+}^{3}+2 \psi_{+}^{2}-\lambda^{-1}= \\
& =V_{-}\left(\psi_{-}\right)=\lambda \psi_{-}^{4}-4 \lambda^{1 / 2} \psi_{-}^{3}+2 \psi_{-}^{2}-\lambda^{-1} .
\end{aligned}
\]

Введя граничные условия $\psi_{+}=0$ или $\psi_{-}=0$ при $|x|=\infty$, произведем асимптотическое разложение по степеням $\lambda^{1 / 2}$, начиная с $V_{+}\left(\psi_{+}\right)$или $V_{-}\left(\psi_{-}\right)$и считая $\psi_{+}$или $\psi_{-}$новыми переменными вместо $\varphi$. Такое разложение, подобно разложению (8.4.3), порождается интегрированием по частям. Затем производится еще одно разложение с тем, чтобы показать, что вероятность попасть в область $\psi_{-} \approx 0$ из области $\psi_{+} \approx 0$ равна $O\left(\exp \left(\lambda^{-1}\right)\right)$. Это верно по крайней мере для малых $\lambda$, как и при доказательстве фазового перехода для этих моделей в § 16.2. Здесь, однако, надо выбрать точные граничные условия, которые приводят к двум различным теориям поля – двум «фазам» модели. Эти разложения определяются в работе [Glimm, Jaffe, Spencer, 1976a], где установлена также и их сходимость. Они обобщены на случай произвольной $P(\varphi)_{2}$-модели, благодаря чему получено полное описание фазовой диаграммы для этих моделей в области, где действует приближение среднего поля [Imbrie, 1980b, [981].