Для обсуждения проблемы фазовых переходов на интуитивном уровне удобно использовать решеточные поля ( $2.3 .1-5$ ) или их непрерывные пределы, определяемые формальным выражением
\[
d \mu=Z^{-1} \exp \left[-\int_{R^{d}}\left[\frac{1}{2}(
abla \varphi)^{2}+P(\varphi)\right] d x\right] \prod_{x} d \varphi(x),
\]

где вместо поля $\xi_{i}, i \in Z^{d}$, рассматривается непрерывное поле $\varphi(x)$, $x \in R^{d}$. Меру (5.2.1) нужно понимать как меру на пространстве вопросы построения такой меры обсуждаются в гл. 6-12.

Естественно ожидать, что мера $d \mu$ вида (2.3.5) или (5.2.1) сконцентрирована вблизи конфигураций, доставляющих максимум экспоненте, т. е. вблизи минимумов выражения
\[
\sum_{i \in Z^{d}}\left[\frac{1}{2}\left(
abla \xi_{i}\right)^{2}+P\left(\xi_{i}\right)\right]
\]

Разумеется, этот минимум достигается при
$\xi_{i}=\xi^{c}$ для всех $i$, где $\xi^{c}=$ глобальный минимум $P(\cdot)$.
Глобальные минимумы $\xi^{c}$ называются классическими значениями переменной э. В простейшем приближении (уточняемом ниже).

единственность минимума указывает на отсутствие фазовых переходов, а наличие нескольких минимумов $\xi^{c}, \xi^{c^{\prime}}, \ldots$ означает возможность фазового перехода с различными мерами (состояниями) в бесконечном объеме (чистыми фазами)
\[
d \mu_{\xi c}, d \mu_{\xi c^{\prime}}, \ldots
\]

и общей мерой, являющейся выпуклой суммой чистых фаз:
\[
d \mu=\alpha_{\xi c} d \mu_{\xi c}+\alpha_{\xi} c^{\prime} d \mu_{\xi} c^{\prime}+\ldots
\]

Описанная картина нуждается в уточнении. Иногда такая картина приближенно верна, а иногда она приводит к совершенно неверным результатам. Для того чтобы выяснить, какая ситуация имеет место, вспомним исходную предпосылку о статистическом поведении флуктуаций около $\xi^{c}$. Пусть
\[
\chi_{i}=\xi_{i}-\xi^{c}
\]

есть поле флуктуаций. Перепишем $P(\xi)$ в виде полинома от $\chi$. Поскольку вс есть глобальный минимум,
\[
P(\xi)=P\left(\xi^{c}\right)+\frac{1}{2} P^{\prime \prime}\left(\xi^{c}\right) \chi^{2}+\frac{1}{3 !} P^{\prime \prime \prime}\left(\xi^{c}\right) \chi^{3}+\ldots
\]

Простейшим критерием того, что классическая картина приближенно верна, служит выполнение следующих двух условий: (a) $P^{\prime \prime}$ больше всех старших производных:
\[
P^{\prime \prime}\left(\xi^{c}\right) \gg P^{(j)}\left(\xi^{c}\right) \text { для всех } j \geqslant 3 ;
\]
(b) член старшего порядка в $P$ сильно невырожден в следующем смысле: $\left|P^{(n)}\left(\xi^{c}\right)\right| \leqslant$ const $P^{(n)}\left(\xi^{c}\right)$ для всех $\quad 3 \leqslant j<n=\operatorname{deg} P$. Грубо говоря, условие (5.2.8) означает, что потенциальный барьер, отделяющий $\xi^{c}$ от других минимумов, должен быть достаточно высоким и широким. Предположим, что это условие выполнено, и рассмотрим (квазиклассическое) приближение
\[
P_{\text {кв кл }}=P\left(\xi^{c}\right)+\frac{1}{2} P^{\prime \prime}\left(\xi^{c}\right) \chi^{2} .
\]

Тогда $P_{\text {кв. кл }}$ есть квадратичный полином, и мера
\[
d \mu_{\text {кв. кл }}=Z_{\text {кв. кл }}^{-1} e^{-\sum_{i}\left[\frac{1}{2}\left(
abla \chi_{i}\right)^{2}+P_{\text {кв. кл }}\left(x_{i}\right)\right]} \prod_{i \in Z^{d}} d \chi_{i}
\]

будет гауссовой со средним $\left\langle\chi_{l}\right\rangle_{\text {кв. кл }}=0$, т. е. $\langle\xi\rangle_{\text {кв. кл }}=\xi^{c}$. Мера $d \mu_{\text {кв кл }}$ является промежуточным звеном между истинной мерой $d \mu$ и классическим приближением $\xi^{c}$. (Классическое приближение может быть записано в виде меры $d \mu_{c}=\delta_{0}\left(\xi-\xi^{c}\right)$, где $\delta_{0}$ есть мера в пространстве функций, сосредоточенная в точке $\xi \equiv 0$.) Қвадратичный член ( $\sim \chi^{2}$ ) в энергии $P_{\text {кв кл }}$ приводит к линейным силам взаимодействия и к линейным уравнениям движения. Поэтому (5.2.10) есть линеаризация статистической задачи в окрестности классического значения $\xi^{c}$. В статистической механике поправки более высокого порядка в (5.2.7) часто вообще не рассматриваются.

Статистические свойства гауссовых мер легко описать (см. также гл. 3 и 6). Ковариация меры (5.2.10) совпадает с ядром оператора $\left(-\Delta+P^{\prime \prime}\left(\xi^{c}\right)\right)^{-1}$. На больших расстояниях асимптотическое поведение корреляций имеет вид
\[
\left\langle\chi_{i} \chi_{j}\right\rangle_{\text {кв кл }}=\text { ядро }\left(-\Delta+P^{\prime \prime}\left(\xi^{c}\right)\right)^{-1} \sim|i-j|^{-(d-1) / 2} e^{-P^{\prime \prime}\left(\xi^{c}\right)^{1 / 2}|i-j|}
\]
(с точностью до поправок, связанных с решеточной структурой). В частности, при $P^{\prime \prime}>0$ флуктуации $\chi_{i}$ имеют экспоненцильно убывающие корреляции, т. е., как и ожидалось выше, слабо зависимы.

Квазиклассическое приближение (5.2.9-10) может быть использовано в качестве главного члена разложения, подобного разложению Майера в $\$ 2.4$, но значительно более сложного. Так же как в разложении Майера $p=\beta^{-1} z+b_{2} z^{2}+\ldots$, взаимодействие приводит к поправкам в давлении $p=\beta^{-1} z$, отвечающем нулевому взаимодействию (идеальному газу), члены старших порядков $(1 / 3 !) P^{\prime \prime \prime}(\xi c) \chi^{3}+\ldots$ в (5.2.7) вносят аналогичные изменения в теорию. Одно из уточнений относится к случаю, когда значения $P(\xi)$ в различных минимумах совпадают: $P\left(\xi^{c}\right)=P\left(\xi^{c^{\prime}}\right)$. При этом взаимодействие может полностью исключить фазовые переходы. Тем не менее $P$ и $d \mu$ близки к фазовому переходу в том смысле, что для некоторого полинома $P_{\text {эфф }}=P+\delta P$, где полином $\delta P$ мал, действительно происходит фазовый переход. При этом для одной из чистых фаз $\left\langle\xi_{i}\right\rangle=\xi^{c}$, для другой $\left\langle\xi_{i}\right\rangle=\xi^{c^{\prime}}$ и т. д. Полином $\delta P$ можно рассматривать как эффект перенормировки; его вычисление основано на методах теории возмущений, аналогичных используемым в $\$ 9.4$ и 14.3. Полином $\delta P$ мал в том смысле, что малы его коэффициенты; его влияние существенно только вблизи $\chi=0$.

Описанная выше картина основана на более сильных утверждениях, чем это доказано в настоящее время. Тем не менее в типичных частных случаях подобные результаты доказаны строго. Весьма вероятно, что такого рода методами могут быть обоснованы многие линеаризации в статистической физике. Доказательство соответствующих теорем сводится, по существу, к проверке того, что малые вероятности больших отклонений от значений среднего поля подавляют статистические факторы (энтропию).

Это завершает обсуждение случая, когда квазиклассическое приближение дает правильную качественную картину, а именно случая, когда у $P$ имеются большие потенциальные барьеры. При этом у $P$ имеются глубокие колодцы с хорошо отделенными друг от друга минимумами, так что $e^{-P}$ аппроксимируется произведением гауссовых множителей. В этой ситуации полином $P+8 P$ при
малом $\delta P$ дает правильную структуру фаз, определяемых минимумами $P$. Если же различные минимумы не разделены достаточно высокими барьерами или члены более высоких порядков в (5.2.7) велики, то (5.2.9-10) дает плохое приближение, которое может привести к совершенно неверной картине.

Критическая точка есть, по определению, граничная точка области фазовых переходов. В рассмотренной выше классической

Рис. 5.1.

картине этот случай возникает из-за слияния двух минимумов, как на рис. 5.1, так что вместо (5.2.7) справедливо разложение
\[
P(\xi)=P\left(\xi^{c}\right)+\frac{1}{4 !} P^{(\mathrm{IV})}\left(\xi^{c}\right) \chi^{4}+\ldots .
\]

Поскольку $P^{\prime \prime}\left(\xi^{c}\right)=0$ и различные минимумы не только не разделены, но и сливаются в один, классическое описание критической точки не является точным, хотя его и можно использовать в качестве грубого ориентира. Для классической критической точки квазиклассическая мера (5.2.10) является гауссовой с ковариацией
\[
\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle_{\text {кв кл }}=\text { ядро }(-\Delta)^{-1}(i, j) \sim|i-j|^{-d+2} .
\]

Дальнодействующие (степенные) корреляции вида (5.2.13) типичны для критических теорий, хотя показатель $(-d+2)$ может быть заменен другим. В действительности этот показатель зависит от опущенных членов в (5.2.12). (При $d=2$ асимптотическое поведение функции (5.2.13) имеет вид – $(1 / 2 \pi) \ln |i-j|$.)

Корреляционные неравенства дают оценки сверху для поправок к (5.2.13). Например, в критической точке для теории поля при $|x-y| \rightarrow \infty$
\[
\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle \leqslant O\left(|x-y|^{-d+2-\eta}\right),
\]

где $\eta$ называется аномальной размерностью. Аналогично для $d$-мерной модели Изинга при критической температуре
\[
\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle \sim|i-j|^{-d+2-\eta} .
\]

При $d=1$ имеем $\eta=1^{1}$ ). Если $d=2$, то $\eta=1 / 4$. При $d=3$ приближенные вычисления дают значение $\eta=0,041$.

При $d=1,2$ и, возможно, при $d=3$ критические точки не являются гауссовыми. Так как (5.2.13) определяет неверную асимптотику на больших расстояниях, то члены старших порядков в (5.2.12) играют не менее важную роль, чем квазиклассический член $\frac{1}{2}(
abla \xi)^{2}+P_{\text {кв }}$ кл $(\xi)=\frac{1}{2}\left(
abla \xi^{2}\right)+$ const. Поэтому в критическом случае квазиклассическая теория не может служить отправной точкой теории возмущений. Для изучения критической точки физики применяют различные методы. Хотя большинство этих методов (в том числе метод ренормгруппы) не имеет достаточного математического обоснования, они с успехом применяются для определения приближенных численных значений критических индексов (например, $\eta$ ). Введение в теорию критических явлений можно найти в книге [Stanley, 1971]. Двумерная модель Изинга и некоторые другие двумерные модели решаются в явном виде. В этих случаях критическое поведение исследовано во всех деталях, а критические индексы определены точно; см. [MсСоу, Tracy, $\mathrm{Wu}$, 1977], [McCoy, Wu, 1973]. Для так называемой иерархической модели [Dyson, 1969a] имеется математическая теория критических явлений [Блехер, Синай, 1973, 1975]; [Collet, Eckmann, 1978], хотя эта модель и не является точно решаемой.