Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Для обсуждения проблемы фазовых переходов на интуитивном уровне удобно использовать решеточные поля ( $2.3 .1-5$ ) или их непрерывные пределы, определяемые формальным выражением где вместо поля $\xi_{i}, i \in Z^{d}$, рассматривается непрерывное поле $\varphi(x)$, $x \in R^{d}$. Меру (5.2.1) нужно понимать как меру на пространстве вопросы построения такой меры обсуждаются в гл. 6-12. Естественно ожидать, что мера $d \mu$ вида (2.3.5) или (5.2.1) сконцентрирована вблизи конфигураций, доставляющих максимум экспоненте, т. е. вблизи минимумов выражения Разумеется, этот минимум достигается при единственность минимума указывает на отсутствие фазовых переходов, а наличие нескольких минимумов $\xi^{c}, \xi^{c^{\prime}}, \ldots$ означает возможность фазового перехода с различными мерами (состояниями) в бесконечном объеме (чистыми фазами) и общей мерой, являющейся выпуклой суммой чистых фаз: Описанная картина нуждается в уточнении. Иногда такая картина приближенно верна, а иногда она приводит к совершенно неверным результатам. Для того чтобы выяснить, какая ситуация имеет место, вспомним исходную предпосылку о статистическом поведении флуктуаций около $\xi^{c}$. Пусть есть поле флуктуаций. Перепишем $P(\xi)$ в виде полинома от $\chi$. Поскольку вс есть глобальный минимум, Простейшим критерием того, что классическая картина приближенно верна, служит выполнение следующих двух условий: (a) $P^{\prime \prime}$ больше всех старших производных: Тогда $P_{\text {кв. кл }}$ есть квадратичный полином, и мера будет гауссовой со средним $\left\langle\chi_{l}\right\rangle_{\text {кв. кл }}=0$, т. е. $\langle\xi\rangle_{\text {кв. кл }}=\xi^{c}$. Мера $d \mu_{\text {кв кл }}$ является промежуточным звеном между истинной мерой $d \mu$ и классическим приближением $\xi^{c}$. (Классическое приближение может быть записано в виде меры $d \mu_{c}=\delta_{0}\left(\xi-\xi^{c}\right)$, где $\delta_{0}$ есть мера в пространстве функций, сосредоточенная в точке $\xi \equiv 0$.) Қвадратичный член ( $\sim \chi^{2}$ ) в энергии $P_{\text {кв кл }}$ приводит к линейным силам взаимодействия и к линейным уравнениям движения. Поэтому (5.2.10) есть линеаризация статистической задачи в окрестности классического значения $\xi^{c}$. В статистической механике поправки более высокого порядка в (5.2.7) часто вообще не рассматриваются. Статистические свойства гауссовых мер легко описать (см. также гл. 3 и 6). Ковариация меры (5.2.10) совпадает с ядром оператора $\left(-\Delta+P^{\prime \prime}\left(\xi^{c}\right)\right)^{-1}$. На больших расстояниях асимптотическое поведение корреляций имеет вид Квазиклассическое приближение (5.2.9-10) может быть использовано в качестве главного члена разложения, подобного разложению Майера в $\$ 2.4$, но значительно более сложного. Так же как в разложении Майера $p=\beta^{-1} z+b_{2} z^{2}+\ldots$, взаимодействие приводит к поправкам в давлении $p=\beta^{-1} z$, отвечающем нулевому взаимодействию (идеальному газу), члены старших порядков $(1 / 3 !) P^{\prime \prime \prime}(\xi c) \chi^{3}+\ldots$ в (5.2.7) вносят аналогичные изменения в теорию. Одно из уточнений относится к случаю, когда значения $P(\xi)$ в различных минимумах совпадают: $P\left(\xi^{c}\right)=P\left(\xi^{c^{\prime}}\right)$. При этом взаимодействие может полностью исключить фазовые переходы. Тем не менее $P$ и $d \mu$ близки к фазовому переходу в том смысле, что для некоторого полинома $P_{\text {эфф }}=P+\delta P$, где полином $\delta P$ мал, действительно происходит фазовый переход. При этом для одной из чистых фаз $\left\langle\xi_{i}\right\rangle=\xi^{c}$, для другой $\left\langle\xi_{i}\right\rangle=\xi^{c^{\prime}}$ и т. д. Полином $\delta P$ можно рассматривать как эффект перенормировки; его вычисление основано на методах теории возмущений, аналогичных используемым в $\$ 9.4$ и 14.3. Полином $\delta P$ мал в том смысле, что малы его коэффициенты; его влияние существенно только вблизи $\chi=0$. Описанная выше картина основана на более сильных утверждениях, чем это доказано в настоящее время. Тем не менее в типичных частных случаях подобные результаты доказаны строго. Весьма вероятно, что такого рода методами могут быть обоснованы многие линеаризации в статистической физике. Доказательство соответствующих теорем сводится, по существу, к проверке того, что малые вероятности больших отклонений от значений среднего поля подавляют статистические факторы (энтропию). Это завершает обсуждение случая, когда квазиклассическое приближение дает правильную качественную картину, а именно случая, когда у $P$ имеются большие потенциальные барьеры. При этом у $P$ имеются глубокие колодцы с хорошо отделенными друг от друга минимумами, так что $e^{-P}$ аппроксимируется произведением гауссовых множителей. В этой ситуации полином $P+8 P$ при Критическая точка есть, по определению, граничная точка области фазовых переходов. В рассмотренной выше классической Рис. 5.1. картине этот случай возникает из-за слияния двух минимумов, как на рис. 5.1, так что вместо (5.2.7) справедливо разложение Поскольку $P^{\prime \prime}\left(\xi^{c}\right)=0$ и различные минимумы не только не разделены, но и сливаются в один, классическое описание критической точки не является точным, хотя его и можно использовать в качестве грубого ориентира. Для классической критической точки квазиклассическая мера (5.2.10) является гауссовой с ковариацией Дальнодействующие (степенные) корреляции вида (5.2.13) типичны для критических теорий, хотя показатель $(-d+2)$ может быть заменен другим. В действительности этот показатель зависит от опущенных членов в (5.2.12). (При $d=2$ асимптотическое поведение функции (5.2.13) имеет вид — $(1 / 2 \pi) \ln |i-j|$.) Корреляционные неравенства дают оценки сверху для поправок к (5.2.13). Например, в критической точке для теории поля при $|x-y| \rightarrow \infty$ где $\eta$ называется аномальной размерностью. Аналогично для $d$-мерной модели Изинга при критической температуре При $d=1$ имеем $\eta=1^{1}$ ). Если $d=2$, то $\eta=1 / 4$. При $d=3$ приближенные вычисления дают значение $\eta=0,041$. При $d=1,2$ и, возможно, при $d=3$ критические точки не являются гауссовыми. Так как (5.2.13) определяет неверную асимптотику на больших расстояниях, то члены старших порядков в (5.2.12) играют не менее важную роль, чем квазиклассический член $\frac{1}{2}(
|
1 |
Оглавление
|