Простейшей из перенормировок квантовой теории поля является перенормировка вакуума. В евклидовой формулировке это есть утверждение о том, что мера $d \mu$ из $\$ 6.1$ гл. 11 является вероятностной. Это означает, как и в $\S 11.1$, что выполнено деление на нормирующий множитель $Z$. В формализме канонических ансамблей процедуру перенормировки вакуума можно рассматривать как состоящую из двух отдельных этапов. Напишем
\[
\begin{aligned}
1=Z / Z & =Z^{-1} \int e^{-\int: P(\varphi(x)): d x} d \varphi_{C}= \\
& =\int \exp \left[-\ln Z-\int: P(\varphi(x)): d x\right] d \varphi_{C} .
\end{aligned}
\]

В качестве области взаимодействия возьмем прямоугольник $\Lambda$. Тогда $\ln Z$ имеет асимптотическое разложение $\ln Z=c_{1} T+c_{2}$, где $T$ – длина временно́го интервала, в течение которого происходит взаимодействие, а $|\Lambda| / T$ фиксировано (см. гл. 11). Коэффициент $c_{1}=\delta E$ можно интерпретировать как аддитуивую константу, дающую вклад в гамильтониан $H$. В свою очередь $e^{-c_{2}}-$ это мультипликативная константа, с помощью которой норма вакуумного состояния $\Omega \in \mathscr{H}$ приводится к 1 .

На уровне формальной теории возмущений перенормировки вакуума выражаются в том, что, как объяснено в § 8.4, только связные диаграммы дают вклад в функции Швингера. Поэтому перенормировка функций Швингера и $S$-матрицы, основанная на теории возмущений, не использует явно перенормировку вакуума. Из определения
\[
\delta E=T^{-1} \ln Z+o(1) \quad \text { при } \quad T \rightarrow \infty
\]

можно вывести разложение по теории возмущений для величины $\delta E$. В случае $P=\lambda \varphi^{4}$ первые члены разложения $\delta E$ по степеням $x$ изображены на рис. 14.1.

Рис. 14.1. Разложение $\delta E$ до третьего порядка в случае полинома взаимодействия $P(\varphi)=\lambda \varphi^{4}$.

Постоянную $c_{2}$ (которую будем называть перенормировочной константой вакуумной волновой функции) тоже можно с помощью теории возмущений представить в виде суммы по связным диаграммам. Это те же диаграммы, что и для разложения величины $\delta E$, но с другими числовыми коэффициентами. Например, разложение $\delta E$ имеет только одну вершину с $t=0$, что позволяет выполнить деление на $T$. В силу викова упорядочения вклады первого порядка по $\lambda$ как в $\delta E$, так и в $c_{2}$ отсутствуют.

Следующими по сложности являются перенормировки массы и величины поля. Эти перенормировки определяются с помощью двухточечных функций, которые мы исследуем с использованием уравнения Дайсона и его ядра – соответствующим образом определенного оператора собственной энергии $\Sigma$. Переходя к перенормировке массы, мы предположим, что масса частиц $m$ задана с самого начала, например измерена, мы же хотим найти такие полиномы взаимодействия $P$, что соответствующие им поля имеют частицы массы $m$. Оказывается, такое ограничение (фиксирована масса частиц) выделяет в пространстве всех полиномов подмногообразие коразмерности 1. (Конечно, можно потребовать, чтобы существовало $n>1$ частиц с фиксированной массой $m$ при условни, что кратность собственного значения $m$ оператора массы больше единицы. В этом случае полиномы $P_{\text {перен }}$ составляют подмногообразие коразмерности n.) Ради простоты изучим случай $n=1$. Перенормировкой массы является любое отображение
\[
P \rightarrow P_{\text {nерен }}=P+\delta P
\]

пространства всех полиномов в подмногообразие полиномов, порождающих поле с частицами массы $m$, удовлетворяющее условию $P_{\text {перен }}=P$, если поле, соответствующее $P$, имеет частицы массы $m$.

Такое определение неоднозначно и является слишком общим. В области малых констант связи однозначное определение получается с помощью требования
\[
\delta P(\varphi)=\frac{1}{2} \delta m^{2} \varphi^{2},
\]

где $\delta m^{2}$ является функцией от $m$ и коэффициентов полинома $P$, нахождение которой и составляет проблему перенормировки.

Пусть $\widetilde{S^{(2)} T}$ обозначает усеченную двухточечную функцию Швингера в (евклидовом) импульсном пространстве, а $\widetilde{\mathcal{S}_{0}^{(2) T}}$ аналогичную функцию свободного поля с той же массой $m$. Тогда
\[
\widetilde{S_{0}^{(2)} T}=\left(p^{2}+m^{2}\right)^{-1}
\]

и, согласно спектральной формуле Лемана,
\[
\widetilde{S^{(2)} T}=\frac{Z}{p^{2}+m^{2}}+\int_{M}^{\infty} \frac{d v(a)}{p^{2}+a^{2}} .
\]

Здесь мы предполагаем, что одночастичный гиперболоид изолирован, так что $M>m$. Более того, $Z$ (константа перенормировки величины поля) определяется из формулы (14.3.2). (Константа $Z$ не имеет никакого отношения к статистической сумме $Z$, связанной с перенормировкой вакуума.) Следующее уравнение называется уравнением Дайсона:
\[
\widetilde{S^{(2) T}}=\widetilde{S_{0}^{(2) T}}-\widetilde{S_{0}^{(2)} T} \bar{\Sigma} \widetilde{S^{(2)} T}
\]

и служит определением оператора $\Sigma$. Это есть в точности резольвентное уравнение, и его можно переписать в виде
\[
-\widetilde{\Gamma^{(2)}} \equiv\left(\widetilde{S^{(2)}}\right)^{-1}=\left(\widetilde{S_{0}^{(2)}}\right)^{-1}+\widetilde{\Sigma} .
\]

При этом в импульсном пространстве взятие обратного и умножение являются поточечными операциями.

Продолжив аналитически по $\dot{p}^{2}$ функции $\widetilde{S_{0}^{(2) T}}$ и $\widetilde{S^{(2)} T}$ вплоть до полюса в точке $p^{2}=-m^{2}$, мы увидим, что из (14.3.3) вытекает условие
\[
\left.\tilde{\Sigma}\right|_{p^{2}=-m^{2}}=0 .
\]

Именно это условие выделяет подмногообразие полиномов, приводящих к частицам массы $m$.

Рис. 14.2. Разложение $\tilde{\Sigma}$ для $P(\varphi)=\lambda \varphi^{
atural}$ вплоть до третьего порядка.

На языке диаграмм функция $\tilde{\Sigma}$ представляется в виде суммы диаграмм с двумя внешними отростками, причем каждая диаграмма относительно этих отростков одночастично-неприводима. Последнее означает, что такая диаграмма связна, а стирание одного ребра не может разбить ее на две компоненты, каждая из которых содержит один из двух внешних отростков. Примеры таких диаграмм см. на рис. 14.2.

Мы разложим $\left.\widetilde{\Sigma}\right|_{p^{2}=-m^{2}}$ в формальный степенной ряд по параметрам $a_{j}$-коэффициентам полинома $P(\varphi)=\sum_{j=1}^{n} a_{j} \varphi^{j}$. Тогда $a_{2} \equiv \frac{1}{2} \delta m^{2}$ и
\[
\left.\tilde{\Sigma}\right|_{p^{2}=m-m^{2}}=\delta m^{2}+O\left(a_{1}^{2}, a_{3}^{2}, \ldots, a_{n}^{2}\right) .
\]

Эта формула вместе с соотношением (14.3.4) задает функцию $\delta m^{2}$ как формальный ряд по коэффициентам $a_{1}, \ldots, a_{n}$, который и является определением перенормировки массы с помощью теории возмущений.

Сравнивая выражения (14.3.2) и (14.3.3), мы получим также, что
\[
Z^{-1}-1=\partial \tilde{\Sigma} /\left.\partial p^{2}\right|_{p^{2}=-m^{2}}
\]

поэтому функция $\tilde{\Sigma}$ заодно определяет перенормировочную константу $Z$ для перенормировки величины поля. Условимся писать
\[
\varphi_{\text {перен }}=Z^{-1 / 2} \varphi,
\]

так что двухточечная функция Швингера, выраженная через перенормированное поле $\varphi_{\text {перен, }}$, имеет полюс в точке $p^{2}=-m^{2}$ с вычетом 1. С помощью уравнения Дайсона в форме (14.3.3b) мокно доказать, что при малых константах связи одночастичный гиперболоид изолирован (например, что $M>m$ в (14.3.2)). Пусть $S_{0}$ имеет голую массу $m_{0}$. Нам нужно знать, что при $M^{2}>m^{2}$ функция $\widetilde{\Gamma^{(2)}}$ аналитична в полосе $\operatorname{Re} p^{2} \geqslant-M^{2}$, а функция $\tilde{\Sigma}$ мала при малых константах связи. После этого, применив теорему Руше, получим, что функция $\overparen{\Gamma^{(2)}}$ от переменной $p^{2}$ имеет в окрестности точки $-m_{0}^{2}$ простой нуль. Этот нуль определяет (физическую) массу $m$. С другой стороны, этот факт следует из монотонности функции $\widetilde{\Gamma}$ [Burnap, 1977].

Рис. 14.3. Разложение $\lambda_{\text {физ }}$ до второго порядка $\lambda \varphi^{2}$-модели.
Таблица 14.1. Расходимости перенормировок на малых расстояниях как функций параметра $x$ ультрафиолетового обрезания
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline & $: P(\varphi): 2$ & Юкава, $_{2}$ & $\varphi_{3}^{4}$ & $\varphi_{4}^{4}$ \\
\hline Вакуумная энергия & конечная & $(\ln x)^{2}$ & $x^{2}$ & $x^{4}$ \\
\hline \begin{tabular}{l}
Перенормировка вакуумной \\
волновой функции
\end{tabular} & конечная & конечная & $\ln x$ & $x^{3}$ \\
\hline Macca & конечная & $\ln x$ & $\ln x$ & $x^{2}$ \\
\hline \begin{tabular}{l}
$Z=$ перенормировка величины \\
поля
\end{tabular} & конечная & конечная & конечная & $\ln x$ \\
\hline Заряд & конечная & конечная & конечная & $\ln x$ \\
\hline
\end{tabular}

Последней перенормировкой является перенормировка заряда. Ее определение можно ввести многими способами с помощью тех или иных требований. В модели $\lambda \varphi^{4}$ во все определения входит связная четырехточечная функция, так как последняя, в силу результатов $\S 14.2$, задает процесс рассеяния двух частиц. По любому из этих определений физический заряд $\lambda_{\text {физ }}$ с помощью теории возмущений представляется в виде степенного ряда по $\lambda$, коэффициенты которого выражаются с помощью фейнмановых диаграмм (рис. 14.3). Числовые значения коэффициентов, соответствующих диаграммам, зависят от способа перенормировки. Перенормировка заряда – это всего лишь обращение функционального соответствия $\lambda_{\text {физ }}=\lambda_{\text {физ }}(\lambda)$, так что выражение для $\lambda=$ $=\lambda\left(\lambda_{\text {физ }}\right)$ в виде ряда по $\lambda_{\text {физ }}$ подставляется вместо $\lambda$ в соответствующий лагранжиан. При одном из способов перенормировки в качестве $\lambda_{\text {физ }}$ выбирается, например, значение четырехточечной урезанной связной функции перенормированного поля фперен при значении импульса $p=0$. Урезание здесь означает, что, как и в предложении 14.2.3, оператор $-\square+m^{2}$ применяется к каждой переменной.
Результаты этого параграфа представлены в таблице 14.1 .