В принципе твердые тела и жидкости, так же как и газы, описываются статистическими ансамблями, введенными в предыдущем параграфе, при условии, что задан некоторый потенциал взаимодействия между частицами $V\left(q_{i}-q_{j}\right)$. Из этого описания должно, вообще говоря, следовать, что при подходящей температуре в системе возникает локальная решеточная структура с преобладанием дефектов (в случае жидкостей) или глобальная кристаллическая решетка с изолированными дефектами (в случае кристаллических твердых тел). Однако до сих пор нет доказательств существования такой решеточной структуры, строго математически вытекающего из исходных принципов и предположений о некоторых свойствах потенциала $V$. Более того, даже если бы удалось получить доказательство, начинать таким образом изучение твердых тел было бы неудобно. Вместо этого мы вводим решетку непосредственно в фор мулировку задачи. Точки (узлы) решетки можно представлять себе как равновесные положения атомов или групп атомов в кристалле. С другой стороны, в приложениях к квантовой теории поля решетка $Z^{d}$ вводится для аппроксимации континуума $R^{d}$. В обоих случаях для $i \in Z^{d}$ переменная $\xi_{i} \in X_{i}$ определяет состояние в точке $i$. Например, $\xi_{i}$ может означать напряженность поля, ориентацию магнитного момента или какую-то дискретную переменную,
1) Здесь следует сделать то же уточнение, что и в случае эквивалентности между микроканоническим и каноническим ансамблями (см. предыдущее примечание). – Прим. ред.
например прннимающую значение 0 ни 1 в зависимости от наличия нли отсутствия примеси в точке $i \in Z^{d}$.
Для определенности мы выбнраем в (2.1.2), (2.1.5)
\[
X_{i}=R^{1}, \quad d \mu_{i}=e^{-P\left(\xi_{i}\right)} d \xi_{i} / \int e^{-P} d \xi_{i},
\]

где $\xi_{i} \in R^{1}, d \xi$-мера Лебега, $P$ – ограниенный снизу полином. Допускается также предельный случай
\[
d \mu_{i}=e^{h \xi_{i}} \frac{\delta_{-i}\left(\xi_{i}\right)+\delta_{+1}\left(\xi_{i}\right)}{2 \operatorname{ch} h} d \xi_{i}
\]

где $\delta_{ \pm 1}(\xi)=\delta(\xi \mp 1)$. Нас интересуют кооперативные (или иногда антикооперативные) явления, т. е. такие явления, при которых некоторое событие, случившееся в точке $i$, а именно то, что переменная в точке $i$ приняла некоторое значение $\bar{\xi}_{i}$, благоприятствует (или мешает) появлению близких значений переменных $\xi_{j}$ для точек $j \in Z^{d}$, соседних с $i$. Чаще всего это достигается следующим способом. Пусть $\Delta$-оператор вторых разностей на $Z^{d}$. После суммирования по частям получаем
\[
\langle\xi, \Delta \xi\rangle \equiv-\sum_{i \in Z} \sum_{v=1}^{d}\left(\xi_{i+e_{v}}-\xi_{i}\right)^{2}
\]

где $e_{v}$-единичный вектор $v$-го координатного направления, а $\langle\cdot, \cdot\rangle$ – скалярное произведение в $l_{2}\left(Z^{d}\right)$. Обозначим $\Delta_{\partial \Lambda}$ оператор вторых разностей на $Z^{d}$ с граничными условиями Дирихле на границе $\partial \Lambda$ области $\Lambda \subset R^{d}$ (определение и свойства $\Lambda_{\partial \Lambda}$ см. в $\S 9.5$ ). Пусть
\[
\begin{aligned}
d \mu_{\Lambda} & =e^{\beta\left\langle\xi, \Delta_{\partial \Lambda} \bar{s}\right\rangle / 2} \prod_{i \in \Lambda} d \mu_{i}, \\
d \mu & =\lim _{\Lambda \uparrow R^{d}}\left(d \mu_{\Lambda} / \int d \mu_{\Lambda}\right) .
\end{aligned}
\]

Предельная мера $d \mu$ зависит от $\left.\beta(\sim 1 / T=\text { (температура })^{-1}\right)$ и от коэффициентов $P$. В случае (2.3.1) мы получаем решеточное поле, а в случае (2.3.2) – модель Изинга с внешним полем $h$. Предел (2.3.5) существует всегда и, вообще говоря, является разрывной функцией $\beta$ и $P$. Модель Изинга используется для описания примесей в металлах (сплавов). Она применяется также для качественного описания магнетизма, хотя классическая модель ферромагнетизма, принадлежащая Гейзенбергу ( $X_{i}=S^{2}$ в $(2.1 .2)$ ), ближе к реальности. Большое число подобных моделей с различными решетками, пространствами состояний $X_{i}$ и мерами $d \mu_{i}$ возникает при исследовании примеров из физики твердого тела.

Заметим, что решеточные модели (2.3.5) описывают совершенные кристаллы, в которых дефекты кристаллической структуры не допускаются. В природе совершенные кристаллы встречаются редко, и их физнческие свойства резко отличаются от свойств несовершенных кристаллов. Действительно, дефекты кристаллической структуры в обычных реальных материалах определяют их механические свойства (твердость, хрупкость, усталость и т. д.), см. [Ashcroft, Mermin, 1976]. Некоторые считают, что в квантовой теории поля могут иметь место подобные явления, а именно что конфигурации поля, далекие от области минимума действия или от равновесных конфигураций (мешки, вихри, инстантоны и т. д.), могут обладать подавляющей мерой $d \mu$ и, следовательно, определять основные черты квантового поля. В случае квантовой теории поля все конфигурации (близкие или далекие от равновесия) учитываются ансамблем (2.3.5). Влияние конфигураций, близких к равновесным, анализируется с помощью теории возмущений; вклад от других конфигураций, не охватываемых теорией возмущений, требует более глубокого анализа.