Интересны не только гауссовы интегралы, но и интегралы от виковых произведений $A(\varphi)$ по мерам вида
\[
d \mu=d \mu_{C}=(1 / Z) e^{-v} d \varphi_{C},
\]

где нормирующий множитель $Z$ выбран так, чтобы $\int d \mu=1$. В этом случае интегрирование по частям не позволяет свести интеграл от $A(\varphi)$ к сумме конечномерных интегралов. Формула интегрирования по частям
\[
\int \varphi(f) A(\varphi) d \mu=\int\left\langle C_{\varphi},\left(\frac{\delta A}{\delta \varphi}-A \frac{\delta V}{\delta \varphi}\right)\right\rangle d \mu
\]

содержит дополнительный член, возникающий в результате дифференцирования экспоненты $e^{-V}$. Многократное применение этой формулы приводит к ряду, каждый член которого есть интеграл по мере $d \mu$ от степеней $V$ (точнее, степеней $\delta V / \delta \varphi$ ). Как и в $\S 8.2$,

представим каждый интеграл в виде суммы вкладов по диаграммам Фейнмана. Для монома $: \varphi^{n}: c$ диаграмма представляет собой вершину с $n$ свободными отростками. Первому члену в правой части (8.4.2) соответствуют ребра, полученные спариванием этих отростков. Второму члену соответствует новая вершина (с одним отростком, спаренным с одним из отростков $\varphi$ ).

Многократное применение формулы (8.4.2) приводит к выражению, в котором отростки соединены либо друг с другом, либо с отростком «экспоненциальной» вершины, порожденной новым множителем $\delta V / \delta \varphi$.
Теперь вместо функции $V$ рассмотрим $\lambda V$ и напишем
\[
\int A(\varphi) d \mu \sim \sum a_{l} \lambda^{l} .
\]

Поскольку мера $d \mu$ в общем случае является сингулярным возмущением меры $d \varphi_{c}$, то $\int A(\varphi) d \mu$, вообще говоря, не аналитическая функция переменной $\lambda$. В таких случаях разложение (8.4.3) следует понимать как формальный степенной ряд для величины $\int A(\varphi) d \mu$, которая предполагается $C^{\infty}$-функцией $\lambda$ в окрестности $\lambda=0$ и ее $l$-я производная в нуле равна $a_{l} \cdot l$ !.

Теперь мы покажем, что каждый коэффициент $a_{i}$ представляется в виде суммы по графам Фейнмана. А именно
\[
a_{l}=\sum_{G \in \mathscr{Y}_{l}} I(G)
\]

где $\mathscr{G}_{l}$ — множество полностью спаренных графов с перенумерованными отростками (т. е.диаграмм, у которых есть вершины и ребра, но нет свободных отростков). По определению каждый граф $G \in \mathscr{F}_{t}$ имеет $l V$-вершин (порожденных экспонентой) и некоторое количество вершин, порожденных подынтегральным полиномом $A(\varphi)$. Кроме того, каждый граф $G \in \mathscr{F}_{l}$ связен в том смысле, что каждая его связная компонента содержит по крайней мере одну $A(\varphi)$-вершину. Совокупность $\mathscr{G}_{l}$ состоит из всех таких графов, а величина $I(G)$ задается выражением (8.3.4).

Чтобы доказать равенство (8.4.4) для некоторого $l$, будем интегрировать по частям, если это возможно, до тех пор, пока после $l+1$ дифференцирований экспоненты не появится $l+1$ сомножителей $\lambda \delta V / \delta \varphi$. Такие слагаемые имеют порядок $O\left(\lambda^{l+1}\right)$, и ими можно пренебречь. Останутся члены, которые уже нельзя интегрировать по частям. Это именно те члены, в которых подынтегральный полином оказывается равным константе. Они тривиально интегрируются, так как
\[
\frac{1}{Z} \int \text { const } d \mu=\frac{Z}{Z} \cdot \text { const }=\text { const, }
\]

где константа равна $I(G)$ для некоторого графа $G$. Возникающий таким образом граф $G$ принадлежит определенному выше множеству $\mathscr{G}_{l}$.

Стандартный вывод формулы (8.4.4) исходит обычно из представления единицы $1=Z / Z$ по степеням $\lambda$, которое после сокращений несвязных вакуумных диаграмм приводит к тому же результату. Если формулу переписать в терминах диаграмм с неперенумерованными отростками, то в нее войдет комбинаторный множитель $c(G)$, как и в (8.3.4). Заметим, что нулевой член ряда равен
\[
a_{0}=\int A(\varphi) d \varphi_{C}=(8.2 .2),
\]

т е. сумме по графам Фейнмана, которые содержат только $A(\varphi)$ вершины.

Диаграммы обладают многими свойствами связности, полезными при описании диаграмм, дающих вклад в так называемые усеченные средние. Простейший пример — формулы (8.4.4-5). Другой пример возникает при рассмотрении усеченного среднего
\[
\int A B d \mu-\int A d \mu \cdot \int B d \mu \equiv\langle A B\rangle^{T}
\]

Из разложений (8.4.3-4) следует, что
\[
\begin{array}{c}
\langle A B\rangle^{T}=\sum b_{l} \lambda^{l}, \\
b_{l}=\sum_{G \in \mathscr{F}_{l}^{T}} I(G) .
\end{array}
\]

где

Здесь мы обозначаем $\mathscr{G}_{l}=\mathscr{G}_{l}(A B)$ множество графов, дающих вклад в интеграл $\int A B d \mu$ в соответствии с формулами (8.4.3-4). Множество $\mathscr{G}_{l}^{T} \subset \mathscr{I}_{l}(A B)$ состоит из тех графов, которые связны в более сильном смысле, чем это определено выше, а именно: по крайней мере одна их связная компонента должна содержать вершины как из $A$, так и из $B$. Заметим, что при помощи других, более сложных свойств связности можно определить различные ядра Бете — Солпитера (см. гл. 14) и преобразования Лежандра.