Для задания граничных условий Неймана в качестве границы $\Gamma$ рассмотрим набор гиперплоскостей, разбивающих пространство $R^{d}$ на периодическую решетку (как в рассмотренном выше периодическом случае). Область определения оператора Лапласа – $\Delta_{N}$ с граничными условиямі Неймана состоит из функций $f(x)$, у которых нормальная производная $\partial f / \partial n$ во всех точках грапнцы $\Gamma$ равна нулю.

С помощью метода изображений получим простую формулу для ковариационного оператора Неймана $C_{N}(x, y)$. Пусть задано $y \equiv y_{0}$; определим множество точек $\left\{y_{j}\right\}, j=0,1,2, \ldots$, следующими двумя условиями:
1) $y_{0} \in\left\{y_{j}\right\}$
2) множество $\left\{y_{i}\right\}$ инвариантно при отражениях относительно любой гиперплоскости, принадлежащей границе $\Gamma$.

Пусть $\Lambda$ – связная компонента множества $R^{d} \backslash \Gamma$. В соответствии с данным определением каждая $\Lambda=\Lambda_{f}$ содержит ровно одну точку $y_{j}$.

Предложение 7.4.1. Пусть $m>0$. Тогда для ковариации Неймана справедлива формула
\[
C_{N}(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}
\sum_{j=0}^{\infty} C\left(x-y_{j}\right) & \text { npu } & x, y \in \Lambda, \\
0 & \text { npu } & x \in \Lambda, y \in \Lambda^{\prime}
eq \Lambda .
\end{array}\right.
\]

Доказательство. Так как каждая компонента $\Lambda_{j}$ содержит только одну точку $y_{i}$, то применение оператора ( $-\Delta_{N}+m^{2}$ ) к правой части равенства (7.4.1) дает $\delta(x-y)$. Далее, выполнение граничных условий Неймана гарантируется инвариантностью множества $\left\{y_{i}\right\}$ при отражениях относительно гиперплоскостей из набора Г. Следовательно, правая часть формулы (7.4.1) равна $C_{N}$ в силу единственности решения линейной граничной задачи.

Теорема единственности может быть использована и для доказательства симметрии $C_{N}(x, y)=C_{N}(y, x)$ в следующем утверждении.

Следствие 7.4.2. Ковариация Неймана удовлетворяет следующим условиям:
(a) $C_{N}$ – польжительный оператор в пространстве $L_{2}$;
(b) $0<C(x, y)<C_{N}(x, y)=C_{N}(y, x), x, y \in \Lambda$;
(c) если произведение $m|x-y|$ близко к нулю, то
\[
C_{N}(x, y) \sim\left\{\begin{array}{lll}
|x-y|^{-d+2} & n p u & d \geqslant 3, \\
-\ln (m|x-y|) & \text { npu } & d=2 .
\end{array}\right.
\]