Неравенство Шварца, используемое в симметричной ситуации, допускает обобщение на случай, когда мера $d \mu$ не симметрична относительно отражения $\theta$, определяемого некоторой гиперплоскостью П. В несимметричном случае неравенство Шварца имеет вид
\[
|b(A, B)| \leqslant \text { const } b_{1}(A, A)^{1 / 2} b_{2}(B, B)^{1 / 2},
\]

где $b_{1}, b_{2}$ положительны при отражении $\theta$ и $\theta$-инвариантны. Изложение в этом параграфе носит более технический характер по сравнению с симметричным случаем (§ 10.4). Заметим, однако, что доказанные нике оценки используются лишь для проверки регулярности полей $P(\varphi)_{2}$, но не для доказательства их существования.

Пусть $d \mu$ есть мера вида (10.4.4) с классическими граничными условиями на Г. Определим вначале отвечающие ей $\theta$-инвариантные меры $d \mu_{ \pm}$. Мы предполагаем, что $\Gamma \cap \Pi
eq \varnothing$ и пересечение трансверсально, т. е. $\operatorname{dim}(\Gamma \cap \Pi) \leqslant d-2$. Пусть $\Pi_{ \pm}$- два полупространства $R^{d} \backslash \Pi$. Положим
\[
\begin{array}{l}
\Gamma_{+}=\left(\Gamma \cap \Pi_{+}\right) \cup\left(\theta \Gamma \cap \Pi_{-}\right), \\
\Gamma_{-}=\left(\Gamma \cap \Pi_{-}\right) \cup\left(\theta \Gamma \cap \Pi_{+}\right) .
\end{array}
\]

Легко видеть, что $\Gamma_{+}$и $\Gamma_{-} \theta$-инвариантны. Пусть $\theta B$ – граничные условия $B$, отраженные относительно П, и пусть
\[
B_{+} \equiv \text { граничные условия } B \text { на } \Gamma \cap \Pi_{+} \text {и }
\]
\[
\text { граничные условия } \theta B \text { на } \theta \Gamma \cap \Pi_{-} \text {; }
\]
$B_{-} \equiv$ граничные условия $B$ на $\Gamma \cap \Pi_{-}$и
граничные условия $\theta B$ на $\theta \Gamma \cap \Pi_{+}$.
\[
C_{+}=C_{B_{+}}, \quad C_{-}=C_{B_{-}} .
\]

По построению операторы $C_{+}$и $C_{-} \theta$-инвариантны.
Рассматриваемые нами меры $d \mu$ характеризуются тремя объектами: взаимодействием $V$, объемом $\Lambda$ и гауссовой ковариацией $C$. Положим $V_{ \pm}=V\left(\Lambda_{ \pm}\right), \Lambda_{ \pm}=\Lambda \cap \Pi_{ \pm}$и определим меры $d \mu_{ \pm}$:
\[
\begin{aligned}
d \mu_{+} & =d \mu\left(V_{+}+\theta V_{+}, \Lambda_{+} \cup \theta \Lambda_{+}, C_{B_{+}}\right)= \\
& =Z_{+}^{-1} e^{-\left(V_{+}+\theta V_{+}\right)} d \varphi_{C_{+}}, \\
d \mu_{-} & =d \mu\left(V_{-}+\theta V_{-}, \Lambda_{-} \cup \theta \Lambda_{-}, C_{B_{-}}\right)= \\
& =Z_{-}^{-1} e^{-\left(V_{-}+\theta V_{-}\right)} d \varphi_{C_{+}} .
\end{aligned}
\]

Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
Здесь $Z_{ \pm}$- обычные нормирующие множители, выбранные так, чтобы $\int d \mu_{ \pm}=1$. Так как $V_{ \pm}, \Lambda_{ \pm}$и $C_{ \pm}$, определяющие $d \mu_{ \pm}, \theta$-инвариантны, то
\[
\theta d \mu_{ \pm}=d \mu_{ \pm} .
\]

По теореме 10.4 .2 меры $d \mu_{ \pm}$положительны при отражении $\theta$. Если мера $d \mu \theta$-инвариантна, то $C=C_{+}=C_{-}, d \mu=d \mu_{+}=d \mu_{-}$и $Z=$ $=Z_{+}=Z_{\text {. }}$.

В симметричном случае, т. е. когда мера $d \mu \theta$-инвариантна, неравенство Шварца можно записать в виде
\[
\left|\langle A, B\rangle_{\mu}\right|^{2} \leqslant\langle\theta A, H\rangle_{\mu}\langle\theta B, B\rangle_{\mu}, \quad A \in \mathscr{E}_{-}, \quad B \in \mathscr{E}_{+} .
\]

Обобщением неравенства (10.6.7) является неравенство
\[
\left|\langle A, B\rangle_{\mu}\right|^{2} \leqslant \frac{Z_{+} Z_{-}}{Z^{2}} \operatorname{det}\left(C^{-2} C_{+} C_{-}\right)^{1 / 2}\langle\theta A, A\rangle_{\mu_{-}}\langle\theta B, B\rangle_{\mu_{+}} .
\]

Заметим, что билинейная форма $\langle A, B\rangle_{\mu}$ может не быть положительно определенной.
Предложение 10.6.1. Если неравенство (10.6.8) справедливо в гауссовом случае, то оно выполняется и для меры $d \mu$.
Доказательство. Множитель $Z_{+} Z_{-} Z^{-2}$ можно устранить, если вместо мер $d \mu, d \mu_{+}$ и $d \mu_{-}$рассмотреть ненормированные меры $d \tilde{\mu}=Z d \mu, d \tilde{\mu}_{ \pm}=Z_{ \pm} d \mu_{ \pm}$. Кроме того, множитель $e^{-V}=e^{-V}+e^{-V}$ – можно включить в $A$ и $B$. После этого неравенство (10.6.8) сводится к следующему неравенству, которое отвечает гауссову случаю:
\[
\left|\langle A, B\rangle_{d \varphi_{C}}\right|^{2} \leqslant \operatorname{det}\left(C^{-2} C_{+} C_{-}\right)^{1 / 2}\langle\theta A, A\rangle_{d \Phi C_{-}}\langle\theta B, B\rangle_{d \varphi_{C_{+}}} .
\]

Доказательство неравенства в гауссовом случае проводится по аналогичному образцу: задача сводится к рассмотрению гауссовой меры с $\theta$-инвариантной ковариацией $C_{0}$, т. е. к случаю теоремы 10.4.2. Мы приведем вначале формальные соображения, а позже обсудим детали в некоторых частных случаях, а именно при доказательстве теоремы 10.6.2 и следствия 10.6.3. Эти частные случаи понадобятся нам в гл. 12.

Неравенство (10.6.9) легче понять, если переписать определитель в виде отношения статистических сумм:
\[
\operatorname{det}\left(C^{-2} C_{+} C_{-}\right)^{1 / 2}=Z_{C_{+}} Z_{C_{-}} / Z_{C_{C}}^{2} .
\]

При этом удобно представлять себе множитель $Z_{C_{+}} / Z_{C_{C}}$ как нормировку гауссовой меры $d \varphi_{C_{+}}$по отношению к мере $d \varphi_{c}$. Однако обе эти меры вероятностные, поэтому последнему утверждению необходимо придать более точный смысл. Для этого представим меры $d \varphi_{с}$ и $d \varphi_{C_{ \pm}}$как возмущения некоторой гауссовой меры $d \varphi_{C_{0}}$. Определим интегральные операторы $v$ и $v_{ \pm}$, полагая
\[
v=C^{-1}-C_{0}^{-1}, \quad v_{+}=C_{+}^{-1}-C_{0}^{-1}, \quad v_{-}=C_{-}^{-1}-C_{0}^{-1} .
\]

Эти операторы имеют ядра $v^{\prime}(x, y), v_{ \pm}(x, y)$. Определим также $V_{C}$ формулой
\[
V_{C}=\frac{1}{2} \int \varphi(x) v(x, y) \varphi(y) d x d y
\]

и аналогично определим $V_{C_{ \pm}}$. Используя (9.3.8), можно формально выразить $d \varphi_{C}$ через $d \varphi_{c_{0}}$ :
\[
\begin{array}{c}
d \varphi_{C}=Z_{C}^{-1} e^{-V_{C}} d \varphi_{C_{0}}, \\
Z_{C}=\int e^{-V_{C}} d \varphi_{C_{0}} .
\end{array}
\]

Подставив $v_{ \pm}$вместо $v$, получим аналогичные представления для $d \varphi_{C_{ \pm}}$. По формуле (9.3.7) для гауссовых функциональных интегралов $Z_{C}=\operatorname{det}\left(I+C_{0}^{1 / 2} v C_{0}^{1 / 2}\right)^{-1 / 2}$. Поэтому отношение $Z_{C_{+}} / Z_{C}=$ $=\operatorname{det}\left(C^{-1} C_{+}\right)^{1 / 2}$ не зависит от $C_{0}$. Таким же способом можно получить формулу (10.6.10). В этих вычислениях можно было бы взять в качестве $C_{0}$ оператор $C$. Тогда $Z_{C}=1$. Однако удобнее выбрать оператор $C_{0}$ положительным при отражении $\theta$. Tогда неравенство (10.6.9) будет следовать из положительности меры $d \varphi_{C_{0}}$ при отражении $\theta$ (теорема 10.4.2). Для доказательства (10.6.9) воспользуемся неравенством Шварца относительно скалярного произведения, порожденного мерой $d \varphi_{C_{6}}$. А именно, пусть $A \in \mathscr{E}_{-}, B \in \mathscr{E}_{+}$. Тогда
\[
\left|\langle A, B\rangle_{d \varphi_{C_{0}}}\right|^{2} \leqslant\langle\theta A, A\rangle_{d \varphi_{C_{\ell}}}\langle\theta B, B\rangle_{d \varphi_{C_{0}}}
\]

Перепишем (10.6.15) в виде
\[
\begin{aligned}
\left|\langle A, B\rangle_{d \varphi_{C}}\right|^{2} & =Z_{C}^{-2}\left|\left\langle A B e^{-V_{C}}\right\rangle d \varphi_{C_{1}}\right|^{2} \leqslant \\
& \leqslant Z_{C}^{-2}\left\langle(\theta A) A \exp \left(-V_{C_{-}}\right)\right\rangle_{d \varphi_{C_{0}}}\left\langle(\theta B) B \exp \left(-V_{C_{+}}\right)\right\rangle_{d \varphi_{C_{0}}}= \\
& =Z_{C_{+}} Z_{C_{-}} Z_{C}^{-2}\langle\theta A, A\rangle_{d \varphi_{C_{-}}}\langle\theta B, B\rangle_{d \varphi_{C_{+}}}= \\
& =\operatorname{det}\left(C^{-2} C_{+} C_{-}\right)^{1 / 2}\langle\theta A, A\rangle_{d \varphi_{C_{-}}}\langle\theta B, B\rangle_{d \varphi_{C_{+}}}{ }^{.}
\end{aligned}
\]

Таким образом, требуемое неравенство получено. При этом мы воспользовались разложением $v=v_{1}+v_{2}$, где $v_{1}$ и $v_{2}$ локализованы в П_ и $\Pi_{+}$соответственно и определены соотношениями $v_{-}=v_{1}+\theta v_{1} \theta^{-1}, v_{+}=v_{2}+\theta v_{2} \theta^{-1}$.

Строгое обоснование приведенных выше формальных рассуждений затруднено тем, что гауссовы меры $d \varphi_{C_{B}}$ с различными граничными условиями $B$ взаимно сингулярны. Поэтому операторы $v, v_{ \pm}$также сингулярны, а статистические суммы $Z_{C_{+}}, Z_{C_{-}}$, $Z_{C}$ не существуют. Для преодоления этих трудностей можно ре-

Гл. 10. Оценки, не зависяцие от разиерности
гуляризовать величины (10.6.11-12) п перейти к пределу в (10.6.16). При этом статистические суммы $Z_{C}, Z_{C_{+}}, Z_{C_{-}}$расходятся, однако их отношение, равное $\operatorname{det}\left(C^{-2} C_{+} C_{-}\right)^{1 / 2}$, сходится, и средние $\langle\cdot\rangle_{d \varphi_{C}},\langle\cdot\rangle_{d \varphi_{C_{ \pm}}}$корректно определены.

Неравенством (10.6.8) можно реально воспользоваться только после того, как будут получены оценки $Z_{+} Z_{-} / Z^{2}$ и $\operatorname{det}\left(C^{-2} C_{+} C_{-}\right)^{1 / 2}$

Рис. 10.4. (а) Функция $V$, определяющая меру $d \mu$, имеет носитель в $\Lambda=$ $=\Lambda_{+} \cup \Lambda_{-}$, где $\Pi \subset \Lambda_{+} \cap \Lambda_{-}$. Сплошные линии изображают $\Gamma$, состоящее из $\partial \Lambda$ и прямых, продолжающих две стороны $\partial \Lambda$. Пунктирная линия изображает плоскость $\Pi$ (в качестве $\Pi$ выбирается плоскость $t=0$ ). (b, с) Второй и третий рисунки отвечают мерам $d \mu_{-}, d \mu_{+}$, определяемым ковариациониыми операторами $C_{B \pm}$ с граничными условиями Дирихле на сплошных линиях $\Gamma_{ \pm}$.

в зависимости от объема $\Lambda$. В этом параграфе мы исследуем отношение функциональных определителей $\operatorname{det}\left(C^{-2} C_{+} C_{-}\right)^{1 / 2}$, а оценку отношения $Z_{+} Z_{-} / Z^{2}$ отложим до $\S 12.4$. Для простоты мы ограничимся рассмотрением частного случая, когда на $\Gamma \supseteq \partial \Lambda$ заданы граничные условия Дирихле.

Ниже мы рассматриваем случай $d=2$ и предполагаем, что $\Lambda$ есть прямоугольник $L \times T$, ориентированный вдоль осей $(x, t)$ (рис. 10.4). Пусть $\Pi$ – гиперплоскость $t=0$. Предположим, что II делит $\Lambda$ на два прямоугольника $\Lambda_{-} \cup \Lambda_{+}=\Lambda$ размера $L \times T_{-}$ и $L \times T_{+}$соответственно. Тогда $T=T_{-}+T_{+}$. Пусть ось $x$ выбрана
так, что прямые $x=0, x=L$ проходят через $\partial \Lambda$. Положим
\[
\begin{array}{c}
\Gamma_{0}=\{(x, t): x=0 \text { или } x=L\}, \quad \Gamma=\partial \Lambda \cup \Gamma_{0}, \\
C_{0}=\left(-\Delta_{\Gamma_{0}}+m^{2}\right)^{-1}, \quad C_{B}=\left(-\Delta_{\Gamma}+m^{2}\right)^{-1} .
\end{array}
\]

Теорема 10.6.2. При указанных выше условиях на $B$ справедливо неравенство $\left.(10.6 \cdot 8)^{1}\right)$. Пусть $\Gamma$ и $C_{B}$ такие же, как выше, и кроме того, $m^{-1} \leqslant T_{-} \leqslant T_{+}$, где $m$ – масса в $C_{B}$. Тогда
\[
1 \leqslant \operatorname{det}\left(C^{-2} C_{+} C_{-}\right)^{1 / 2} \leqslant \text { const } e^{\text {const } L / T_{-}}
\]

и константы не зависят от $L, T_{ \pm}$.
Доказательство. Оценка снизу следует из (10.6.9) при $A=B=1$. Для доказательства неравенства (10.6.9) и оценки сверху вычислим отношение определителей. Пусть $H_{0}$ обозначает гамильтониан в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}_{0}$, отвечающий мере $d \varphi_{C_{0}}$. В гл. 6 указан канонический способ построения гамильтониана $H_{0}$, использующий $\theta$-отражения относительно гиперплоскости $\Pi(t=0)$. Так как мера $d \varphi_{C_{0}}$ гауссова, то $\mathscr{H}_{0}$ является пространством Фока и $H_{c}$ есть гамильтониан свободного поля в $\mathscr{H}_{0}$. Таким образом, $\mathscr{H}_{0}$ есть симметрическая тензорная алгебра над одночастичным пространством
\[
L_{2}([0, L], d x) \oplus L_{2}((-\infty, 0], d x) \oplus L_{2}([L, \infty), d x) .
\]

Следовательно, $\mathscr{H}_{0}$ – тензорное произведение пространств Фока, отвечающих этим трем подпространствам. В определитель вносит вклад только первое из них. Поскольку $e^{-i t H_{0}}$ сохраняет структуру тензорного произведения, можно ограничиться рассмотрением множителя $\mathscr{H}_{0}([0, L])$, являющегося симметрической тензорной алгеброй над $L_{2}([0, L], d x)$. Обозначим $h_{0}$ ограничение $H_{0}$ на это одночастичное пространство. Собственные числа оператора $h_{0}$ равны $\left(k^{2}+m^{2}\right)^{1 / 2}=\mu(k)$, где $k \Subset(\pi / L) Z$, а соответствующие собственные функции имеют вид $\sin k x$.

В шредингеровом представлении $\mathscr{H}_{0}$ можно записать в виде бесконечного тензорного произведения
\[
\mathscr{H}_{0}=\underset{k \in(\pi / L) Z}{\otimes} L_{2}\left(R, d v_{k}\left(q_{k}\right)\right)=\underset{k \in(\pi / L) Z}{\otimes} \mathscr{G}_{0}^{(k)} .
\]

Здесь $d v_{k}\left(q_{k}\right)=(\mu(k) / \pi)^{1 / 2} \exp \left(-q_{k}^{2} \mu(k)\right) d q_{k}$, а $\mathscr{H}_{0}^{(k)}$ есть пространство состояний гармонического осциллятора с коюрдинатой $q_{k}$ (см. $\$ 1.5,6.2$ и 6.4). Оператор $e^{-t H^{0}}$ также факторизуется: $e^{-t H_{0}}=\prod_{k} e^{-t H_{0}^{(k)}}$. Здесь $H_{0}^{(k)}$ есть гамильтониан $k$-го гармонического осциллятора, и ядро оператора $e^{-t H_{0}^{(k)}}$ определяется по формуле Мелера (1.5.26):
\[
\begin{aligned}
e^{-t H_{0}^{(k)}}\left(q_{k}, q_{k}^{\prime}\right) & p_{t}^{(k)}\left(q_{k}, q_{k}^{\prime}\right)=\pi^{-1 / 2}\left(1-e^{-2 \mu(k) t}\right)^{-1 / 2} \times \\
& \times \exp \left\{-\left(q_{k}^{2}-q_{k}^{\prime 2}\right) \frac{\mu(k)}{2}-\frac{\mu(k)\left(e^{-\mu(k) t} q_{k}-q_{k}^{\prime}\right)^{2}}{1-e^{-2 \mu(k) t}}\right\} .
\end{aligned}
\]
1) Не следует путать $B$ в неравенстве (10.6.8) и $B$ – граничные условия в данной формулировке. – Прим. перев.

Гл. 10. Оценки, не заоисяцие от размерности
Для состояния $\psi$, разложенного в произведение $\psi=\prod_{k} f_{k}\left(q_{k}\right)$, выполнено равенство
\[
\left\langle\psi, e^{-t H_{i}} \psi\right\rangle_{\mathscr{H}_{0}}=\prod_{k}\left\langle f_{k}, e^{-t H_{*}^{(k)}} f_{k}\right\rangle_{\mathscr{H}_{0}^{(k)}} .
\]

С целью сделать изложение более прозрачным мы проводим вначале формальные вычисления, а их математическое обоснование рассматривается только в конце доказательства. Используя формулу Фейнмана – Қаца в пространстве $\mathscr{\mathscr { C }}_{0}$, получаем
\[
Z_{C}=\int e^{-V_{C}} d \varphi_{C_{1}}=\left\langle\psi, e^{-T H_{0}} \psi\right\rangle_{\mathscr{H} \theta_{1}} .
\]

Здесь $V_{C}=V_{1}+V_{2}$, где $V_{C}=\Delta_{C_{0}}-\Delta_{C}$-локальное выражение с носителем на $\Gamma \cup\{x=0, L\} \equiv \Gamma_{1} \cup \Gamma_{2}, \Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ определяются из условий $\Gamma_{1} \cap \Pi_{+}=\Gamma_{1}, \Gamma_{2} \cap \Pi_{-}=$ $=\Gamma_{2}$, а $V_{1}, V_{2}$ совпадают с $V_{c}$ в $L_{2}\left(l_{ \pm}\right)$. Тогда $\psi$ есть состояние $e^{-V_{1}}$ в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}_{0}$, отвечающем моменту времени $t=T_{+}$, или состояние $e-V$ в пространстве, отвечающем $t=-T$. Как мы увидим ниже, $\psi$ есть произведение состояний по различным модам, пропорциональных $\delta$-функции по каждой моде, $\psi=\prod_{k} c \delta(q(k)$ ). (Состоянию $\psi$ соответствуют граничные условия Дирихле по каждой моде.) Таким образом, в отношении $Z_{C_{+}} Z_{C_{-}} / Z_{C}^{2}$ нормирующие множители $\left(\prod_{k} c\right)$ сокращаются:
\[
\begin{aligned}
\frac{Z_{C_{+}} Z_{C_{-}}}{Z_{C}^{2}} & =\frac{\left\langle\psi, e^{-2 T_{+} H_{0}} \psi\right\rangle\left\langle\psi, e^{-2 T_{-} H_{0}} \psi\right\rangle}{\left\langle\psi, e^{-T H_{n}} \psi\right\rangle^{2}}= \\
& =\prod_{k, k_{+} k_{-}} \frac{\left\langle\delta, \exp \left(-2 T_{+} H_{0}^{\left(k_{+}\right)}\right) \delta\right\rangle\left\langle\delta, \exp \left(-2 T_{-} H_{0}^{\left(k_{-}\right)}\right) \delta\right\rangle}{\left\langle\delta, \exp \left(-T H_{0}^{(k)}\right) \delta\right\rangle^{2}}= \\
& =\operatorname{det}\left(C^{-2} C_{+} C_{-}\right)^{1 / 2} .
\end{aligned}
\]

В этом произведении импульсы $k, k_{ \pm}$пробегают одну и ту же решетку:
\[
k, k_{+}, k_{-} \in(\pi / L) Z .
\]

При помощи (10.6.19) можно представить (10.6.22) в виде
\[
\operatorname{det}\left(C^{-2} C_{+} C_{-}\right)^{1 / 2}=\prod_{k, k_{ \pm}} \frac{1-e^{-2 \mu(k) T}}{\left(1-e^{-4 \mu\left(k_{+}\right) T_{+}}\right)^{1 / 2}\left(1-e^{-4 \mu\left(k_{-}\right) T_{-}}\right)^{1 / 2}} .
\]

Для фиксированных $T_{+}, T_{-}, L$ каждое из произведений по $k, k_{+}$и $k_{-}$сходится, так как при $\alpha t>0$ любое выражение вида $e^{-\alpha \mu(k) t}$ сходится к нулю экспоненциально.

Поскольку числитель в (10.6.24) меньше 1 и по условиям теоремы $T_{-} \leqslant T_{+}$, имеем оценку
\[
\begin{aligned}
\operatorname{det}\left(C^{-2} C_{+} C_{-}\right)^{1 / 2} & \leqslant \prod_{k}\left(1-e^{-4 \mu(k) T_{-}}\right)^{-1}= \\
& =\exp \sum_{k} \ln \left(1-e^{-4 \mu(k) T_{-}}\right)^{-1} .
\end{aligned}
\]

Ковариация $C_{B} \in \mathscr{C}_{m}$ имеет массу не меньше $m$, поэтому $m \leqslant \mu(k)$. Следовательно, $4<4 \mu(k) T_{-}$, так как по условиям $m^{-1} \leqslant T_{-}$. Таким образом, показатель $4 \mu(k) T_{-}$в (10.6.25) отделен от нуля, а экспонента
\[
e^{-4 \mu(k) T}-\leqslant e^{-4 m T}-\leqslant e^{-4}<1
\]

отделена от 1. Воспользовавшись неравенством $\ln (1-\varepsilon)^{-1} \leqslant$ const $\varepsilon$, где $0 \leqslant \varepsilon \leqslant \varepsilon_{0}<1$ и константа зависит от $\varepsilon_{0}$, получаем
\[
\operatorname{det}\left(C^{-2} C_{+} C_{-}\right)^{1 / 2} \leqslant \exp \left(\text { const } \sum_{k} e^{-4 \mu(k) T_{-}}\right) \leqslant \text {const } \cdot \exp O\left(L / T_{-}\right) .
\]

Для обоснования этих формальных рассуждений вернемся к формуле (10.6.21). Найдем теперь регуляризованное $Z_{C}$, подставив вместо $e^{-V_{1,2}}$ сглаженио произведенне волновых функций $\psi^{\text {x }}=\prod_{k}{ }_{1 \leqslant x_{1}} c \delta_{x_{2}}(q(k))$. Заметим, что для доказательства неравенства (10.6.9) достаточно выбирать величины $A, B$ из каких-нибудь плотных подпространств в пространствах $\mathscr{E}_{ \pm}$. Пусть $A, B$ – непрерывные ограниченные функции от конечного числа ортогональных мод, зависящие от конечного числа момснтов времени (цилиндрические функции). Цля таких $A, B$ сходнмость гауссова интеграла при $x_{1} \rightarrow \infty$ следует из сходимости характернстического функционала и, следовательно, из слабой сходимости ковариационных операторов как $L_{2}$-операторов. Так как ортогональные моды диагонализуют ковариационный оператор, слабая сходимость при увеличении чнсла мод очсвидна. Следовательно, достаточно рассмотреть фиксированное конечное значение $\chi_{1}$.

Применяя неравенство Шварца последовательно в каждом множителе $\mathscr{H}_{0}^{k}$, мы видим, что неравенство (10.6.9) достаточно доказать для отдельного мноки. теля. Поэтому достаточно рассмотреть одну моду, т. е. обычную меру Винера на траекториях в $R$. В $\$ 7.8$ было показано, что локальное бесконечное возмущение массы в ковариационном операторе порождает граннчные условия Дирихле. Этот вывод применим к каждой ортогональной моде, т.е. к ковариационным операторам, являющимся фушкциями только от $t$. Такие ковариации Дирихле $C^{(k)}$ определяот гауссову меру в пространстве траекторий $k$-го осциллятора, причем масса осциллятора зависит от $t$. Р ассмотрим аппроксимирующие операторы $C^{\left(k, x_{2}\right)}$, где $\varkappa_{2}$ характеризует массу, зависящую от $t$. При $\varkappa_{2} \rightarrow \infty$ масса становится бесконечной в точках, где локализованы граничные условия Дирихле (например, в точках $t= \pm T$ ), и $C^{\left(k, x_{1}\right)}$ сходится к ковариации Дирихле.

Из результатов $\S 9.3$ вытекает, что возмущение массы в ковариации $C^{\left(k, x_{2}\right.}$ можно представить с помощью экспоненциального множителя Фсйнмана – Қаца в гауссовой мере, определяемой оператором $C^{\left(k, x_{2}\right)}$. Показатель экспоненты зависит от времени и имеет вид $V\left(q_{k}, t\right)=0$ или $x_{2} q_{k}^{2}$, причем выбор между этими двумя значениями делается в зависимости от $t$. Таким способом мы получаем явную последовательность размазанных $\delta$-функций $\delta_{\varkappa_{2}}$ в $\mathscr{H}_{0}^{(k)}$, каждая из них определяет гауссову меру и ковариации этих мер сходятся к ковариации Дирихле $C^{(k)}$, отвечающей $k$-му осциллятору.

Из оценок, с помощью которых доказывается непрерывность по Гёльдеру типичной винеровской траектории, следует, что $\delta_{\varkappa_{2}} \rightarrow \delta$ при $x_{2} \rightarrow \infty$. Следовательно, полагая в формуле (10.6.19) $q=q^{\prime}=0$, представим выражение (10.6.22) в виде $(10.6 .24)$.

В случае, когда $A$ и $B$ – ограниченные непрерывные цилиндрические функции, сходимость интегралов в (10.6.9) следует из сходимости ковариаций при $x_{2} \rightarrow \infty$.

В качестве следствия доказанной теоремы сформулируем оценку для случая меры с граничными условиями Дирихле на $\partial \Lambda$ (но
Гл. 11. Поля без обрезания
не на бесконечных прямых $x=0, L$, как было выше). Мы будем считать, что $A, B$ локализованы в $\Lambda_{-}, \Lambda_{+}$.
Следствие 10.6.3. Пусть $\Lambda$ есть прямоугольник $L \times T$, как и в предыдущей теореме. Пусть $C_{B}=C_{\partial \Lambda}$ есть ковариационный опера$\in \mathscr{E}\left(\Lambda_{-}\right), B \in \mathscr{E}\left(\Lambda_{+}\right)$. Тогдa
\[
\langle A, B\rangle_{\mu} \mid \leqslant \text { const } \frac{Z_{+} Z_{-}}{Z^{2}}\langle\theta A, A\rangle_{\mu_{-}}\langle\theta B, B\rangle_{\mu_{+}} \exp \left(\frac{L}{T_{+}}+\frac{L}{T_{-}}\right),
\]

где конотанта не зависит от $L, T_{ \pm} \geqslant 1$.
Доказательство. Так как $A, B, V$ локализованы в $\Lambda$ (т. е. являются элементами $\mathscr{E}(\Lambda)$ ), а мера $d \varphi_{C_{\partial \Lambda}}$ факторизуется в $\mathscr{E}(\Lambda) \otimes \mathscr{E}\left(R^{2} \backslash \Lambda\right)$, то $\langle A, B\rangle_{\mu}=\langle A, B)_{\mu}$, где мера $\tilde{\mu}$ получается заменой $C_{\partial \Lambda}$ на ковариационный оператор $C$, рассмотренный в теореме 10.6.2. Аналогично, при вычислении средних на пространствах $\mathscr{E}\left(\Lambda_{ \pm} \cup \theta \Lambda_{ \pm}\right)$можио заменить $\mu_{ \pm}$на $\tilde{\mu}_{ \pm}$. Далее применяем доказанную теорему, используя меры $\tilde{\mu} . \tilde{\mu} \pm$.