Неравенство Шварца, используемое в симметричной ситуации, допускает обобщение на случай, когда мера $d\mu$ не симметрична относительно отражения $\theta$, определяемого некоторой гиперплоскостью П. В несимметричном случае неравенство Шварца имеет вид
$$|b(A,B)|⩽\text{ const }{b}_1(A,A{)}^{1/2}{b}_2(B,B{)}^{1/2},$$

где $b_1,b_2$ положительны при отражении $\theta$ и $\theta$-инвариантны. Изложение в этом параграфе носит более технический характер по сравнению с симметричным случаем (§ 10.4). Заметим, однако, что доказанные нике оценки используются лишь для проверки регулярности полей $P(\phi {)}_2$, но не для доказательства их существования.

Пусть $d\mu$ есть мера вида (10.4.4) с классическими граничными условиями на Г. Определим вначале отвечающие ей $\theta$-инвариантные меры $d{\mu }_{\pm }$. Мы предполагаем, что $\mathrm{\Gamma }\cap \mathrm{\Pi }eq\varnothing$ и пересечение трансверсально, т. е. $\dim (\mathrm{\Gamma }\cap \mathrm{\Pi })⩽d-2$. Пусть ${\mathrm{\Pi }}_{\pm }$- два полупространства $R^d\mathrm{\setminus }\mathrm{\Pi }$. Положим
$$\begin{array}{l}{\mathrm{\Gamma }}_{+}=(\mathrm{\Gamma }\cap {\mathrm{\Pi }}_{+})\cup (\theta \mathrm{\Gamma }\cap {\mathrm{\Pi }}_{-}),\\ {\mathrm{\Gamma }}_{-}=(\mathrm{\Gamma }\cap {\mathrm{\Pi }}_{-})\cup (\theta \mathrm{\Gamma }\cap {\mathrm{\Pi }}_{+}).\end{array}$$

Легко видеть, что ${\mathrm{\Gamma }}_{+}$и ${\mathrm{\Gamma }}_{-}\theta$-инвариантны. Пусть $\theta B$ — граничные условия $B$, отраженные относительно П, и пусть
$$B_{+}\equiv \text{ граничные условия }B\text{ на }\mathrm{\Gamma }\cap {\mathrm{\Pi }}_{+}\text{и }$$
$$\text{ граничные условия }\theta B\text{ на }\theta \mathrm{\Gamma }\cap {\mathrm{\Pi }}_{-}\text{; }$$
$B_{-}\equiv$ граничные условия $B$ на $\mathrm{\Gamma }\cap {\mathrm{\Pi }}_{-}$и
граничные условия $\theta B$ на $\theta \mathrm{\Gamma }\cap {\mathrm{\Pi }}_{+}$.
$$C_{+}=C_{B_{+}},C_{-}=C_{B_{-}}.$$

По построению операторы $C_{+}$и $C_{-}\theta$-инвариантны.
Рассматриваемые нами меры $d\mu$ характеризуются тремя объектами: взаимодействием $V$, объемом $\mathrm{\Lambda }$ и гауссовой ковариацией $C$. Положим $V_{\pm }=V\left({\mathrm{\Lambda }}_{\pm }\right),{\mathrm{\Lambda }}_{\pm }=\mathrm{\Lambda }\cap {\mathrm{\Pi }}_{\pm }$и определим меры $d{\mu }_{\pm }$:
$$\begin{array}{rl}d{\mu }_{+}& =d\mu (V_{+}+\theta V_{+},{\mathrm{\Lambda }}_{+}\cup \theta {\mathrm{\Lambda }}_{+},C_{B_{+}})=\\ & =Z_{+}^{-1}{e}^{-(V_{+}+\theta V_{+})}d{\phi }_{C_{+}},\\ d{\mu }_{-}& =d\mu (V_{-}+\theta V_{-},{\mathrm{\Lambda }}_{-}\cup \theta {\mathrm{\Lambda }}_{-},C_{B_{-}})=\\ & =Z_{-}^{-1}{e}^{-(V_{-}+\theta V_{-})}d{\phi }_{C_{+}}.\end{array}$$

Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
Здесь $Z_{\pm }$- обычные нормирующие множители, выбранные так, чтобы $\int d{\mu }_{\pm }=1$. Так как $V_{\pm },{\mathrm{\Lambda }}_{\pm }$и $C_{\pm }$, определяющие $d{\mu }_{\pm },\theta$-инвариантны, то
$$\theta d{\mu }_{\pm }=d{\mu }_{\pm }.$$

По теореме 10.4 .2 меры $d{\mu }_{\pm }$положительны при отражении $\theta$. Если мера $d\mu \theta$-инвариантна, то $C=C_{+}=C_{-},d\mu =d{\mu }_{+}=d{\mu }_{-}$и $Z=$ $=Z_{+}=Z_{\text{. }}$.

В симметричном случае, т. е. когда мера $d\mu \theta$-инвариантна, неравенство Шварца можно записать в виде
$${|⟨A,B{⟩}_{\mu }|}^2⩽⟨\theta A,H{⟩}_{\mu }⟨\theta B,B{⟩}_{\mu },A\in {\mathcal{E}}_{-},B\in {\mathcal{E}}_{+}.$$

Обобщением неравенства (10.6.7) является неравенство
$${|⟨A,B{⟩}_{\mu }|}^2⩽\frac{Z_{+}{Z}_{-}}{Z^2}\det {\left(C^{-2}{C}_{+}{C}_{-}\right)}^{1/2}⟨\theta A,A{⟩}_{{\mu }_{-}}⟨\theta B,B{⟩}_{{\mu }_{+}}.$$

Заметим, что билинейная форма $⟨A,B{⟩}_{\mu }$ может не быть положительно определенной.
Предложение 10.6.1. Если неравенство (10.6.8) справедливо в гауссовом случае, то оно выполняется и для меры $d\mu$.
Доказательство. Множитель $Z_{+}{Z}_{-}{Z}^{-2}$ можно устранить, если вместо мер $d\mu ,d{\mu }_{+}$ и $d{\mu }_{-}$рассмотреть ненормированные меры $d\tilde{\mu }=Zd\mu ,d{\tilde{\mu }}_{\pm }=Z_{\pm }d{\mu }_{\pm }$. Кроме того, множитель $e^{-V}=e^{-V}+e^{-V}$ — можно включить в $A$ и $B$. После этого неравенство (10.6.8) сводится к следующему неравенству, которое отвечает гауссову случаю:
$${|⟨A,B{⟩}_{d{\phi }_C}|}^2⩽\det {\left(C^{-2}{C}_{+}{C}_{-}\right)}^{1/2}⟨\theta A,A{⟩}_{d\mathrm{\Phi }{C}_{-}}⟨\theta B,B{⟩}_{d{\phi }_{C_{+}}}.$$

Доказательство неравенства в гауссовом случае проводится по аналогичному образцу: задача сводится к рассмотрению гауссовой меры с $\theta$-инвариантной ковариацией $C_0$, т. е. к случаю теоремы 10.4.2. Мы приведем вначале формальные соображения, а позже обсудим детали в некоторых частных случаях, а именно при доказательстве теоремы 10.6.2 и следствия 10.6.3. Эти частные случаи понадобятся нам в гл. 12.

Неравенство (10.6.9) легче понять, если переписать определитель в виде отношения статистических сумм:
$$\det {\left(C^{-2}{C}_{+}{C}_{-}\right)}^{1/2}=Z_{C_{+}}{Z}_{C_{-}}/Z_{C_C}^2.$$

При этом удобно представлять себе множитель $Z_{C_{+}}/Z_{C_C}$ как нормировку гауссовой меры $d{\phi }_{C_{+}}$по отношению к мере $d{\phi }_c$. Однако обе эти меры вероятностные, поэтому последнему утверждению необходимо придать более точный смысл. Для этого представим меры $d{\phi }_{с}$ и $d{\phi }_{C_{\pm }}$как возмущения некоторой гауссовой меры $d{\phi }_{C_0}$. Определим интегральные операторы $v$ и $v_{\pm }$, полагая
$$v=C^{-1}-C_0^{-1},v_{+}=C_{+}^{-1}-C_0^{-1},v_{-}=C_{-}^{-1}-C_0^{-1}.$$

Эти операторы имеют ядра $v^{\prime }(x,y),v_{\pm }(x,y)$. Определим также $V_C$ формулой
$$V_C=\frac{1}{2}\int \phi (x)v(x,y)\phi (y)dxdy$$

и аналогично определим $V_{C_{\pm }}$. Используя (9.3.8), можно формально выразить $d{\phi }_C$ через $d{\phi }_{c_0}$ :
$$\begin{array}{c}d{\phi }_C=Z_C^{-1}{e}^{-V_C}d{\phi }_{C_0},\\ Z_C=\int e^{-V_C}d{\phi }_{C_0}.\end{array}$$

Подставив $v_{\pm }$вместо $v$, получим аналогичные представления для $d{\phi }_{C_{\pm }}$. По формуле (9.3.7) для гауссовых функциональных интегралов $Z_C=\det {(I+C_0^{1/2}v{C}_0^{1/2})}^{-1/2}$. Поэтому отношение $Z_{C_{+}}/Z_C=$ $=\det {\left(C^{-1}{C}_{+}\right)}^{1/2}$ не зависит от $C_0$. Таким же способом можно получить формулу (10.6.10). В этих вычислениях можно было бы взять в качестве $C_0$ оператор $C$. Тогда $Z_C=1$. Однако удобнее выбрать оператор $C_0$ положительным при отражении $\theta$. Tогда неравенство (10.6.9) будет следовать из положительности меры $d{\phi }_{C_0}$ при отражении $\theta$ (теорема 10.4.2). Для доказательства (10.6.9) воспользуемся неравенством Шварца относительно скалярного произведения, порожденного мерой $d{\phi }_{C_6}$. А именно, пусть $A\in {\mathcal{E}}_{-},B\in {\mathcal{E}}_{+}$. Тогда
$${|⟨A,B{⟩}_{d{\phi }_{C_0}}|}^2⩽⟨\theta A,A{⟩}_{d{\phi }_{C_{\ell }}}⟨\theta B,B{⟩}_{d{\phi }_{C_0}}$$

Перепишем (10.6.15) в виде
$$\begin{array}{rl}{|⟨A,B{⟩}_{d{\phi }_C}|}^2& =Z_C^{-2}{\left|⟨AB{e}^{-V_C}⟩d{\phi }_{C_1}\right|}^2⩽\\ & ⩽Z_C^{-2}{⟨(\theta A)A\exp (-V_{C_{-}})⟩}_{d{\phi }_{C_0}}{⟨(\theta B)B\exp (-V_{C_{+}})⟩}_{d{\phi }_{C_0}}=\\ & =Z_{C_{+}}{Z}_{C_{-}}{Z}_C^{-2}⟨\theta A,A{⟩}_{d{\phi }_{C_{-}}}⟨\theta B,B{⟩}_{d{\phi }_{C_{+}}}=\\ & =\det {\left(C^{-2}{C}_{+}{C}_{-}\right)}^{1/2}⟨\theta A,A{⟩}_{d{\phi }_{C_{-}}}⟨\theta B,B{⟩}_{d{\phi }_{C_{+}}}{}^{.}\end{array}$$

Таким образом, требуемое неравенство получено. При этом мы воспользовались разложением $v=v_1+v_2$, где $v_1$ и $v_2$ локализованы в П_ и ${\mathrm{\Pi }}_{+}$соответственно и определены соотношениями $v_{-}=v_1+\theta v_1{\theta }^{-1},v_{+}=v_2+\theta v_2{\theta }^{-1}$.

Строгое обоснование приведенных выше формальных рассуждений затруднено тем, что гауссовы меры $d{\phi }_{C_B}$ с различными граничными условиями $B$ взаимно сингулярны. Поэтому операторы $v,v_{\pm }$также сингулярны, а статистические суммы $Z_{C_{+}},Z_{C_{-}}$, $Z_C$ не существуют. Для преодоления этих трудностей можно ре-

Гл. 10. Оценки, не зависяцие от разиерности
гуляризовать величины (10.6.11-12) п перейти к пределу в (10.6.16). При этом статистические суммы $Z_C,Z_{C_{+}},Z_{C_{-}}$расходятся, однако их отношение, равное $\det {\left(C^{-2}{C}_{+}{C}_{-}\right)}^{1/2}$, сходится, и средние $⟨\cdot {⟩}_{d{\phi }_C},⟨\cdot {⟩}_{d{\phi }_{C_{\pm }}}$корректно определены.

Неравенством (10.6.8) можно реально воспользоваться только после того, как будут получены оценки $Z_{+}{Z}_{-}/Z^2$ и $\det {\left(C^{-2}{C}_{+}{C}_{-}\right)}^{1/2}$

Рис. 10.4. (а) Функция $V$, определяющая меру $d\mu$, имеет носитель в $\mathrm{\Lambda }=$ $={\mathrm{\Lambda }}_{+}\cup {\mathrm{\Lambda }}_{-}$, где $\mathrm{\Pi }\subset {\mathrm{\Lambda }}_{+}\cap {\mathrm{\Lambda }}_{-}$. Сплошные линии изображают $\mathrm{\Gamma }$, состоящее из $\partial \mathrm{\Lambda }$ и прямых, продолжающих две стороны $\partial \mathrm{\Lambda }$. Пунктирная линия изображает плоскость $\mathrm{\Pi }$ (в качестве $\mathrm{\Pi }$ выбирается плоскость $t=0$ ). (b, с) Второй и третий рисунки отвечают мерам $d{\mu }_{-},d{\mu }_{+}$, определяемым ковариациониыми операторами $C_{B\pm }$ с граничными условиями Дирихле на сплошных линиях ${\mathrm{\Gamma }}_{\pm }$.

в зависимости от объема $\mathrm{\Lambda }$. В этом параграфе мы исследуем отношение функциональных определителей $\det {\left(C^{-2}{C}_{+}{C}_{-}\right)}^{1/2}$, а оценку отношения $Z_{+}{Z}_{-}/Z^2$ отложим до $\mathrm{\S }12.4$. Для простоты мы ограничимся рассмотрением частного случая, когда на $\mathrm{\Gamma }\supseteq \partial \mathrm{\Lambda }$ заданы граничные условия Дирихле.

Ниже мы рассматриваем случай $d=2$ и предполагаем, что $\mathrm{\Lambda }$ есть прямоугольник $L\times T$, ориентированный вдоль осей $(x,t)$ (рис. 10.4). Пусть $\mathrm{\Pi }$ — гиперплоскость $t=0$. Предположим, что II делит $\mathrm{\Lambda }$ на два прямоугольника ${\mathrm{\Lambda }}_{-}\cup {\mathrm{\Lambda }}_{+}=\mathrm{\Lambda }$ размера $L\times T_{-}$ и $L\times T_{+}$соответственно. Тогда $T=T_{-}+T_{+}$. Пусть ось $x$ выбрана
так, что прямые $x=0,x=L$ проходят через $\partial \mathrm{\Lambda }$. Положим
$$\begin{array}{c}{\mathrm{\Gamma }}_0=\{(x,t):x=0\text{ или }x=L\},\mathrm{\Gamma }=\partial \mathrm{\Lambda }\cup {\mathrm{\Gamma }}_0,\\ C_0={(-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathrm{\Gamma }}_0}+m^2)}^{-1},C_B={(-{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma }}+m^2)}^{-1}.\end{array}$$

Теорема 10.6.2. При указанных выше условиях на $B$ справедливо неравенство $(10.6\cdot 8{)}^1)$. Пусть $\mathrm{\Gamma }$ и $C_B$ такие же, как выше, и кроме того, $m^{-1}⩽T_{-}⩽T_{+}$, где $m$ — масса в $C_B$. Тогда
$$1⩽\det {\left(C^{-2}{C}_{+}{C}_{-}\right)}^{1/2}⩽\text{ const }{e}^{\text{const }L/T_{-}}$$

и константы не зависят от $L,T_{\pm }$.
Доказательство. Оценка снизу следует из (10.6.9) при $A=B=1$. Для доказательства неравенства (10.6.9) и оценки сверху вычислим отношение определителей. Пусть $H_0$ обозначает гамильтониан в гильбертовом пространстве ${\mathcal{H}}_0$, отвечающий мере $d{\phi }_{C_0}$. В гл. 6 указан канонический способ построения гамильтониана $H_0$, использующий $\theta$-отражения относительно гиперплоскости $\mathrm{\Pi }(t=0)$. Так как мера $d{\phi }_{C_0}$ гауссова, то ${\mathcal{H}}_0$ является пространством Фока и $H_c$ есть гамильтониан свободного поля в ${\mathcal{H}}_0$. Таким образом, ${\mathcal{H}}_0$ есть симметрическая тензорная алгебра над одночастичным пространством
$$L_2([0,L],dx)\oplus L_2((-\mathrm{\infty },0],dx)\oplus L_2([L,\mathrm{\infty }),dx).$$

Следовательно, ${\mathcal{H}}_0$ — тензорное произведение пространств Фока, отвечающих этим трем подпространствам. В определитель вносит вклад только первое из них. Поскольку $e^{-it{H}_0}$ сохраняет структуру тензорного произведения, можно ограничиться рассмотрением множителя ${\mathcal{H}}_0([0,L])$, являющегося симметрической тензорной алгеброй над $L_2([0,L],dx)$. Обозначим $h_0$ ограничение $H_0$ на это одночастичное пространство. Собственные числа оператора $h_0$ равны ${(k^2+m^2)}^{1/2}=\mu (k)$, где $k⋐(\pi /L)Z$, а соответствующие собственные функции имеют вид $\sin kx$.

В шредингеровом представлении ${\mathcal{H}}_0$ можно записать в виде бесконечного тензорного произведения
$${\mathcal{H}}_0=\underset{k\in (\pi /L)Z}{\otimes }{L}_2(R,d{v}_k\left(q_k\right))=\underset{k\in (\pi /L)Z}{\otimes }{\mathcal{G}}_0^{(k)}.$$

Здесь $d{v}_k\left(q_k\right)=(\mu (k)/\pi {)}^{1/2}\exp (-q_k^2\mu (k))d{q}_k$, а ${\mathcal{H}}_0^{(k)}$ есть пространство состояний гармонического осциллятора с коюрдинатой $q_k$ (см. $\mathrm{\$}1.5,6.2$ и 6.4). Оператор $e^{-t{H}^0}$ также факторизуется: $e^{-t{H}_0}=\prod _k{e}^{-t{H}_0^{(k)}}$. Здесь $H_0^{(k)}$ есть гамильтониан $k$-го гармонического осциллятора, и ядро оператора $e^{-t{H}_0^{(k)}}$ определяется по формуле Мелера (1.5.26):
$$\begin{array}{rl}{e}^{-t{H}_0^{(k)}}(q_k,q_k^{\prime })& p_t^{(k)}(q_k,q_k^{\prime })={\pi }^{-1/2}{(1-e^{-2\mu (k)t})}^{-1/2}\times \\ & \times \exp \{-(q_k^2-q_k^{\prime 2})\frac{\mu (k)}{2}-\frac{\mu (k){(e^{-\mu (k)t}{q}_k-q_k^{\prime })}^2}{1-e^{-2\mu (k)t}}\}.\end{array}$$
1) Не следует путать $B$ в неравенстве (10.6.8) и $B$ — граничные условия в данной формулировке. — Прим. перев.

Гл. 10. Оценки, не заоисяцие от размерности
Для состояния $\psi$, разложенного в произведение $\psi =\prod _k{f}_k\left(q_k\right)$, выполнено равенство
$${⟨\psi ,e^{-t{H}_i}\psi ⟩}_{{\mathcal{H}}_0}=\prod _k{⟨f_k,e^{-t{H}_{\ast }^{(k)}}{f}_k⟩}_{{\mathcal{H}}_0^{(k)}}.$$

С целью сделать изложение более прозрачным мы проводим вначале формальные вычисления, а их математическое обоснование рассматривается только в конце доказательства. Используя формулу Фейнмана — Қаца в пространстве ${\mathcal{C}}_0$, получаем
$$Z_C=\int e^{-V_C}d{\phi }_{C_1}={⟨\psi ,e^{-T{H}_0}\psi ⟩}_{\mathcal{H}{\theta }_1}.$$

Здесь $V_C=V_1+V_2$, где $V_C={\mathrm{\Delta }}_{C_0}-{\mathrm{\Delta }}_C$-локальное выражение с носителем на $\mathrm{\Gamma }\cup \{x=0,L\}\equiv {\mathrm{\Gamma }}_1\cup {\mathrm{\Gamma }}_2,{\mathrm{\Gamma }}_1,{\mathrm{\Gamma }}_2$ определяются из условий ${\mathrm{\Gamma }}_1\cap {\mathrm{\Pi }}_{+}={\mathrm{\Gamma }}_1,{\mathrm{\Gamma }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_{-}=$ $={\mathrm{\Gamma }}_2$, а $V_1,V_2$ совпадают с $V_c$ в $L_2\left(l_{\pm }\right)$. Тогда $\psi$ есть состояние $e^{-V_1}$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal{H}}_0$, отвечающем моменту времени $t=T_{+}$, или состояние $e-V$ в пространстве, отвечающем $t=-T$. Как мы увидим ниже, $\psi$ есть произведение состояний по различным модам, пропорциональных $\delta$-функции по каждой моде, $\psi =\prod _{k}c\delta (q(k)$ ). (Состоянию $\psi$ соответствуют граничные условия Дирихле по каждой моде.) Таким образом, в отношении $Z_{C_{+}}{Z}_{C_{-}}/Z_C^2$ нормирующие множители $\left(\prod _{k}c\right)$ сокращаются:
$$\begin{array}{rl}\frac{Z_{C_{+}}{Z}_{C_{-}}}{Z_C^2}& =\frac{⟨\psi ,e^{-2T_{+}{H}_0}\psi ⟩⟨\psi ,e^{-2T_{-}{H}_0}\psi ⟩}{{⟨\psi ,e^{-T{H}_n}\psi ⟩}^2}=\\ & =\prod _{k,k_{+}{k}_{-}}\frac{⟨\delta ,\exp (-2T_{+}{H}_0^{\left(k_{+}\right)})\delta ⟩⟨\delta ,\exp (-2T_{-}{H}_0^{\left(k_{-}\right)})\delta ⟩}{{⟨\delta ,\exp (-T{H}_0^{(k)})\delta ⟩}^2}=\\ & =\det {\left(C^{-2}{C}_{+}{C}_{-}\right)}^{1/2}.\end{array}$$

В этом произведении импульсы $k,k_{\pm }$пробегают одну и ту же решетку:
$$k,k_{+},k_{-}\in (\pi /L)Z.$$

При помощи (10.6.19) можно представить (10.6.22) в виде
$$\det {\left(C^{-2}{C}_{+}{C}_{-}\right)}^{1/2}=\prod _{k,k_{\pm }}\frac{1-e^{-2\mu (k)T}}{{(1-e^{-4\mu \left(k_{+}\right)T_{+}})}^{1/2}{(1-e^{-4\mu \left(k_{-}\right)T_{-}})}^{1/2}}.$$

Для фиксированных $T_{+},T_{-},L$ каждое из произведений по $k,k_{+}$и $k_{-}$сходится, так как при $\alpha t>0$ любое выражение вида $e^{-\alpha \mu (k)t}$ сходится к нулю экспоненциально.

Поскольку числитель в (10.6.24) меньше 1 и по условиям теоремы $T_{-}⩽T_{+}$, имеем оценку
$$\begin{array}{rl}\det {\left(C^{-2}{C}_{+}{C}_{-}\right)}^{1/2}& ⩽\prod _k{(1-e^{-4\mu (k)T_{-}})}^{-1}=\\ & =\exp \sum _k\ln {(1-e^{-4\mu (k)T_{-}})}^{-1}.\end{array}$$

Ковариация $C_B\in {\mathcal{C}}_m$ имеет массу не меньше $m$, поэтому $m⩽\mu (k)$. Следовательно, $4<4\mu (k)T_{-}$, так как по условиям $m^{-1}⩽T_{-}$. Таким образом, показатель $4\mu (k)T_{-}$в (10.6.25) отделен от нуля, а экспонента
$$e^{-4\mu (k)T}-⩽e^{-4mT}-⩽e^{-4}<1$$

отделена от 1. Воспользовавшись неравенством $\ln (1-\epsilon {)}^{-1}⩽$ const $\epsilon$, где $0⩽\epsilon ⩽{\epsilon }_0<1$ и константа зависит от ${\epsilon }_0$, получаем
$$\det {\left(C^{-2}{C}_{+}{C}_{-}\right)}^{1/2}⩽\exp \left(\text{ const }\sum _k{e}^{-4\mu (k)T_{-}}\right)⩽\text{const }\cdot \exp O\left(L/T_{-}\right).$$

Для обоснования этих формальных рассуждений вернемся к формуле (10.6.21). Найдем теперь регуляризованное $Z_C$, подставив вместо $e^{-V_{1,2}}$ сглаженио произведенне волновых функций ${\psi }^{\text{x }}=\prod _k{}_{1⩽x_1}c{\delta }_{x_2}(q(k))$. Заметим, что для доказательства неравенства (10.6.9) достаточно выбирать величины $A,B$ из каких-нибудь плотных подпространств в пространствах ${\mathcal{E}}_{\pm }$. Пусть $A,B$ — непрерывные ограниченные функции от конечного числа ортогональных мод, зависящие от конечного числа момснтов времени (цилиндрические функции). Цля таких $A,B$ сходнмость гауссова интеграла при $x_1\to \mathrm{\infty }$ следует из сходимости характернстического функционала и, следовательно, из слабой сходимости ковариационных операторов как $L_2$-операторов. Так как ортогональные моды диагонализуют ковариационный оператор, слабая сходимость при увеличении чнсла мод очсвидна. Следовательно, достаточно рассмотреть фиксированное конечное значение ${\chi }_1$.

Применяя неравенство Шварца последовательно в каждом множителе ${\mathcal{H}}_0^k$, мы видим, что неравенство (10.6.9) достаточно доказать для отдельного мноки. теля. Поэтому достаточно рассмотреть одну моду, т. е. обычную меру Винера на траекториях в $R$. В $\mathrm{\$}7.8$ было показано, что локальное бесконечное возмущение массы в ковариационном операторе порождает граннчные условия Дирихле. Этот вывод применим к каждой ортогональной моде, т.е. к ковариационным операторам, являющимся фушкциями только от $t$. Такие ковариации Дирихле $C^{(k)}$ определяот гауссову меру в пространстве траекторий $k$-го осциллятора, причем масса осциллятора зависит от $t$. Р ассмотрим аппроксимирующие операторы $C^{(k,x_2)}$, где ${\varkappa }_2$ характеризует массу, зависящую от $t$. При ${\varkappa }_2\to \mathrm{\infty }$ масса становится бесконечной в точках, где локализованы граничные условия Дирихле (например, в точках $t=\pm T$ ), и $C^{(k,x_1)}$ сходится к ковариации Дирихле.

Из результатов $\mathrm{\S }9.3$ вытекает, что возмущение массы в ковариации $C^{(k,x_2}$ можно представить с помощью экспоненциального множителя Фсйнмана — Қаца в гауссовой мере, определяемой оператором $C^{(k,x_2)}$. Показатель экспоненты зависит от времени и имеет вид $V(q_k,t)=0$ или $x_2{q}_k^2$, причем выбор между этими двумя значениями делается в зависимости от $t$. Таким способом мы получаем явную последовательность размазанных $\delta$-функций ${\delta }_{{\varkappa }_2}$ в ${\mathcal{H}}_0^{(k)}$, каждая из них определяет гауссову меру и ковариации этих мер сходятся к ковариации Дирихле $C^{(k)}$, отвечающей $k$-му осциллятору.

Из оценок, с помощью которых доказывается непрерывность по Гёльдеру типичной винеровской траектории, следует, что ${\delta }_{{\varkappa }_2}\to \delta$ при $x_2\to \mathrm{\infty }$. Следовательно, полагая в формуле (10.6.19) $q=q^{\prime }=0$, представим выражение (10.6.22) в виде $(10.6.24)$.

В случае, когда $A$ и $B$ — ограниченные непрерывные цилиндрические функции, сходимость интегралов в (10.6.9) следует из сходимости ковариаций при $x_2\to \mathrm{\infty }$.

В качестве следствия доказанной теоремы сформулируем оценку для случая меры с граничными условиями Дирихле на $\partial \mathrm{\Lambda }$ (но
Гл. 11. Поля без обрезания
не на бесконечных прямых $x=0,L$, как было выше). Мы будем считать, что $A,B$ локализованы в ${\mathrm{\Lambda }}_{-},{\mathrm{\Lambda }}_{+}$.
Следствие 10.6.3. Пусть $\mathrm{\Lambda }$ есть прямоугольник $L\times T$, как и в предыдущей теореме. Пусть $C_B=C_{\partial \mathrm{\Lambda }}$ есть ковариационный опера$\in \mathcal{E}\left({\mathrm{\Lambda }}_{-}\right),B\in \mathcal{E}\left({\mathrm{\Lambda }}_{+}\right)$. Тогдa
$$⟨A,B{⟩}_{\mu }\mid ⩽\text{ const }\frac{Z_{+}{Z}_{-}}{Z^2}⟨\theta A,A{⟩}_{{\mu }_{-}}⟨\theta B,B{⟩}_{{\mu }_{+}}\exp (\frac{L}{T_{+}}+\frac{L}{T_{-}}),$$

где конотанта не зависит от $L,T_{\pm }⩾1$.
Доказательство. Так как $A,B,V$ локализованы в $\mathrm{\Lambda }$ (т. е. являются элементами $\mathcal{E}(\mathrm{\Lambda })$ ), а мера $d{\phi }_{C_{\partial \mathrm{\Lambda }}}$ факторизуется в $\mathcal{E}(\mathrm{\Lambda })\otimes \mathcal{E}\left(R^2\mathrm{\setminus }\mathrm{\Lambda }\right)$, то $⟨A,B{⟩}_{\mu }=⟨A,B{)}_{\mu }$, где мера $\tilde{\mu }$ получается заменой $C_{\partial \mathrm{\Lambda }}$ на ковариационный оператор $C$, рассмотренный в теореме 10.6.2. Аналогично, при вычислении средних на пространствах $\mathcal{E}({\mathrm{\Lambda }}_{\pm }\cup \theta {\mathrm{\Lambda }}_{\pm })$можио заменить ${\mu }_{\pm }$на ${\tilde{\mu }}_{\pm }$. Далее применяем доказанную теорему, используя меры $\tilde{\mu }.\tilde{\mu }\pm$.