Рассмотрим векторнозначные поля $\boldsymbol{\varphi}$, принимающие значения $\varphi(x) \in \mathscr{X}$, где $\mathscr{X}$ есть $R^{n}$ или $S^{n-1}$. Можно рассматривать также поля, для которых $\mathscr{X}$ – алгебра Ли или группа Ли. Функционал мающих значения в $\mathscr{X}$. Обычно функционал $\mathscr{A}$ инвариантен относительно группы симметрий $G$ пространства $\mathscr{X}$. Например, в $\S 5.5$ рассмотрена модель со взаимодействием изингова типа, в которой спиновые переменные $\boldsymbol{\sigma}(x)$ принимают значения в $S^{1}$ и при этом взаимодействие инвариантно относительно группы $U(1)$ вращений $S^{1}$. Эта модель, называемая моделью ротаторов или $X Y$-моделью, была предложена для описания поверхностных явлений и плавления. Аналогичная модель изингова типа со спинами, принимающими значения в $S^{2}$, называется моделью Гейзенберга или $X Y Z$ моделью и используется для качественного описания ферромагнетизма. Наконец, векторные $\varphi^{4}$-модели применяются в физике элементарных частиц, где их называют полями Хиггса.

В случае векторнозначных моделей качественная теория фазовых переходов более сложна. Пусть $\mathscr{A}_{\text {кл }}$ есть пространство конфигураций $\varphi$, минимизирующих $\mathscr{A}$. Обычно такие конфигурации являются постоянными конфигурациями, т. е. $\varphi(x)=$ const, поэтому множество $\mathscr{A}_{\text {кл }}$ отождествляется с некоторым подмноженего поля, предсказывает существование фазовых переходов, нарушающих симметрию, и появление при низких температурах нескольких фаз, соответствующих точкам $\varphi_{\text {кл }} \in \mathscr{M}_{\text {кл. }}$. Например, в случае модели Изинга со спиновым пространством $S^{1}$ имеется однопараметрическое семейство конфигураций $\varphi=(\cos \theta, \sin \theta)$, $\theta=\theta(x)=$ const $\in[0,2 \pi)$, минимизирующих взаимодействие, т. е. $\mathscr{M}_{\text {кл }}=S^{1}$. (Для сравнения: в обычной модели Изинга со спиновым пространством $S^{0}$ множество $\mathscr{M}_{\text {кл }}=\{ \pm 1\}=S^{0}$ дискретно.)

Дія полей, определенных в пространствах малой размерности, т. е. для полей $\varphi(x), x \in R^{d}$, где $d$ мало, фазы, предсказываемые приближением среднего поля, не существуют ни при каких сколь угодно низких положительных температурах, а появляются только при нулевой температуре. Определим для данного взаимодействия наибольшую размерность $d_{\text {кр }}$, при которой фазы, отвечающие приближению среднего поля, существуют только при нулевой температуре. Для однокомпонентной ( $n=1$ ) модели $P(\varphi)_{d}$ и для моделей Изинга картина среднего поля применима, когда размерность $d>1$. Кроме того, методами $\$ 3.3$ было показано, что модели $P(\varphi)_{1}$ эквивалентны квантовой механике с одной степенью свободы и имеют единственное основное состояние. Следовательно, скалярные (с числом компонент $n=1$ ) модели имеют критическую размерность $d_{\text {кр }}=1$. В случае $d>d_{\text {кр }}$ существуют фазовые переходы первого рода при достаточно низких температурах.

Из результатов, доказанных в этом параграфе и в $\$ 16.4$, следует, что в случае модели Изинга со спиновым пространством $S^{n-1}$, где число компонент $n \geqslant 2$, критическая размерность $d_{\mathrm{kp}}=2$. При $d=2$ равновесное состояние для модели ротаторов $\left(S^{1}\right)$ единственно, т. е. при данной температуре существует только одно равновесное состояние. Этот факт выводится нз того, что в этом случае давление, рассматриваемое как функционал в некотором банаховом пространстве потенциалов, дифференцируемо [Bricmont, Fontaine, Landau, 1977]). По построению равновесное состояние инвариантно относительно действия группы вращений $G$ в пространстве $R^{n} \supset S^{n-1}$. В силу единственности, это состояние является чистой фазой. Таким образом, говоря физическим языком, в этом случае нет нарушения симметрии. Единственность равновесного состояния (в указанном выше смысле) гарантирует отсутствие скачков у любой термодинамической функции и, следовательно, отсутствие фазовых переходов первого рода. Тем не менее, как объяснялось в § 5.5, не исключено существование фазовых переходов более высокого рода и вырождение состояний, близких к равновесному.

В настоящее время не существует математически строгой теории, позволяющей определять $d_{\mathrm{kp}}$. Примеры, которые удается исследовать, указывают на важную роль двойственных переменных (т. е. переменных, отвечающих преобразованию Фурье) для описания элементарных возбуждений основного состояния. В скалярных $P(\varphi)$-моделях и в модели Изинга такие переменные определяются границами фаз. Поскольку действие, соответствующее отдельной связной компоненте границы фаз (контуру), растет пропорционально $\beta$ и размеру этого контура, большие контуры подавляются из-за их экспоненциально малой активности $O$ ( $\exp (-\beta$. – размер)). Поэтому при больших $\beta$ они образуют разреженный газ, характеризующий неупорядоченную фазу для $P(\varphi)$-систем и модели Изинга. В случае модели ротаторов двойственными переменными являются вихри и диполи вихрь-антивихрь, см. §5.5.

Ниже мы докажем теорему Хоенберга – Мермина – Вагнера в той форме, в какой она приведена в работе [McBryan, Spencer,

Рис. 16.1. Интегрирование по $\theta_{j}$ B $(16.3 .4)$. 1977]. Из этой теоремы следует, что для $S^{n-1}$-модели Изинга с числом компонент $n \geqslant 2$ размерность $d_{\text {кр }}$ не меньше 2. Для простоты мы ограничимся рассмотрением модели ротаторов. Положим
\[
H=-\sum_{\text {б. } \mathrm{c}} \sigma_{i} \sigma_{j},
\]

где $\sigma_{i} \in S^{1}$, а суммирование распространено на все пары ближайших соседей $(i, j)$. Мы можем записать спин в виде $\boldsymbol{\sigma}=(\cos \theta, \sin \theta)$. Тогда $H$ примет вид
\[
H=-\sum_{\delta . \mathrm{c}} \cos \left(\theta_{i}-\theta_{j}\right)
\]

Теорема 16.3.1. Пусть $\varepsilon>0$. Тогда существует такое $\beta(\varepsilon)<\infty$, что для всех $\beta>\beta(\varepsilon)$ выполняются неравенства
\[
0 \leqslant\left\langle\boldsymbol{\sigma}_{k} \cdot \boldsymbol{\sigma}_{l}\right\rangle \leqslant|k-l|^{-(1-\varepsilon) /(2 \pi \beta)} .
\]

Замечание. В силу теоремы 16.1.1, убывание корреляций (16.3.3) наводит на мысль о единственности основного состояния и отсутствии фазового перехода первого рода. Тем не менее доказать эти утверждения, используя лишь (16.3.3), не удается. Доказательство единственности можно найти в работе [Bricmont, Fontaine, Landau, 1977]. Там же рассматриваются непрерывные $P(\varphi)$-модели. Случай произвольной группы Ли $G$ изучается в работе [Dobrushin, Shlosman, 1975], где доказана инвариантность равновесного состояния относительно группы $G$ для случая, когда значения спина ограничены, или при некоторых других предположениях технического характера ${ }^{1}$ ). Квантовая модель Гейзенберга рассмотрена в книге [Ruelle, 1969].
1) В работе Добрушина и Шлосмана рассмотрена система с произвольным короткодействующим дважды дифференцируемым потенциалом взаимодействия, инвариантным относительно действия компактной связной группы Ли $G$. Доказано, что всякое равновесное состояние инвариантно отосительно группы $G$. Условия гладкости потенциала, по-видимому, существенны. Оценки убывания кор-

Доказательство. Положительность корреляций вытекает из следствия 4.7.2. Для доказательства оценки сверху мы используем следующее представление:
\[
\left\langle\sigma_{k}, \sigma_{l}\right\rangle=Z^{-1} \operatorname{Re} \int_{-\pi}^{\pi} \cdots \int_{-\pi}^{\pi} \exp \left\{\beta \sum_{i j} \cos \left(\theta_{i}-\theta_{j}\right)\right\} \exp \left\{i\left(\theta_{k}-\theta_{l}\right)\right\} \prod_{i} d \theta_{i} .
\]

Предполагается, что система рассматривается в конечном множестве $\Lambda$ на решетке, и доказывается, что оценка убывания корреляций (16.3.3) равномерна по А. Вопросы сходимости при предельном переходе к бесконечному объему здесь не обсуждаются.

Используя пернодичность и аналитичность подынтегрального выражения в $(16.3 .4)$ как функции от $\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots$, мы делаем замену переменных $\theta_{j} \rightarrow \theta_{j}+i a_{i}$, где $a_{i}$ – вещественные константы, выбираемые ниже. Другими словами, мы пользуемся теоремой Коши: интеграл по любому замкнутому контуру на комплексной плоскости $\theta_{j}$ равен нулю (рис. 16,1). Интегралы по боковым отрезкам взаимно сокращаются в силу периодичности. Поэтому интеграл по нижнему отрезку равен интегралу по верхнему отрезку с обратным знаком. Экспонента $e^{-\beta H}$ преобразуется следующим образом:
\[
\cos \left(\theta_{i}-\theta_{j}\right) \rightarrow \cos \left(\theta_{i}-\theta_{j}\right) \operatorname{ch}\left(\alpha_{i}-\alpha_{j}\right)-i \sin \left(\theta_{i}-\theta_{j}\right) \operatorname{sh}\left(a_{i}-a_{j}\right) .
\]

Так как $\left|e^{i x}\right|=1$ при вещественных $x$, мы получаем, что
\[
\begin{array}{c}
\left\langle\sigma_{k} \cdot \sigma_{l}\right\rangle \leqslant \exp \left[-\left(a_{k}-a_{l}\right)\right] Z^{-1} \int \exp \left[\beta \sum \cos \left(\theta_{i}-\theta_{j}\right) \operatorname{ch}\left(a_{i}-a_{j}\right)\right] \prod_{i} d \theta_{i}= \\
=\exp \left[-\left(a_{k}-a_{l}\right)\right] Z^{-1} \int \exp \left[\beta \sum \cos \left(\theta_{i}-\theta_{j}\right)\left(1+\operatorname{ch}\left(a_{i}-a_{j}\right)-1\right)\right] \prod_{i} d \theta_{i} \leqslant \\
\leqslant \exp \left[-\left(a_{k}-a_{l}\right)\right] \exp \left[\beta \sum_{i, j}\left(\operatorname{ch}\left(a_{i}-a_{j}\right)-1\right)\right] .
\end{array}
\]

Положим теперь
\[
a_{j}=\beta^{-1}[C(j, k)-C(j, l)]=\beta^{-1}\left\langle\delta_{j},(-\Delta)^{-1}\left(\delta_{k}-\delta_{l}\right)\right\rangle,
\]

где $C(i, j)=C(i-j)$ – ядро функции Грина $(-\Delta)^{-1}$, а $\Delta$ – оператор Лапласа на решетке. Из (16.3.7) следует, что $a_{i}$ ограничены равномерно по $j$ и фактически

Поэтому
\[
\left|a_{t}\right| \leqslant \text { const } \beta^{-1} \text {. }
\]
\[
\begin{aligned}
\beta \sum(\operatorname{ch} & \left.\left(a_{i}-a_{j}\right)-1\right) \leqslant \frac{\beta}{2}\left(1+O\left(\beta^{-2}\right)\right) \sum_{i, j}\left(a_{i}-a_{j}\right)^{2}= \\
= & \left(\frac{\beta}{2}+O\left(\beta^{-1}\right)\right)\langle a,-\Delta a\rangle=\left(\frac{\beta}{2}+O\left(\beta^{-1}\right)\right) \beta^{-1}\left(a_{k}-a_{l}\right)= \\
= & \frac{1}{2}\left(a_{k}-a_{l}\right)+O\left(\beta^{-2}\right)\left(a_{k}-a_{l}\right) .
\end{aligned}
\]

реляций для таких систем доказываются в работе: Шлосман С. Б. Убывание корреляций в двумерных моделях с непрерывной симметрией. – ТМФ, 1978. т. 37, № 3, с. $427-430$. – Прим. перев.
Используя (16.3.6), получаем, что при достаточно больших $\beta>\beta(\varepsilon)$
\[
\left\langle\boldsymbol{\sigma}_{k} \cdot \boldsymbol{\sigma}_{l}\right\rangle \leqslant \exp \left[-\frac{1}{2}\left(a_{k}-a_{l}\right)(1+\varepsilon)\right] .
\]

Заметим, что, в силу (16.3.7),
\[
0 \leqslant a_{k}-a_{l}=2 \beta^{-1}(C(0)-C(k-l)) .
\]

Положительность следует из того, что $C(k)$ как положительно определенная функция принимает максимальное значение в начале коордннат. Асимптогическое поведение решеточной функцин Грина при $d=2$ имеет вид
\[
C(0)-C(k) \sim \frac{1}{2 \pi} \ln |k|, \quad|k| \rightarrow \infty .
\]

Подставляя (16.3.10-11) в (16.3.9), приходим к утверждению теоремы.
Из корреляционных неравенств, приведенных в следствии 4.7.2, вытекает, что $\left\langle\boldsymbol{\sigma}_{k} \cdot \boldsymbol{\sigma}_{l}\right\rangle-\left\langle\boldsymbol{\sigma}_{k}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{\sigma}_{l}\right\rangle \geqslant 0$. Поскольку среднее $\langle\cdot\rangle$ трансляционно-инвариантно, имеем
\[
0 \leqslant\left\langle\sigma_{k}\right\rangle^{2} \leqslant \lim _{|k-l| \rightarrow \infty}\left\langle\sigma_{k} \cdot \sigma_{l}\right\rangle=0 .
\]

Таким образом, доказано
Следствие 16.3.2. При достаточно больших $\beta$
\[
\left\langle\boldsymbol{\sigma}_{k}\right\rangle=0 .
\]

Замечание. В доказанной теореме можно отказаться от предположения о том, что $\beta$ велико, и получить оценку с меньшей скоростью убывания корреляций. При этом мы докажем, в частности, равенство (16.3.12) для всех $\beta$. Доказательство проводится тем же способом, что и выше, но вместо (16.3.7) мы полагаем
\[
a_{i}=\varepsilon(1+\beta)^{-1}[C(j, k)-C(j, l)] .
\]

Выберем далее $0<\varepsilon<1$ так, чтобы оптимизировать оценку. В результате будет получена
Теорема 16.3.3. Существует такая константа $0<c<1$, что при всех $\beta$
\[
\begin{array}{c}
0 \leqslant\left\langle\boldsymbol{\sigma}_{k} \cdot \boldsymbol{\sigma}_{l}\right\rangle \leqslant|k-l|^{-c /(1+\beta)} \\
u \quad\left\langle\boldsymbol{\sigma}_{k}\right\rangle=0 .
\end{array}
\]