Рассмотрим векторнозначные поля $\mathit{\phi }$, принимающие значения $\phi (x)\in \mathcal{X}$, где $\mathcal{X}$ есть $R^n$ или $S^{n-1}$. Можно рассматривать также поля, для которых $\mathcal{X}$ — алгебра Ли или группа Ли. Функционал мающих значения в $\mathcal{X}$. Обычно функционал $\mathcal{A}$ инвариантен относительно группы симметрий $G$ пространства $\mathcal{X}$. Например, в $\mathrm{\S }5.5$ рассмотрена модель со взаимодействием изингова типа, в которой спиновые переменные $\mathit{\sigma }(x)$ принимают значения в $S^1$ и при этом взаимодействие инвариантно относительно группы $U(1)$ вращений $S^1$. Эта модель, называемая моделью ротаторов или $XY$-моделью, была предложена для описания поверхностных явлений и плавления. Аналогичная модель изингова типа со спинами, принимающими значения в $S^2$, называется моделью Гейзенберга или $XYZ$ моделью и используется для качественного описания ферромагнетизма. Наконец, векторные ${\phi }^4$-модели применяются в физике элементарных частиц, где их называют полями Хиггса.

В случае векторнозначных моделей качественная теория фазовых переходов более сложна. Пусть ${\mathcal{A}}_{\text{кл }}$ есть пространство конфигураций $\phi$, минимизирующих $\mathcal{A}$. Обычно такие конфигурации являются постоянными конфигурациями, т. е. $\phi (x)=$ const, поэтому множество ${\mathcal{A}}_{\text{кл }}$ отождествляется с некоторым подмноженего поля, предсказывает существование фазовых переходов, нарушающих симметрию, и появление при низких температурах нескольких фаз, соответствующих точкам ${\phi }_{\text{кл }}\in {\mathcal{M}}_{\text{кл. }}$. Например, в случае модели Изинга со спиновым пространством $S^1$ имеется однопараметрическое семейство конфигураций $\phi =(\cos \theta ,\sin \theta )$, $\theta =\theta (x)=$ const $\in [0,2\pi )$, минимизирующих взаимодействие, т. е. ${\mathcal{M}}_{\text{кл }}=S^1$. (Для сравнения: в обычной модели Изинга со спиновым пространством $S^0$ множество ${\mathcal{M}}_{\text{кл }}=\{\pm 1\}=S^0$ дискретно.)

Дія полей, определенных в пространствах малой размерности, т. е. для полей $\phi (x),x\in R^d$, где $d$ мало, фазы, предсказываемые приближением среднего поля, не существуют ни при каких сколь угодно низких положительных температурах, а появляются только при нулевой температуре. Определим для данного взаимодействия наибольшую размерность $d_{\text{кр }}$, при которой фазы, отвечающие приближению среднего поля, существуют только при нулевой температуре. Для однокомпонентной ( $n=1$ ) модели $P(\phi {)}_d$ и для моделей Изинга картина среднего поля применима, когда размерность $d>1$. Кроме того, методами $\mathrm{\$}3.3$ было показано, что модели $P(\phi {)}_1$ эквивалентны квантовой механике с одной степенью свободы и имеют единственное основное состояние. Следовательно, скалярные (с числом компонент $n=1$ ) модели имеют критическую размерность $d_{\text{кр }}=1$. В случае $d>d_{\text{кр }}$ существуют фазовые переходы первого рода при достаточно низких температурах.

Из результатов, доказанных в этом параграфе и в $\mathrm{\$}16.4$, следует, что в случае модели Изинга со спиновым пространством $S^{n-1}$, где число компонент $n⩾2$, критическая размерность $d_{\mathrm{kp}}=2$. При $d=2$ равновесное состояние для модели ротаторов $\left(S^1\right)$ единственно, т. е. при данной температуре существует только одно равновесное состояние. Этот факт выводится нз того, что в этом случае давление, рассматриваемое как функционал в некотором банаховом пространстве потенциалов, дифференцируемо [Bricmont, Fontaine, Landau, 1977]). По построению равновесное состояние инвариантно относительно действия группы вращений $G$ в пространстве $R^n\supset S^{n-1}$. В силу единственности, это состояние является чистой фазой. Таким образом, говоря физическим языком, в этом случае нет нарушения симметрии. Единственность равновесного состояния (в указанном выше смысле) гарантирует отсутствие скачков у любой термодинамической функции и, следовательно, отсутствие фазовых переходов первого рода. Тем не менее, как объяснялось в § 5.5, не исключено существование фазовых переходов более высокого рода и вырождение состояний, близких к равновесному.

В настоящее время не существует математически строгой теории, позволяющей определять $d_{\mathrm{kp}}$. Примеры, которые удается исследовать, указывают на важную роль двойственных переменных (т. е. переменных, отвечающих преобразованию Фурье) для описания элементарных возбуждений основного состояния. В скалярных $P(\phi )$-моделях и в модели Изинга такие переменные определяются границами фаз. Поскольку действие, соответствующее отдельной связной компоненте границы фаз (контуру), растет пропорционально $\beta$ и размеру этого контура, большие контуры подавляются из-за их экспоненциально малой активности $O$ ( $\exp (-\beta$. — размер)). Поэтому при больших $\beta$ они образуют разреженный газ, характеризующий неупорядоченную фазу для $P(\phi )$-систем и модели Изинга. В случае модели ротаторов двойственными переменными являются вихри и диполи вихрь-антивихрь, см. §5.5.

Ниже мы докажем теорему Хоенберга — Мермина — Вагнера в той форме, в какой она приведена в работе [McBryan, Spencer,

Рис. 16.1. Интегрирование по ${\theta }_j$ B $(16.3.4)$. 1977]. Из этой теоремы следует, что для $S^{n-1}$-модели Изинга с числом компонент $n⩾2$ размерность $d_{\text{кр }}$ не меньше 2. Для простоты мы ограничимся рассмотрением модели ротаторов. Положим
$$H=-\sum _{\text{б. }\mathrm{c}}{\sigma }_i{\sigma }_j,$$

где ${\sigma }_i\in S^1$, а суммирование распространено на все пары ближайших соседей $(i,j)$. Мы можем записать спин в виде $\mathit{\sigma }=(\cos \theta ,\sin \theta )$. Тогда $H$ примет вид
$$H=-\sum _{\delta .\mathrm{c}}\cos ({\theta }_i-{\theta }_j)$$

Теорема 16.3.1. Пусть $\epsilon >0$. Тогда существует такое $\beta (\epsilon )<\mathrm{\infty }$, что для всех $\beta >\beta (\epsilon )$ выполняются неравенства
$$0⩽⟨{\mathit{\sigma }}_k\cdot {\mathit{\sigma }}_l⟩⩽|k-l{|}^{-(1-\epsilon )/(2\pi \beta )}.$$

Замечание. В силу теоремы 16.1.1, убывание корреляций (16.3.3) наводит на мысль о единственности основного состояния и отсутствии фазового перехода первого рода. Тем не менее доказать эти утверждения, используя лишь (16.3.3), не удается. Доказательство единственности можно найти в работе [Bricmont, Fontaine, Landau, 1977]. Там же рассматриваются непрерывные $P(\phi )$-модели. Случай произвольной группы Ли $G$ изучается в работе [Dobrushin, Shlosman, 1975], где доказана инвариантность равновесного состояния относительно группы $G$ для случая, когда значения спина ограничены, или при некоторых других предположениях технического характера ${}^1$ ). Квантовая модель Гейзенберга рассмотрена в книге [Ruelle, 1969].
1) В работе Добрушина и Шлосмана рассмотрена система с произвольным короткодействующим дважды дифференцируемым потенциалом взаимодействия, инвариантным относительно действия компактной связной группы Ли $G$. Доказано, что всякое равновесное состояние инвариантно отосительно группы $G$. Условия гладкости потенциала, по-видимому, существенны. Оценки убывания кор-

Доказательство. Положительность корреляций вытекает из следствия 4.7.2. Для доказательства оценки сверху мы используем следующее представление:
$$⟨{\sigma }_k,{\sigma }_l⟩=Z^{-1}\mathrm{Re}{\int }_{-\pi }^{\pi }\cdots {\int }_{-\pi }^{\pi }\exp \{\beta \sum _{ij}\cos ({\theta }_i-{\theta }_j)\}\exp \left\{i({\theta }_k-{\theta }_l)\right\}\prod _{i}d{\theta }_i.$$

Предполагается, что система рассматривается в конечном множестве $\mathrm{\Lambda }$ на решетке, и доказывается, что оценка убывания корреляций (16.3.3) равномерна по А. Вопросы сходимости при предельном переходе к бесконечному объему здесь не обсуждаются.

Используя пернодичность и аналитичность подынтегрального выражения в $(16.3.4)$ как функции от ${\theta }_1,{\theta }_2,\dots$, мы делаем замену переменных ${\theta }_j\to {\theta }_j+i{a}_i$, где $a_i$ — вещественные константы, выбираемые ниже. Другими словами, мы пользуемся теоремой Коши: интеграл по любому замкнутому контуру на комплексной плоскости ${\theta }_j$ равен нулю (рис. 16,1). Интегралы по боковым отрезкам взаимно сокращаются в силу периодичности. Поэтому интеграл по нижнему отрезку равен интегралу по верхнему отрезку с обратным знаком. Экспонента $e^{-\beta H}$ преобразуется следующим образом:
$$\cos ({\theta }_i-{\theta }_j)\to \cos ({\theta }_i-{\theta }_j)\mathrm{ch}({\alpha }_i-{\alpha }_j)-i\sin ({\theta }_i-{\theta }_j)\mathrm{sh}(a_i-a_j).$$

Так как $\left|e^{ix}\right|=1$ при вещественных $x$, мы получаем, что
$$\begin{array}{c}⟨{\sigma }_k\cdot {\sigma }_l⟩⩽\exp [-(a_k-a_l)]Z^{-1}\int \exp [\beta \sum \cos ({\theta }_i-{\theta }_j)\mathrm{ch}(a_i-a_j)]\prod _{i}d{\theta }_i=\\ =\exp [-(a_k-a_l)]Z^{-1}\int \exp [\beta \sum \cos ({\theta }_i-{\theta }_j)(1+\mathrm{ch}(a_i-a_j)-1)]\prod _{i}d{\theta }_i⩽\\ ⩽\exp [-(a_k-a_l)]\exp \left[\beta \sum _{i,j}(\mathrm{ch}(a_i-a_j)-1)\right].\end{array}$$

Положим теперь
$$a_j={\beta }^{-1}[C(j,k)-C(j,l)]={\beta }^{-1}⟨{\delta }_j,(-\mathrm{\Delta }{)}^{-1}({\delta }_k-{\delta }_l)⟩,$$

где $C(i,j)=C(i-j)$ — ядро функции Грина $(-\mathrm{\Delta }{)}^{-1}$, а $\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа на решетке. Из (16.3.7) следует, что $a_i$ ограничены равномерно по $j$ и фактически

Поэтому
$$\left|a_t\right|⩽\text{ const }{\beta }^{-1}\text{. }$$
$$\begin{array}{rl}\beta \sum (\mathrm{ch}& (a_i-a_j)-1)⩽\frac{\beta }{2}(1+O\left({\beta }^{-2}\right))\sum _{i,j}{(a_i-a_j)}^2=\\ =& (\frac{\beta }{2}+O\left({\beta }^{-1}\right))⟨a,-\mathrm{\Delta }a⟩=(\frac{\beta }{2}+O\left({\beta }^{-1}\right)){\beta }^{-1}(a_k-a_l)=\\ =& \frac{1}{2}(a_k-a_l)+O\left({\beta }^{-2}\right)(a_k-a_l).\end{array}$$

реляций для таких систем доказываются в работе: Шлосман С. Б. Убывание корреляций в двумерных моделях с непрерывной симметрией. — ТМФ, 1978. т. 37, № 3, с. $427-430$. — Прим. перев.
Используя (16.3.6), получаем, что при достаточно больших $\beta >\beta (\epsilon )$
$$⟨{\mathit{\sigma }}_k\cdot {\mathit{\sigma }}_l⟩⩽\exp [-\frac{1}{2}(a_k-a_l)(1+\epsilon )].$$

Заметим, что, в силу (16.3.7),
$$0⩽a_k-a_l=2{\beta }^{-1}(C(0)-C(k-l)).$$

Положительность следует из того, что $C(k)$ как положительно определенная функция принимает максимальное значение в начале коордннат. Асимптогическое поведение решеточной функцин Грина при $d=2$ имеет вид
$$C(0)-C(k)\sim \frac{1}{2\pi }\ln |k|,|k|\to \mathrm{\infty }.$$

Подставляя (16.3.10-11) в (16.3.9), приходим к утверждению теоремы.
Из корреляционных неравенств, приведенных в следствии 4.7.2, вытекает, что $⟨{\mathit{\sigma }}_k\cdot {\mathit{\sigma }}_l⟩-⟨{\mathit{\sigma }}_k⟩⟨{\mathit{\sigma }}_l⟩⩾0$. Поскольку среднее $⟨\cdot ⟩$ трансляционно-инвариантно, имеем
$$0⩽{⟨{\sigma }_k⟩}^2⩽\underset{|k-l|\to \mathrm{\infty }}{lim}⟨{\sigma }_k\cdot {\sigma }_l⟩=0.$$

Таким образом, доказано
Следствие 16.3.2. При достаточно больших $\beta$
$$⟨{\mathit{\sigma }}_k⟩=0.$$

Замечание. В доказанной теореме можно отказаться от предположения о том, что $\beta$ велико, и получить оценку с меньшей скоростью убывания корреляций. При этом мы докажем, в частности, равенство (16.3.12) для всех $\beta$. Доказательство проводится тем же способом, что и выше, но вместо (16.3.7) мы полагаем
$$a_i=\epsilon (1+\beta {)}^{-1}[C(j,k)-C(j,l)].$$

Выберем далее $0<\epsilon <1$ так, чтобы оптимизировать оценку. В результате будет получена
Теорема 16.3.3. Существует такая константа $0<c<1$, что при всех $\beta$
$$\begin{array}{c}0⩽⟨{\mathit{\sigma }}_k\cdot {\mathit{\sigma }}_l⟩⩽|k-l{|}^{-c/(1+\beta )}\\ u⟨{\mathit{\sigma }}_k⟩=0.\end{array}$$