В двумерном случае виковы полиномы и экспоненты принадлежат пространству $L_{p}\left(d \varphi_{c}\right)$ для любого $p<\infty$. В случае размерности два (и выше) гауссова мера $d \varphi_{c}$ сосредоточена на пространстве обобщенных функций, поэтому сомнительно, что можно применять поточечные операции, такие, как $\varphi(x) \rightarrow \varphi(x)^{2}$. В самом деле,
\[
\varphi(x)^{2}=+\infty \text { почти всюду по мере } d \varphi_{c},
\]

так как
\[
\int_{\Lambda}: \varphi(x)^{2}:_{C} d x \in L_{2}\left(d \varphi_{C}\right) .
\]

В силу асимптотики (7.2.5), в формуле (8.5.2) константа $c$ викова упорядочения для : $\varphi^{2}: c$ растет логарифмически при $d=2$, так как $c=C(x, x)$. Но формально
\[
\int_{\Lambda} \varphi(x)^{2} d x=\int_{\Lambda}: \varphi(x)^{2}: d x+c|\Lambda| .
\]

На самом деле локально интегрируемые функции из пространства $\mathscr{D}^{\prime}$ образуют подмножество нулевой меры в носителе меры $d \varphi$ с. Это означает, что типичные реализации для меры $d \varphi_{c}$ не похожи на обычные функции. Для того чтобы вести изложение на строгом математическом уровне, введем импульсное обрезание. Қак в § 7.1, возьмем функцию $h \in C_{0}^{\infty}\left(R^{2}\right)$, удовлетворяющую условиям $h(y) \geqslant 0$ и $\int h(y) d y=1$, и определим размазанную $\delta$-функцию в точке $x \in R^{2}$ формулой
\[
\delta_{x, x}(y)=x^{2} h(x(x-y)) .
\]

После этого определим импульсное обрезание $\varphi_{x}$ поля $\varphi$ следующим образом:
\[
\varphi_{x}(x)=\varphi\left(\delta_{\varkappa, x}\right)=\int \varphi(y) \delta_{\varkappa, x}(y) d y .
\]

Мономы Вика от импульсного обрезания $\varphi_{x}$ определяются как ортогональные полиномы относительно гауссовой меры $d \varphi c$. В частности, $n$-я викова степень поля $\varphi_{x}(x)$-это $n$-й полином Эрмита
\[
: \varphi_{\chi}(x)^{n}:_{C}=\sum_{j=0}^{[n / 2]} \frac{(-1)^{j} n !}{(n-2 j) ! j ! 2^{j}} c_{\chi}(x)^{j} \varphi_{\varkappa}(x)^{n-2 j},
\]

тде $c_{\varkappa}(x)=\left\langle\delta_{\varkappa, x}, C \delta_{\varkappa, x}\right\rangle$ и
\[
: \varphi_{x}^{n}(f):_{C}=\int: \varphi_{x}(x)^{n}:_{C} f(x) d x .
\]

Заметим, что, в силу (8.5.4), определения (8.5.5) и (6.3.9) совпадают с точностью до замены $c=c_{\varkappa}$. В этом можно убедиться при помощи формул (1.5.12-16) для гармонического осциллятора. Здесь $C$ может быть любым ковариационным оператором, принадлежацим множеству $\mathscr{C}_{m}$ выпуклых комбинаций евклидовых пропагаторов $\left(-\Delta_{B}+m_{l}^{2}\right)^{-1}$ с классическими граничными условиями и массой $m \leqslant m_{1}$ (см. $\S 7.9$ ).
Предложение 8.5.1. Пусть $C \in \mathscr{C}_{m}$, а функция $f \in L_{p}\left(R^{2}\right)$ для некоторого $p>1$ имеет компактный носитель. Тогда $: \varphi_{\varkappa}^{n}(f): c \in L_{2}\left(d \varphi_{c}\right)$

и этот функционал имеет предел в пространстве $L_{2}$ при $x \rightarrow \infty$. Пусть : $\varphi^{n}(f): с$ обозначает этот предел. Тогда для некоторого $\delta>0$ при $x \rightarrow \infty$ справедлива оценка
\[
\left\|: \varphi_{x}^{n}(f):_{C}-: \varphi^{n}(f)::_{C}\right\|_{L_{2}\left(d \varphi_{C}\right)} \leqslant O\left(x^{-\delta}\right) .
\]

Доказательство. Как и в $\S 8.4$, представим интеграл $\int: \varphi_{x}^{n}(f):_{C}^{2} d \varphi_{C}$ в виде суммы $n !$ одинаковых фейнмановских диаграмм, показанных на рис. 8.7. Для каждой из этих диаграмм
\[
I(G)=\int f(x) C_{x}(x, y)^{n} f(y) d x d y,
\]

где
\[
C_{\varkappa}(x, y)=\delta_{\varkappa} C \delta_{\varkappa}=\int \delta_{x}\left(x-x^{\prime}\right) C\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \delta_{x}\left(y^{\prime}-y\right) d x^{\prime} d y^{\prime} .
\]

Пусть $\zeta$ – непрерывная функция с компактным носителем, причем $\zeta \equiv 1$ на носителе $f$. Обозначим интеграл (8.5.8) $I(Q, x)$. Пусть, кроме того, $\delta C=C_{\varkappa_{1}}-C_{\varkappa_{2}}$. Согласно неравенству Гёльдера и свойству (LR 2) (теорема 7.1.1), для $x=\min \left(x_{1}, x_{2}\right)$ и некоторого $\delta>0$ верно неравенство
\[
\begin{array}{c}
\left|I\left(G, x_{1}\right)-I\left(G, x_{2}\right)\right| \leqslant \text { const }\|f\|_{L_{p}}^{2}\|\zeta \delta C \zeta\|_{L_{p^{\prime}}} \leqslant \\
\leqslant O\left(x^{-\delta}\right) .
\end{array}
\]

Это означает, что $: \varphi_{n}^{n}(f):_{C}$ сходится со скоростью $O\left(x^{-\delta}\right)$ в пространстве $L_{2}$.

Теперь мы систематизируем использование неравенства Гёльдера, чтобы применить затем полученные результаты к более сложным диаграммам. Рассмотрим функцию вида
\[
F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n} f_{l}\left(x_{i}\right) \prod_{l} F_{l}\left(x_{i_{1}(l)}, x_{i_{2}(l)}\right),
\]

где $1 \leqslant i_{1}(l)<i_{2}(l) \leqslant n$ для любого $l$. Такая функция $F$ соответствует диаграммам с $n$ вершинами, помеченными индексом $i$, и некоторым количеством ребер $l$, соединяющих вершины с номерами $i_{1}(l)$ и $i_{2}(l)$. Функции $f_{i}$ либо представляют петли, либо являются пробными функциями, а $F_{l}$ соответствуют ковариационному оператору ребра $l$, ограниченному на носитель функции $f_{i_{1}(l)} \times f_{i_{2}(l)}$. Мы будем считать, что вершины диаграммы упорядочены (при помощи индекса $i$ ), а каждое ребро ориентировано (в направлении от $i_{2}(l)$ к $\left.i_{1}(l)\right)$. Пусть
\[
\mathscr{L}_{i}^{\text {in }}=\left\{l: i_{1}(l)=i<i_{2}(l)\right\}, \quad \mathscr{L}_{i}^{\text {out }}=\left\{l: i_{1}(l)<i=i_{2}(l)\right\}
\]

обозначают соответственно множества ребер, входящих в $i$-ю вершину и выходящих из нее (рис. 8.8).

Лемма 8.5.2. В этих обозначениях при условии, что для любого $l$ числа $q_{i}, q_{l}, q$ связаны соотношением
\[
q_{i}^{-1}+\sum_{i \in \mathscr{L}_{i}^{\mathrm{in}} \cup \mathscr{L}_{l}^{\text {out }}} q_{l}^{-1}=q^{-1},
\]

верно неравенство
\[
\|F\|_{L_{q}} \leqslant \prod_{i}\left\|f_{i}\right\|_{L_{q_{i}}} \prod_{l}\left\|F_{l}\right\|_{L_{q_{i}}} .
\]

Доказательство. При помощи подстановки $F \rightarrow F q$ все сводится к случаю $q=1$. Применим неравенство Гёльдера поочередно к интегралам по каждой из пере-
Рис. 8.8. Упорядочение вершин слева направо; in-ребра выходят из вершины вправо, a outребра – влево. У вершины 1 есть только in-ребра, а у вершины 4 -только out-ребра.

менных функции $F$, начиная с $i=n$ и кончая $i=1$. При этом $i$-е неравенство имеет вид
\[
\begin{aligned}
\int_{R^{2}}\left|f_{i}\left(x_{i}\right)\right| & \prod_{l \in \mathscr{L}_{i}^{\text {out }}}\left|F_{l}\left(x_{i_{1}(l)}, x_{i}\right)\right| \prod_{l \in \mathscr{L}_{l}^{\text {in }}}\left\|F_{l}\left(x_{i}, \cdot\right)\right\|_{L_{q_{l}}\left(R^{2}\right)} d x_{i} \leqslant \\
& \leqslant\left\|f_{i}\right\|_{L_{q_{i}}\left(R^{2}\right)} \prod_{l \in \mathscr{L}_{i}^{\text {out }}}\left\|F_{l}\left(x_{i_{1}(l)}, \cdot\right)\right\|_{L_{q_{l}}\left(R^{2}\right)} \prod_{l \in \mathscr{L}_{i}^{\text {in }}}\left\|F_{l}\right\|_{L_{q_{l}}\left(R^{2} \times R^{2}\right)^{\cdot}}
\end{aligned}
\]

Теперь рассмотрим интеграл
\[
R=\int w(x) \prod_{i=1}^{r}: \varphi\left(x_{i}\right)^{n_{t}}:_{c} d x, \quad x=\left(x_{1}, \ldots, x_{r}\right), \quad x_{i} \in R^{2},
\]

и его аппроксимацию при импульсном обрезании
\[
R_{\varkappa}=\int w(x) \prod_{i=1}^{r}: \varphi_{\varkappa}\left(x_{i}\right)^{n_{i}}:_{c} d x .
\]

Теорема 8.5.3. Пусть функция ш имеет компактный носитель и $w \in L_{p}$ для некоторого $p>1$. Тогда $R_{\varkappa}, R \in L_{q}\left(d \varphi_{C}\right)$ для любого $q<\infty$, причем нормы $\left\|R_{\mathcal{x}}\right\|_{L_{q}}$ равномерно ограничены по $x$. Более того, для некоторого в $>0$ и любого целого $j$.
\[
\left.\left|\int\left(R-R_{\varkappa}\right)^{I} d \varphi\right| \leqslant j !^{\Sigma n_{i} / 2} \text { (const }\|w\|_{L_{p}} x^{-\varepsilon}\right)^{\prime} .
\]

Здесь в и константа в правой части не зависят ни от $j$, ни от оператора $C \in \mathscr{Z}_{m}$; однако эта константа пропорциональна $\left(\sum n_{i} / 2\right)$ ! и зависит от носителя функции ш.

Доказательство. В соответствии с предложением 8.3 .1 разложим интегралы $\int R^{i}$ н $\int R_{x}^{j}$ в сумму диаграмм. В этом разложении будет не более $\left[\left(j \sum n_{l}\right)-1\right] ! !$ $\leqslant j !^{\sum n_{l} / 2^{2}}$ (const) ${ }^{l}$ диаграмм. Константа здесь пропорциональна ( $\left.\sum n_{l} / 2\right)$ !. Мы оценим вклад $I(G)$ каждой диаграммы следующим образом. В общем случае
\[
I(G)=\int\left(\prod_{k=1}^{j} w\left(x^{k}\right)\right) F\left(x^{1}, \ldots, x^{j}\right) d x^{1} \ldots d x^{j},
\]

где $x^{k} \in R^{2 r}$ – набор из $2 r$ переменных. Согласно неравенству Гёльдера, мощью леммы 8.5.2. При этом в качестве функции $f_{i}$ можно выбрать характеристическую функцию проекции носителя $w$ на плоскость переменной $x_{l}$. Функции $F_{l}$ – это пропагаторы или разности пропагаторов (ограниченные на supp $w$ ). $L_{p \text {-норма }}$ функции $F_{l}$ ограничена в силу предложения 7.9.1. Для $R_{x}$ все эти оценки равномерны по $\%$.

Аналогично оценим $\left(R-R_{\varkappa}\right)^{j}$. В этом случае каждый множнтель $R-R_{\varkappa}$ можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
R-R_{\boldsymbol{\kappa}}=\sum_{j=1}^{r} \int\left(\prod_{i=1}^{i-1}: \varphi\left(x_{i}\right)^{n_{i}}:_{C}\right)\left(: \varphi\left(x_{j}\right)^{n_{j}}:_{C}-\right. & \left.:_{x}\left(x_{j}\right)^{n_{j}}:_{C}\right) \times \\
& \times\left(\prod_{i=j+1}^{r}:_{x}\left(x_{i}\right)^{n_{t}}:_{C}\right) w(x) d \boldsymbol{x},
\end{aligned}
\]

где
\[
: \varphi\left(x_{j}\right)^{n_{j}}:_{C}-: \varphi_{x}\left(x_{j}\right)^{n_{l}}:_{C}=\sum_{m=1}^{n_{j}}: \varphi\left(x_{j}\right)^{m-1}\left\{\varphi\left(x_{j}\right)-\varphi_{x}\left(x_{j}\right)\right\} \varphi_{x}\left(x_{j}\right)^{n_{j}-m}: .
\]

Таким образом, каждый сомножитель $R-R_{\varkappa}$ добавляет к одной из функций $F_{t}$ множитель $\delta-\delta_{x}$. Поскольку к каждой из $F_{t}$ можно присоединить не более двух таких множителей, $\delta-\delta_{x}$ появится по меньшей мере на $j / 2$ ребрах. По теореме 7.1 .1 (см. также предложение 8.5.1) $\left\|F_{l}\right\|_{L_{q_{l}}} \leqslant O\left(x^{-\varepsilon}\right)$ при условии, что $F_{l}$ содержит множитель $\delta C$ и имеет компактный носитель. Таким образом, мы получаем в формуле (8.5.14) множитель $x^{-\varepsilon j}$.
Следствие 8.5.4. Пусть $R^{(l)}, l=1,2, \ldots, j$, – последовательность полиномов, удовлетворяющих условиям теоремы, и пусть числа $p_{i}$ отделены от 1 и для любого l справедливо неравенство $\sum_{i} n_{i}^{(l)} \leqslant n$. тогда при достаточно большом $x$
\[
\left|\int \prod_{l=1}^{j}\left(R^{(l)}-R_{x}^{(l)}\right) d \varphi_{c}\right| \leqslant j l^{n / 2} x^{-\varepsilon j} \prod_{l=1}^{j}\left\|w^{(l)}\right\|_{L_{p_{i}}}
\]

Доказательство. Неравенство Гёльдера дает
\[
\int \prod_{l=1}^{j}\left(R^{(l)}-R_{\varkappa}^{(l)}\right) d \varphi_{C} \leqslant \prod_{l=1}^{l}\left\|R^{(l)}-R_{\varkappa}^{(l)}\right\|_{L_{i}}
\]

Применим теорему к каждому сомножителю. Константа в теореме равномерно ограничена для любого $p$, отделенного от 1. Выбрав достаточно большое $x$ и чуть уменьшив $\varepsilon$, мы сможем заменить (const) ${ }^{\prime}$ единицей. Это и дает требуемое неравенство.

В этих оценках мы не воспользовались замечательным фактом, что ядро каждой отдельной диаграммы локализовано в пространстве времени. Для рассмотренных выше функций $R$ вклад в интеграл дают $O\left(\left(\Sigma n_{i} / 2\right) !\right)$ диаграмм. Но вклад большинства из них ничтожно мал в силу экспоненциального убывания ядра $C(x, y)$ при $|x-y| \rightarrow \infty$. Чтобы воспользоваться этим обстоятельством, рассмотрим покрытие плоскости $R^{2}$ единичными квадратами $\Delta_{i}$, помеченными точками решетки $i \in Z^{2}$. Будем считать, что носитель функции $w(x)$ из (8.5.12) лежит в $\Delta_{i_{1}} \times \ldots \times \Delta_{i_{r}}$. Пусть
\[
N(\Delta)=\sum_{j}\left\{n: \Delta_{i_{j}}=\Delta\right\}
\]

обозначает число отростков (линейных множителей $\varphi(x)$ ) полинома $R$, вершины которых попали в ячейку $\Delta$.

Теорема 8.5.5. Пусть полином $R$ определен выражением (8.5.12), причем supp $є \subset \Delta_{i_{1}} \times \ldots \times \Delta_{i_{r}} u n_{i} \leqslant n$. Пусть, кроме того, выпуклое разложение оператора $С \in \mathscr{C}_{m}$ не содержит ковариационных операторов с периодическими граничными условиями. Тогда
\[
\left|\int R d \varphi_{C}\right| \leqslant\|w\|_{L_{p}} \prod_{\Delta} N(\Delta) !\left(\text { const } m^{-1 / q}\right)^{N(\Delta)},
\]

где $q=p^{\prime} n$, а $p^{\prime}-$ индекс, сопряженный $\kappa p$.
Доказательство. Мы пов’торим здесь оценки теоремы 8.5.3. Напишем
\[
\left|\int R d \varphi_{C}\right| \leqslant \sum|I(G)| .
\]

По предложению 7.9 .1
\[
\|C\|_{L_{q}\left(\Delta_{i} \times \Delta_{j}\right)} \leqslant O\left(m^{-2 / q}\right) e^{-m \text { dist }\left(\Delta_{i}, \Delta_{j}\right)} .
\]

Отсюда, так как каждое ребро состоит из двух отростков,
\[
|J(G)| \leqslant O\left(\prod_{\Delta}\left(m^{-1 / q}\right)^{N(\Delta)}\right) e^{-m \operatorname{dist}(G)}\|w\|_{L_{p^{\prime}}}
\]

где $\operatorname{dist}(G)=\sum_{l \in Q} \operatorname{dist}\left(\Delta_{i_{1}(l)}, \Delta_{l_{2}(t)}\right) \cdot$ Надо показать, что
\[
\sum_{G} e^{-m \text { dist }(G)} \leqslant \prod_{\Delta}\left(\text { const }^{N(\Delta)} N(\Delta) 1\right) .
\]

Во-первых, заметим, что для фиксированной ячейки $\Delta$ всевозможные перестановки ее отростков приводят к различным диаграммам. Далее, если мы фиксируем какой-нибудь способ соединения отростков из разных ячеек $\Delta$, то каждому такому способу соответствует $\prod_{\Delta} N(\Delta)$ ! диаграмм, отличающихся лишь перестановками отростков в каждой ячейке. Поэтому надо просуммировать $\exp \{-m \operatorname{dist}(G)\}$ только по всем этим способам. Покажем, что
\[
\sum_{i_{2}(l)} e^{-m \text { dist }(G)}=\sum_{i_{2}(t)} \prod_{i} \exp \left[-m \operatorname{dist}\left(\Delta_{i_{1}(l)}, \Delta_{i_{2}(l)}\right)\right] \leqslant \prod_{\Delta} \operatorname{const}^{N(\Delta)} .
\]

Мы только увеличим сумму, если для каждого ребра будем суммировать по всем ячейкам. Следовательно, верны оценки
\[
\begin{aligned}
\sum_{i_{2}(l)} e^{-m \text { dist }(G)} & \leqslant\left[\sum_{\Delta^{\prime}} e^{-m \text { dist }\left(\Delta, \Delta^{\prime}\right)}\right]^{\text {число ребер }} \leqslant \\
& \leqslant \operatorname{const}^{\text {число ребер }}=\prod_{\Delta} \operatorname{const}^{N(\Delta)} \cdot
\end{aligned}
\]