Прежде всего установим обозначения: под $\varphi^{4}$ мы будем понимать взаимодействие
\[
V(\varphi)=\lambda \varphi^{4}+\sigma \varphi^{2}-\mu \varphi
\]
с вещественными $\lambda>0$, $о$ и $\mu$. По теореме Ли-Янга в этой модели при $\mu
eq 0$ нет фазовых переходов. Высокотемпературные разложения (гл. 18) показывают, что фазовых переходов нет также при $\mu=0$ и достаточно больших положительных $\sigma$. Согласно $\S 16.2$, при $\mu=0$ и достаточно больших по модулю отрицательных $\sigma$ наблюдается фазовый переход. В этой области значений параметров предположительно имеются ровно две фазы и существует единственное значение $\sigma=\sigma_{c}$, разделяющее однофазную и двухфазную области. На протяжении этой главы мы определяем $\sigma_{c}$ как точную нижнюю грань тех значений $\sigma$, для которых в модели (17.1.1) имеется единственная фаза и экспоненциально убываюцие корреляции. (Таким образом, оператор $H$ имеет щель в спектре, отделяющую точку 0 -собственное значение, отвечающее вакууму $\Omega$, от остального спектра. Величину этой щели мы называем массой $m>0$.)
Для анализа критической точки здесь используются корреляционные неравенства. В числе других полезных подходов к изуче-
1) Приведенное выше доказательство довольно схематично. В настоящее время известно более простое доказательство неравенства $I \leqslant 1$. Это доказательство также основано на методе мнсгократных отражений; см. [Fröhlich, Israel, Lieb, Simon, 1978]. – Прим. перев.
нию критических явлений можно назвать ннфракрасные оценки (\$ 16.5) и точно решаемые модели [McCoy, Wu, 1973], [Wu, McCoy, Tracy, Barouch, 1976]. Хотя разложения в ряды и применяются для численного исследования критических явлений, использовать их для качественного анализа трудно: критическая точка представляет собой особенность на границе области сходимости, где эти разложения сходятся медленно. На более формальном уровне для описания критических явлений нспользуется ренормгруппа.
Теорема 17.1.1. Для поля, построенного по взаимодействию (17.1.1) с граничными условиями Дирихле и $\mu \geqslant 0$, функции Швингера
\[
\left\langle\varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right)\right\rangle
\]
монотонно возрастают по параметрам $\mu$ и – .
Доказательство. Поскольку поле во всем пространстве является пределом полей в конечных объемах, достаточно провести доказательство для среднего $\langle\cdot\rangle_{\Lambda}$ по полю в конечном объеме $\Lambda$. Полагая, как обычно, для простоты
имеем
\[
\left\langle\varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right)\right\rangle=\langle 1, \ldots, n\rangle,
\]
\[
-\frac{d}{d \sigma}\langle 1, \ldots, n\rangle_{\Lambda}=\int_{\Lambda}\left[\left\langle 1, \ldots, n,: \Phi^{2}(x):\right\rangle_{\Lambda}-\langle 1, \ldots, n\rangle_{\Lambda}\left\langle: \varphi^{2}(x):\right\rangle_{\Lambda}\right] d x .
\]
Подынтегральное выражение здесь положительно в силу второго неравенства Гриффитса. Заметим, что (бесконечная) константа, содержащаяся в : $\varphi^{2}$, не входит уже (в 17.1.3), как и в (10.2.4). То же рассуждение применимо и в случае параметра $\mu$, но лишь для взаимодействий, задаваемых полиномом не выше четвертой степени.
При $\mu
eq 0$ намагниченность $M=M(\sigma, \mu)$ корректно определена как $M(\sigma, \mu)=\langle\varphi\rangle$, поскольку при $\mu
eq 0$ предельное поле является чистой фазой. При $\mu=0$ это определение некорректно, по крайней мере в двухфазной области. Действительно, поскольку мы использовали граничные условия, симметричные по отношению к преобразованию $\varphi \rightarrow-\varphi$, то $\langle\varphi\rangle=0$ при $\mu=0$ и любых б. Если допустить, что в теории с $\mu=0$ имеется не более двух фаз, то правильное определение намагниченности выглядит следующим образом:
\[
M(\sigma)= \pm\left(\lim _{x-y \mid \rightarrow \infty}\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle\right)^{1 / 2} ;
\]
см. § 16.1. При том же предположении о числе фаз определим массу $m(\sigma)$ как показатель экспоненциального убывания величины
\[
\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle-M(\sigma)^{2} \sim e^{-m(\sigma)|x-y|} .
\]
Следствие 17.1.2. При $\mu>0$ намагниченность $M(\sigma)$ монотонно убывает по $\sigma$; если $\sigma>\sigma_{c}$, то $M(\sigma)=0$. Функция $m(\sigma)$ монотонно созрастает при $\sigma \geqslant \sigma_{c}$.
Доказательство. Это утверждение непосредственно следует из теоремы и определений величин $M, m(\sigma)$ и $\sigma_{c}$.
