Анализ, основанный на формуле интегрирования по частям, который был развит в гл. 9 для случая меры $d \mu_{\Lambda}$ в конечном объеме, можно перенести и на случай меры $d \mu$ в бесконечном объеме, построенной в гл. 11. Соответствующие основные тождества порождают ряды, с помощью которых можно установить регуляр-

Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
ность и другие свойства моделей квантового поля. Разложение по теории возмущений, проведенное нами в § 8.4 и 9.4, основывалось на тождествах, связанных с интегрированием по частям. Это же относится к высокотемпературным и низкотемпературным разложениям, изучаемым в части III и в другой обширной литературе. Эти разложения являются мощным средством, позволяющим подробно исследовать, с одной стороны, локальные (ультрафиолетовые) особенности модели и, с другой стороны, характер убывания взаимодействия на бесконечности (инфракрасное поведение).

Так как $P(\varphi)_{2}$-модели суперперенормируемы, то ультрафиолетовое поведение определяется членами низших порядков в рядах теории возмущений. При этом главная особенность такая же, как и у свободного поля. Для функции Грина она была представлена в явной форме в гл. 7. Добавок, обусловленный взаимодействием, как мы увидим ниже, оказывается регулярным. В § 12.5 мы воспользуемся интегрированием по частям для того, чтобы установить инфракрасное поведение с помощью оценки сверху характеристического функционала $S\{i f\}$ и исключить в оценках теоремы 12.4.1 зависимость от площади $K(\operatorname{supp} f \subset K)$.

Иначе формулу интегрирования по частям (9.1.32) можно рассматривать как евклидово уравнение движения. Именно, для $P(\varphi)$-моделей это уравнение имеет вид
\[
\left(-\Delta+m^{2}\right) \varphi(x)+P^{\prime}(\varphi(x))=\frac{\delta}{\delta \varphi(x)}+\left(\frac{\delta}{\delta \varphi(x)}\right)^{*} .
\]

В частности, после аналитического продолжения на вещественную ось времени правая часть уравнения (12.1.1) обращается в нуль, а левая превращается в нелинейное уравнение относительно $\varphi$ :
\[
\left(-\square+m^{2}\right) \varphi(x)+P^{\prime}(\varphi(x))=0 .
\]

Трудности, возникающие при корректном выводе соотношения (12.1.1), знакомы нам по модели в конечном объеме и были изучены в $\$ 9.1$. Они связаны с определением и регулярностью перенормированного (в данном случае упорядоченного по Вику) полинома $P(\varphi)$. В этой главе мы получаем те же результаты для случая модели в бесконечном объеме с помощью равномерных по объему оценок для : $\varphi^{j}:$. Из сходимости мер $d \mu_{\Lambda}$ к мере $d \mu$ в бесконечном объеме, установленной в гл. 11, вытекает, что полином $: \varphi^{j}:$ в бесконечном объеме можно получить, с одной стороны, как предел аналогичных выражений для конечных объемов, а с другой стороны, построить его непосредственно с помощью викова упорядочения в бесконечном объеме. Благодаря этому обстоятельству мы сможем обосновать перестановку предельных переходов ( $|\Lambda| \rightarrow \infty$ и виково упорядочение) и выведем формулу интегрирования по частям для бесконечного объема. В конце главы мы рассмотрим некоторые применения этих результатов, а также завершим доказательство евклидовой аксиомы OS 1 и затем проверим условия теоремы реконструкции 6.1.5. Характеристический функционал
\[
S\{f\}=\int e^{i \varphi(f)} d \mu(\varphi)
\]

рассматривается для случая ограниченного снизу полинома вида $P(\xi)=$ четный полином + линейный член.
Теорема 12.1.1 (Выполнение аксиом). Характеристический функционал $S\{f\}$ существует (теорема 11.2.1) и удовлетворяет евклидовым аксиомам OS $0-3$ из \$6.1. Следовательно, он порождает квантовое поле, удовлетворяющее аксиомам вайтмана W 1-3.
Доказательство. Эта теорема — прямое следствие теорем 11.2.1 и 12.5.1.