Определение. Обозначим $\mathscr{C}_{m}$ выпуклую линейную оболочку ковариационных операторов, рассмотренных в $\S 7.1-8$, с массой $\geqslant m$. Точнее, $\mathscr{C}_{m}$ состоит из операторов $C_{B}=\left(-\Delta_{B}+m_{1}^{2}\right)^{-1}$, где $m_{1} \geqslant m$ и $B=\varnothing, p, D, N$ или $\Gamma$. Кроме того, пусть $\mathscr{C}_{m}^{M} \subset \mathscr{Z}_{m}$ обозначает подмножество тех выпуклых комбинаций операторов, для которых $m \leqslant m_{1} \leqslant M$.

Мы будем опускать индексы $m$ и $M$, когда в них нет необходимости.

В этом параграфе будет закончено доказательство теоремы 7.1.1. Резюмируя содержание предыдущих параграфов этой главы, заметим, что свойство локальной регулярности (7.1.2) и свойство P1 поточечной положительности (§ 7.1) вытекают из асимптотик (7.2.4-5), следствий 7.3.2, 7.4.2, 7.5.2 и неравенства (7.8.18). Свойство (Р2) положительности оператора (§ 7.1) следует из определения ковариационного оператора $C_{B}$.

Осталось доказать свойства локальной регулярности (LR1-3) ( $\$ 7.1$ ). В случае, когда ковариационные операторы с периодическими граничными условиями $C_{p}$ исключены из выпуклой суммы $C$, можно доказать убывание $C(x, y)$ на больших расстояниях между $x$ и $y$. Пусть $\left\{\Delta_{i}\right\}$ – покрытие $R^{2}$ единичными квадратами, причем $i \in Z^{2}$ – левая нижняя вершина квадрата $\Delta_{i}$. Напомним, что $h, \delta_{x}$ и $\zeta$ были определены в $\S 7.1$.

Предложение 7.9.1. Пусть $C \in \mathscr{C}_{m}$, где масса $m$ отделена от нуля. Тогда для $p<\infty$ и $d=2$
\[
\begin{array}{c}
\sup _{x}\|(C \zeta)(x, \cdot)\|_{L_{p}} \leqslant \text { const, } \\
\left\|\left(\delta_{x} C \delta_{\chi}\right)(x, x)\right\|_{L_{\infty}} \leqslant \text { const } \ln x .
\end{array}
\]

Если операторы $C_{p}$ исключены из суммы $C$, то справедлива асимптотика (7.1.3) и, кроме того,
\[
\begin{aligned}
\sup _{x}\|C(x, \cdot)\|_{L_{p}} & \leqslant \text { const } \\
& \|C\|_{L_{p}\left(\Delta_{i} \times \Delta_{j}\right)} \leqslant \text { const } \cdot m^{-2 / p} e^{-m \text { dist }\left(\Delta_{i}, \Delta_{j}\right),}
\end{aligned}
\]

причем здесь все константы не зависят от $С и$ х.
Доказательство. Все эти оценки следуют из неравенств (7.2.3) и (7.2.5) для свободной ковариации $C_{\varnothing}$. С помощью разложений (7.3.1), (7.4.1) и (7.5.1) и поточечной верхней оценки $0 \leqslant C_{T} \leqslant C_{\varnothing}$ (7.8.18) можно получить аналогичные неравенства для операторов $C_{B}, B=p, N$ или $D$. Для доказательства оценки (7.9.4) воспользуемся соотношением $\left(7.2,2\right.$ ). Для $C=C_{\varnothing}$ имеем
\[
\begin{aligned}
\left(\int_{\Delta_{i} \times \Delta_{j}} C(m ; x-y)^{p} d x d y\right)^{1 / p} & =\left(\int_{\Delta_{i} \times \Delta_{j}} C(1 ; m(x-y))^{p} d x d y\right)^{1 / p}= \\
& =\left(\int_{m \Delta_{i} \times m \Delta_{j}} m^{-4} C(1 ; x-y)^{p} d x d y\right)^{1 / p},
\end{aligned}
\]

где $m \Delta_{l}=\left\{m x: x \in \Delta_{l}\right\}$. В силу оценок (7.2.3) и (7.2.5), выражение ограничено сверху величиной
\[
\left(\int_{m \Delta_{i}} m^{-4} d x\right)^{1 / p} e^{-m \operatorname{dist}\left(\Delta_{i}, \Delta_{j}\right)}=\text { const } m^{-2 / p} e^{-m \operatorname{dist}\left(\Delta_{i}, \Delta_{j}\right)} .
\]

Для операторов $C_{N}$ и $C_{D}$ эта оценка получается аналогично с помощью явных формул, а для $C_{\Gamma}$ с помощью поточечной верхней оценки.

Доказательство теоремы 7.1 .1 сводится теперь к проверке свойства (LR2), для которого существенна оценка дробных производных $C$ в классе $L_{q}^{\text {loc }}$. Эта оценка является более тонкой, потому что ее нельзя вывести из поточечных верхних оценок.
Теорема 7.9.2. Пусть $C \in \mathscr{C}_{m}$, где масса $m$ отделена от нуля, $p<\infty$, a $d=2$. Тогда для некоторого $\varepsilon>0$ и $x_{1} \leqslant x_{2}$ справедливо неравенство
\[
\left\|\zeta_{1} C\left(\delta_{x_{1}}-\delta_{x_{2}}\right) \zeta_{2}\right\|_{L_{p}\left(R^{2} \times R^{2}\right)} \leqslant \text { const } x_{1}^{-8}
\]

при $x_{1} \rightarrow \infty$, причем постоянная не зависит от оператора $C$, но зависит от значений $p, \varepsilon, \zeta_{1} и \zeta_{2}$.

Замечание. Для данной функции $\zeta \in C_{0}^{\infty}$ выберем функцию $\zeta_{1} \in C_{0}^{\infty}$ равной 1 в окрестности носителя ร. Тогда для достаточно большого $x$ справедливо соотношение $\xi \delta_{x} C=\xi \delta_{x} \xi_{1} C$. При доказательстве свойства (LR2) мы выберем значения параметров $\chi$, стоящих в (LR2) по обе стороны от оператора $C$, независимо. Тогда
\[
\begin{aligned}
\left\|\zeta \delta_{x} C \delta_{x_{1}} \zeta-\zeta \delta_{x} C \delta_{x_{2}} \zeta\right\|_{L_{p}} & =\left\|\zeta \delta_{x} \zeta_{1} C\left(\delta_{x_{1}}-\delta_{x_{2}}\right) \zeta\right\|_{L_{p}} \leqslant \\
& \leqslant \mathrm{const}\left\|\zeta_{1} C\left(\delta_{x_{1}}-\delta_{x_{2}}\right) \zeta\right\|_{L_{p}},
\end{aligned}
\]

так что свойство (LR2) следует теперь из теоремы 7.9.2.
Доказательство для $p=2, C=C_{\varnothing}$. В этом случае операторы $\delta_{\chi}$ и $C$ коммути. руют, поэтому утверждение теоремы содержится в двух следующих леммах. Напомним, что норма Гильберта – Шмидта $\|A\|_{\text {Hs }}$ оператора $A$ – это норма его ядра в пространстве $L_{2}$, для которой выполняется неравенство $\|A B\|_{\text {Hs }} \leqslant$ $\leqslant\|A\|\|B\|_{\text {нs. }}$.
Лемма 7.9.3. Пусть $C=C_{\varnothing}$. Тогда при $0 \leqslant a \leqslant 1 / 2$
\[
\left\|C^{a}\left(\delta_{x_{1}}-\delta_{x_{2}}\right)\right\| \leqslant O\left(x_{1}^{-2 a}\right) .
\]

Доказательство. Норма оператора $C^{a}\left(\delta_{\varkappa_{1}}-\delta_{\varkappa_{2}}\right)$ совпадает с $L_{\infty}$-нормой преобразования Фурье его ядра. Вычисления с использованием определений $(7.1 .4-5)$ показывают, что эта норма равна $\sup _{p}\left(p^{2}+1\right)^{-a}\left|\tilde{h}\left(p / x_{1}\right)-\tilde{h}\left(p / x_{2}\right)\right|$. Для $|p| \leqslant x_{1}$, подставляя, получим
\[
\left|\tilde{h}\left(p / x_{1}\right)-\tilde{h}\left(p / x_{2}\right)\right| \leqslant O(1)\left|p / x_{1}\right|^{2 a},
\]

а для $|p| \geqslant x_{1}$ аналогично
\[
\left|\tilde{h}\left(p / x_{1}\right)-\hbar\left(p / x_{2}\right)\right| \leqslant O(1) .
\]

Константа $O(1)$ зависит от $h$, но $h$ фиксировано.
Лемма 7.9.4. Пусть $C=C_{\varnothing} и A=$ Са $^{a}$. Тогда для $a>1 / 4$ оператор $A^{*} A$ является оператором Гильберта-IШмидта, так же как и сам оператор А при а $>1 / 2$.
доказательство Имеем $\left\|A^{*} A\right\|_{\mathrm{HS}}=\left\|\zeta C^{2 a} \zeta\right\|_{\mathrm{Hs}} \leqslant\|\zeta\| C^{2 a} \zeta \|_{\mathrm{Hs}}$. Преобразование Фурье ядра оператора $C^{2 a \zeta}$ равно $\left(p^{2}+1\right)^{-2 a \zeta}(p-q)$, и, следовательно, при $a>1 / 4$ ядро принадлежит пространству $L^{2}\left(R^{4}\right)$.
Доказательство теоремы 7.9 .2 для $p=2, C=C_{p}, C_{D}$ или $C_{N}$. Так как функция $\zeta_{i}$ имеет компактный носитель, можно рассматривать вместо $C$ оператор $\chi_{\Lambda} C \chi_{\Lambda}$ Пусть
\[
F_{\gamma}(p)=\left(p_{1}^{2}+1\right)^{-1 / 2+\gamma}\left(p_{2}^{2}+1\right)^{-1 / 2+\gamma},
\]

а $C(p, q)$ обозначает преобразование Фурье ядра оператора $\chi_{\Lambda} C \chi_{\Lambda}$. Доказательство теоремы содержится в следуюцих двух леммах.
Лемма 7.9.5. Для любого $\gamma>0$
\[
|\check{C}(p, q)| \leqslant \operatorname{const} F_{\gamma}(p) F_{\gamma}(q) .
\]

Доказательство. По условию ядро $C$ есть сумма сдвигов и отражений ядра опе ратора $C_{\varnothing}$. Пусть $C_{j}$ – один член из этой суммы. Сдвиги по прострапственной переменной $x$ никак не влияют на $\left|\tilde{C}_{j}\right|$, а вот отражения соответствуют преобразованию $p \rightarrow-p$. Умножению на характеристическую функцию $\chi_{\Lambda}$ в преобразовании Фурье соответствует, как известно, свертка с $\tilde{\chi}_{\Lambda}$, причем $\left|\tilde{\chi}_{\Lambda}\right| \leqslant$ const $F_{\gamma}$. Поэтому
\[
\begin{aligned}
\left|\widetilde{C}_{J}\right| & \leqslant \mathrm{const} \int F_{\gamma}(p-r)\left(r^{2}+1\right)^{-2} F_{\gamma}(r-q) d r \leqslant \\
& \leqslant \mathrm{const} F_{2 \gamma}(p) F_{: \gamma}(q) .
\end{aligned}
\]

Для того чтобы получить оценку, обеспечивающую сходимость суммы по $j$, мы поступим следующим образом. С помощью тождества $C_{\varnothing}(x, y)=$ const $g(|x-y|)$ и представления (7.2.6) для функции $g$ легко показать, что при больших значениях разности $|x-y|$ все пронзводіне ядра оператора $C_{\varnothing}$ экспоненциально убывают на бесконэчности. Поэтому $C_{j}(x, y)=\chi_{\Lambda}(x) v_{j}(x, y) \chi_{\Lambda}(y)$, где
\[
\left|\tilde{v}_{j}(r, s)\right| \leqslant \text { const }\left(1+r^{2}+s^{2}\right)^{-n} e^{-O\left(\operatorname{dist}\left(\Lambda, y_{j}\right)\right)}
\]

при любом конечном $n$. После этого (7.9.8) можно изменить так, чтобы последняя константа стала экспоненциально малой по сравнению с константой в неравенстве (7.9.8). Теперь для завершения доказательства осталось только просуммировать по $j$.
Положительность при отражениях
161
Лемма 7.9.6. Для любого $\gamma \gg 0$ справедлива оценка
\[
\left\|\chi_{\Lambda} C \chi_{\Lambda}\left(\delta_{\varkappa_{1}}-\delta_{\varkappa_{2}}\right) \zeta\right\|_{H S} \leqslant \text { const } x_{1}^{-1 / 2+\gamma} .
\]

Доказательство. Пусть $c$ обозначает преобразование Фурье ядра оператора $\chi_{\Lambda} C \chi_{\Lambda}\left(\delta_{\boldsymbol{x}_{1}}-\delta_{\boldsymbol{x}_{2}}\right) \zeta$. В силу (7.9.6), (7.9.7) и леммы 7.9.5,
\[
\begin{aligned}
|c| & \leqslant \text { const } F_{\gamma}(p) \int F_{\gamma}(r)\left|\tilde{h}\left(r / x_{1}\right)-\tilde{h}\left(r / x_{2}\right)\right| \tilde{\zeta}(r-q) d r \leqslant \\
& \leqslant \text { const } F_{\gamma}(p) \int F_{\gamma}(r)^{1-a} x_{1}^{-a(1-\gamma)}\left(|r-q|^{2}+1\right)^{-2} d r \leqslant \\
& \leqslant \text { const } F_{\gamma}(p) F_{\gamma}(q)^{1-a} x_{1}^{-a(1-\gamma)} .
\end{aligned}
\]

Выберем $a<1 / 2,(1-a)(1-\gamma)>1 / 2$; тогда $\|c\|_{L_{2}}=O\left(x_{1}^{-a(1-\varepsilon)}\right)$, что и доказывает лемму.
Доказательство теоремы 7.9 .2 для $p=2, C=O_{\Gamma}$. В рассматриваемом случае $0 \leqslant C \leqslant C_{\varnothing}$, поэтому $0 \leqslant C_{\varnothing}^{-1 / 2} C C_{\varnothing}^{-1 / 2} \leqslant 1$. Введем операторы
\[
A=\zeta_{1} C_{\varnothing}^{1 / 2} C_{\varnothing}^{-1 / 2} C C_{\varnothing}^{-1 / 2}, B=C_{\varnothing}^{1 / 2}\left(\delta_{\varkappa_{1}}-\delta_{\varkappa_{2}}\right) \zeta .
\]

Так как
\[
\begin{aligned}
\|A B\|_{\mathrm{HS}}^{2}=\operatorname{Tr}(A B)^{*} A B & =\operatorname{Tr} B^{*} A^{*} A B=\operatorname{Tr} A^{*} A B B^{*} \leqslant \\
& \leqslant\left(\operatorname{Tr}\left(A^{*} A\right)^{2}\right)^{1 / 2}\left(\operatorname{Tr}\left(B^{*} B\right)^{2}\right)^{1 / 2}=\left\|A^{*} A\right\|_{\mathrm{HS}}\left\|B^{*} B\right\|_{\mathrm{HS}},
\end{aligned}
\]

тo
\[
\left\|\zeta_{1} C\left(\boldsymbol{\delta}_{\varkappa_{1}}-\delta_{\varkappa_{2}}\right) \zeta\right\|_{\mathrm{HS}}=\|A B\|_{\mathrm{HS}} \leqslant\left\|A^{*} A\right\|_{\mathrm{HS}}^{1 / 2}\left\|B^{*} B\right\|_{\mathrm{HS}}^{1 / 2} .
\]

По леммам 7.9 .3 и 7.9 .4 для любого $\varepsilon>0$ верно неравенство $\left\|B^{*} B\right\|_{\mathrm{HS}} \leqslant$ $\leqslant$ const $x_{1}^{-1 / 2+\varepsilon}$, и аналогично, в силу леммы 7.9.4,
\[
\left\|A^{*} A\right\|_{\mathrm{HS}} \leqslant\left\|C_{\varnothing}^{-1 / 2} C C_{\varnothing}^{-1 / 2}\right\|^{2}\left\|C_{\varnothing}^{1 / 2} \zeta_{1}^{2} C_{\varnothing}^{1 / 2}\right\|_{\mathrm{HS}} \leqslant\left\|\zeta_{1} C_{\varnothing} \zeta_{1}\right\|_{\mathrm{HS}} \leqslant \text { const. }
\]

Доказательство теоремы 7.9.2, общий случай. Для того чтобы доказать теорему для $p=2$ и произвольного $C$, достаточно рассмотреть выпуклую сумму оценок, полученных для $C=C_{\Gamma}$; тем самым общий случай сводится к предыдущему. Обозначим $c_{\varkappa}$ ядро оператора $\zeta_{1} C \delta_{\varkappa} \zeta_{2}$; тогда $c_{\varkappa} \in L_{p}\left(R^{2} \times R^{2}\right)$, причем по предложению 7.9.1 $L_{p}$-норма $c_{\varkappa}$ равномерно ограничена по $\chi$. Поэтому для $\delta c=c_{\varkappa_{1}}-c_{\varkappa_{2}}$, в силу доказанного для случая $p=2$, имеем
\[
\begin{aligned}
\|\delta c\|_{L_{2 n}}^{2 n} & =\int \delta c^{2 n} d x \leqslant\left(\int \delta c^{2} d x\right)^{1 / 2}\left(\int \delta c^{4 n-2} d x\right)^{1 / 2} \leqslant \\
& \leqslant \text { const } x_{1}^{-\varepsilon}\left(\left\|c_{\chi_{1}}\right\|_{L_{4 n-2}}+\left\|c_{\chi_{2}}\right\|_{L_{4 n-2}}\right)^{2 n-1} \leqslant \text { const } x_{1}^{-\varepsilon} .
\end{aligned}
\]