При пренебрежении спином электрона $n$-й уровень энергии атома водорода имеет кратность $n^{2} ;$ см. $\S 1.7$. Рассмотрим первое возбужденное состояние $n=2$ с кратностью вырождения $n^{2}=4$. С учетом двух возможных спиновых состояний электрона и двух спиновых состояний протона вырождение имеет кратность $4 n^{2}=16$. Спинам соответствуют магнитные моменты. Магнитные моменты
1) См. §15.3.-Прим. перев.
взаимодействуют между собой, что приводит к изменению гамильтониана, изученного в § 1.7. Точный вид возмущающей добавки приводится ниже; он выведен в § 15.3 на основе нерелятивистского предельного перехода в уравнении Дирака. Этот дополнительный член, называемый спин-орбитальным взаимодействием, изменяет спектр гамильтониана $H$ и частично разрушает $4 n^{2}$-кратное вырождение $n$-го уровня энергии. Такое расщепление спектра, связанное со спином и магнитным моментом электрона, называется тонкой структурой. Ему и посвящен этот параграф.

Напомним, что в соответствии с $\$ 1.3$ спиновое пространство $S$, отвечающее значению спина электрона $s=1 / 2$, есть $S=C^{2 s+1}=$ $=C^{2}$. В этом пространстве угловой момент определяется двумерным представлением $\mathscr{D}^{(1 / 2)}$ группы $S U(2)$ (накрывающей группы для группы пространственных вращений $S O(3)$ ). Соответствующее гитьбертово пространство (без учета движения центра масс) есть $\mathscr{H}=L_{2}\left(R^{3}\right) \otimes S$, и полный угловой момент определяется представлением $S U(2)$ в $\mathscr{H}$.

В частности, представление $S U(2)$ в $\mathscr{H}_{n} \otimes S$ можно разложить с помощью формул Клебша – Гордана:
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{D}^{(l)} \otimes \mathscr{D}^{(1 / 2)}=\mathscr{D}^{(l+1 / 2)} \oplus \mathscr{D}^{(l-1 / 2)} \quad(l
eq 0), \\
\mathscr{D}^{(0)} \otimes \mathscr{D}^{(1 / 2)}=\mathscr{D}^{(1 / 2)} .
\end{array}
\]

Таким образом, разложение (1.7.10) заменяется разложением
\[
\mathscr{H}_{n} \otimes S=\mathscr{D}^{(2 n-1) / 2} \bigoplus_{l=1}^{n-1} 2 \mathscr{D}^{(2 l-1) / 2} .
\]

Можно интерпретировать (15.2.2) как утверждение о том, что электрон в атоме водорода имеет полный угловой момент $\mathbf{J} \hbar$, где $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$. Здесь $\mathbf{L}$ – «орбитальный» угловой момент, связанный с вращением вокруг ядра, а $\mathbf{S}-$ внутренний спин $1 / 2$. Неприводимое представление в разложении (15.2.2), отвечающее полному угловому моменту $j$, возникает из комбинации представлений, отвечающих спину $1 / 2$ и орбитальному угловому моменту $l=j \pm 1 / 2$.

Тонкая структура атома водорода может быть получена путем включения в гамильтониан $H$ возмущения
\[
W\left(x_{1}-x_{2}\right) \mathbf{L} \cdot \mathbf{S},
\]

описывающего взаимодействие орбитального момента и внутреннего спина электрона (вид $W$ можно найти из взаимодействия магнитного момента движущегося электрона с кулоновым полем; см. [Baym, 1969]). Разложение (15.2.2) объясняет появление $n$ собственных значений в $\mathscr{H}_{n} \otimes S$, так же как и их кратности. Заметим, что $\operatorname{dim} \mathscr{H}_{n} \otimes S=2 n^{2}$. Вычисление в первом порядке теории возмущений сдвига энергии, связанного с членом (15.2.3), позволяет приближенно определить тонкую структуру.
Дирак предложил лоренц-инвариантное уравнение для волновой функции электрона, принимающей значения (в случае одной частицы) в пространстве $L_{2}\left(R^{3}\right) \otimes\{S \oplus S\}$. (Заметим, что пространство $S \oplus S$ возникает естественным образом при разложении представления группы Лоренца $\mathscr{D}^{(1 / 2,0)} \oplus \mathscr{D}^{(0,1 / 2)}$ со спином $1 / 2$ на компоненты, неприводимые относительно собственной группы Лоренца (не содержащей отражений).) Гамильтониан Дирака для частицы массы $\mu$ в кулоновом поле – $e^{2} /|x|$ есть дифференциальный оператор первого порядка вида
\[
H=\alpha_{4} \mu-c \sum_{j=1}^{3} \alpha_{j} \cdot i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{j}}-\frac{e^{2}}{|x|} .
\]

Здесь $\alpha_{i}$ – постоянные $4 \times 4$-матрицы, действующие в $S \oplus S$. Кроме того, матрицы $\alpha$ задают представление клиффордовой алгебры
\[
\alpha_{i} \alpha_{j}+\alpha_{j} \alpha_{i}=2 \delta_{i j} I .
\]

Собственные значения оператора (15.2.4) могут быть найдены точно. Они имеют вид
\[
E_{n, j}=\mu\left\{1+\left(\frac{\alpha}{(n-j-1 / 2)+\sqrt{(j+1 / 2)^{2}-\alpha^{2}}}\right)^{2}\right\}^{-1 / 2},
\]

где $\alpha=e^{2} /(\hbar c)$ – постоянная тонкой структуры; см. (1.7.2). В $(15.2 .6) \quad n=1,2, \ldots$-главное квантовое число, а $j=1 / 2$, $3 / 2, \ldots, n-1 / 2$. Заметим, что значения $j$ совпадают со значениями углового момента в (15.2.2). Кратности собственных значений совпадают с размерностью соответствующих представлений, поэтому $j$ – квантовое число углового момента.

При $\alpha \ll j+1 / 2$ выражение (15.2.6) можно разложить в ряд по степеням $\alpha$ :
\[
E_{n, j}=\mu-\frac{\mu \alpha^{2}}{2 n^{2}}\left\{1+\frac{\alpha^{2}}{n^{2}}\left(\frac{n}{j+1 / 2}-\frac{3}{4}\right)\right\}+O\left(\alpha^{6}\right) .
\]

Член $\mu$ есть масса покоя электрона. Член порядка $O\left(\alpha^{2}\right)$ совпадает с нерелятивистским выражением (1.7.6) для $E_{n}$, а член порядка $O\left(\alpha^{4}\right)$ определяет сдвиг, связанный со спин-орбитальным взаимодействием. Вычислив этот член, мы получим измеренную величину тонкой структуры.