Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
При пренебрежении спином электрона $n$-й уровень энергии атома водорода имеет кратность $n^{2} ;$ см. $\S 1.7$. Рассмотрим первое возбужденное состояние $n=2$ с кратностью вырождения $n^{2}=4$. С учетом двух возможных спиновых состояний электрона и двух спиновых состояний протона вырождение имеет кратность $4 n^{2}=16$. Спинам соответствуют магнитные моменты. Магнитные моменты Напомним, что в соответствии с $\$ 1.3$ спиновое пространство $S$, отвечающее значению спина электрона $s=1 / 2$, есть $S=C^{2 s+1}=$ $=C^{2}$. В этом пространстве угловой момент определяется двумерным представлением $\mathscr{D}^{(1 / 2)}$ группы $S U(2)$ (накрывающей группы для группы пространственных вращений $S O(3)$ ). Соответствующее гитьбертово пространство (без учета движения центра масс) есть $\mathscr{H}=L_{2}\left(R^{3}\right) \otimes S$, и полный угловой момент определяется представлением $S U(2)$ в $\mathscr{H}$. В частности, представление $S U(2)$ в $\mathscr{H}_{n} \otimes S$ можно разложить с помощью формул Клебша — Гордана: Таким образом, разложение (1.7.10) заменяется разложением Можно интерпретировать (15.2.2) как утверждение о том, что электрон в атоме водорода имеет полный угловой момент $\mathbf{J} \hbar$, где $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$. Здесь $\mathbf{L}$ — «орбитальный» угловой момент, связанный с вращением вокруг ядра, а $\mathbf{S}-$ внутренний спин $1 / 2$. Неприводимое представление в разложении (15.2.2), отвечающее полному угловому моменту $j$, возникает из комбинации представлений, отвечающих спину $1 / 2$ и орбитальному угловому моменту $l=j \pm 1 / 2$. Тонкая структура атома водорода может быть получена путем включения в гамильтониан $H$ возмущения описывающего взаимодействие орбитального момента и внутреннего спина электрона (вид $W$ можно найти из взаимодействия магнитного момента движущегося электрона с кулоновым полем; см. [Baym, 1969]). Разложение (15.2.2) объясняет появление $n$ собственных значений в $\mathscr{H}_{n} \otimes S$, так же как и их кратности. Заметим, что $\operatorname{dim} \mathscr{H}_{n} \otimes S=2 n^{2}$. Вычисление в первом порядке теории возмущений сдвига энергии, связанного с членом (15.2.3), позволяет приближенно определить тонкую структуру. Здесь $\alpha_{i}$ — постоянные $4 \times 4$-матрицы, действующие в $S \oplus S$. Кроме того, матрицы $\alpha$ задают представление клиффордовой алгебры Собственные значения оператора (15.2.4) могут быть найдены точно. Они имеют вид где $\alpha=e^{2} /(\hbar c)$ — постоянная тонкой структуры; см. (1.7.2). В $(15.2 .6) \quad n=1,2, \ldots$-главное квантовое число, а $j=1 / 2$, $3 / 2, \ldots, n-1 / 2$. Заметим, что значения $j$ совпадают со значениями углового момента в (15.2.2). Кратности собственных значений совпадают с размерностью соответствующих представлений, поэтому $j$ — квантовое число углового момента. При $\alpha \ll j+1 / 2$ выражение (15.2.6) можно разложить в ряд по степеням $\alpha$ : Член $\mu$ есть масса покоя электрона. Член порядка $O\left(\alpha^{2}\right)$ совпадает с нерелятивистским выражением (1.7.6) для $E_{n}$, а член порядка $O\left(\alpha^{4}\right)$ определяет сдвиг, связанный со спин-орбитальным взаимодействием. Вычислив этот член, мы получим измеренную величину тонкой структуры.
|
1 |
Оглавление
|