Ковариационные операторы $C$ гауссовых свободных полей, введенные в гл. 6, часто появляются в самых разнообразных задачах. Ядра этих операторов $C(x, y)$ характеризуются тем, что являются решениями уравнения Лапласа
\[
\left(-\Delta+m^{2}\right) C(x, y)=\delta(x-y) .
\]

Основные свойства ковариационных операторов – евклидова инвариантность, OS-положительность и регулярность- формулируются так же, как аксиомы $§ 6.1$. Так как ядра $C(x, y)$ являются функциями класса $C^{\infty}$ всюду, за исключением диагонали $x=y$, их регулярность выражается в степенной асимптотике при малых и больших значениях $x-y$. Если $m|x-y|$ мало, то
\[
C(x, y) \sim\left\{\begin{array}{lll}
\alpha|x-y|^{-d+2} & \text { при } & d \geqslant 3, \\
-\frac{1}{2 \pi} \ln (m|x-y|) & \text { при } & d=2,
\end{array}\right.
\]

где константа $\alpha=\alpha(d)$ равна
\[
\alpha=\left[(d-2)\left|S^{d-1}\right|^{-1}\right]=4^{-1} \pi^{-d / 2} \Gamma((d-2) / 2) .
\]

Здесь $\left|S^{n}\right|$ обозначает объем $n$-мерного шара, а $\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{s-1} d t-$ гамма-функцию. Например, $\alpha(3)=(4 \pi)^{-1}, \alpha(4)=\left(4 \pi^{2}\right)^{-1}$ и т. д. Если же $m|x-y|$ велико, то
\[
C(x, y) \sim\left(\frac{\pi}{2}\right)^{1 / 2}(2 \pi)^{-d / 2} m^{(d-3) / 2}|x-y|^{-(d-1 / 2} \exp (-m|x-y|) .
\]

Те же самые свойства – инвариантность, положительность и регулярность – справедливы (или предполагаются таковыми) для двухточечной корреляционной функции взаимодействующего поля, с той лишь разницей, что показатели при $|x-y|$ в асимптотиках $(7.1 .2-3)$ могут отличаться от канонических значений – $(d-1) / 2$

(в асимптотике на дальних расстояниях) и $-d+2$ (в асимптотике на близких расстояниях). В этом случае говорят, что асимптотика определяется нетривиальной критической точкой (см. гл. 17).

Свойство положительности ковариационного оператора формулируется в зависимости от значения спина. Для бозонов с нулевым спином, которые мы рассматриваем, справедливы как поточечное, так и операторное неравенства
\[
\begin{array}{l}
0 \leqslant C(x, y), \\
0 \leqslant C \leqslant m^{-2} l .
\end{array}
\]

Положительность операторов (P2) эквивалентна существованию гауссовой меры и поэтому важна для развиваемых ниже методов. Для фермионов ситуация несколько сложнее, хотя и для этих полей можно определить интеграл, имеющий, правда, несколько иной характер (см. [Березин, 1966] и [Osterwalder, Schrader, 1973a]). Что касается OS-положительности или положительности при отражениях, то она связана с положительностью скалярного произведения в гильбертовом пространстве состояний (см. теорему 6.2.3). Пусть $\Pi$-гиперплоскость в $R^{d}$, а $\theta_{\Pi}$-отражение относительно этой гиперплоскости. Положительность при отражениях относительно гиперплоскости П означает, что
\[
0 \leqslant\left\langle\theta_{\Pi} f, C f\right\rangle_{L_{2}}=\int \overline{\left(\theta_{\Pi} f\right)(y)} C(x, y) f(x) d x d y
\]

для произвольной функции $f$, носитель которой расположен по одну сторону от гиперплоскости П.

Мы будем изучать операторы $C$, соответствующие различным классическим граничным условиям: свободным граничным условиям, условиям Дирихле и Неймана, а также периодическим граничным условиям. Задание граничных условий приводит к нарушению некоторых аксиом, но не меняет ни локальной сингулярности (7.1.2), ни положительности (P1), (P2). Условйе положительности (Р3) требует инвариантности граничных условий при отражениях.

В двумерном случае ядра $C(x, y)$ имеют очень слабые (логарифмические) особенности. Поэтому удобно сформулировать свойство локальной регулярности в терминах пространств $L_{p}$. Пусть $\zeta$ обозначает оператор умножения на функцию $\zeta \in C_{0}^{\infty}\left(R^{2}\right)$. Тогда первая аксиома локальной регулярности утверждает, что
\[
\sup _{x}\|(C \zeta)(x, \cdot)\|_{L_{q}}<\infty \text { для всех } q<\infty .
\]

Для того чтобы сформулировать другие аксиомы, введем «размазанную» дельта-функцию Дирака $\delta_{x}(x)$. Пусть $h$ – некоторая фиксированная функция из $C_{0}^{\infty}\left(R^{2}\right)$, удовлетворяющая условиям
\[
h \geqslant 0, \quad h(0)>0 \quad \text { и } \quad \int h(x) d x=1 .
\]

Определим $\delta_{x}(x)$ формулой
\[
\delta_{x}(x)=x^{2} h(x x) .
\]

Это обозначение распространим и на задаваемый $\delta_{x}$ оператор свертки в $L_{2}$, а именно $\left(\delta_{x} f\right)(x)=\int \delta_{x}(x-y) f(y) d y$. С помощью $\delta_{x}$ сформулируем еще две аксиомы. Для любого $q<\infty$ существует такое $\varepsilon=\varepsilon(q)>0$, что
\[
\left\|\zeta \delta_{x} C \delta_{x} \zeta-\zeta C \zeta\right\|_{L_{q}\left(R^{2} \times R^{2}\right)} \leqslant O\left(x^{-\varepsilon}\right), \quad x \rightarrow \infty .
\]

Другими словами, $\delta_{x} C \delta_{x} \rightarrow C$ в $L_{q}^{\text {loc }}$ со скоростью $O\left(x^{-\varepsilon}\right)$. Для особенности функции Грина на диагонали оценка может быть записана аналогичным образом:
\[
\sup _{x}\left(\delta_{x} C \delta_{x}\right)(x, x) \leqslant O(\ln x) .
\]

Константы в аксиомах LR зависят от $\zeta$, поскольку ковариация свободного поля $C(x, y)$ является функцией разности $x-y$, и, следовательно, $C(x, y)$ не принадлежит никакому пространству $L_{q}\left(R^{2} \times R^{2}\right)$.

Рассмотрим в $R^{d}$ решетку из единичных кубов $\Delta$ и зададим граничные условия на некоторых гранях границы $\partial \Delta$ куба $\Delta$. Например, если $d=2$, то $\{\Delta\}$ – покрытие $R^{2}$ единичными квадратами, а граничные условия задаются на некотором контуре из ребер, разделяющих квадраты. При $d=3$ решетка состоит из единичных кубов, граничные условия задаются на их гранях, т. е. на единичных квадратах, и т. д. Пусть Г обозначает некоторый набор гиперграней решетки. Рассмотрим оператор Лапласа – $\Delta$. Вводя для него какое-нибудь классическое граничное условие (т. е. свободное, периодическое, условие Дирихле или Неймана) – обозначим его $B$, – получим самосопряженный положительный оператор в пространстве $L_{2}\left(R^{d}\right)$, который обозначим $-\Delta_{B(\Gamma)}$. Ковариационный оператор $C_{B(\Gamma)}=\left(-\Delta_{B(\Gamma)}+m^{2}\right)^{-1}$ мы будем изучать двумя способами: с помощью винеровых интегралов и методом изображений. В обоих случаях мы свяжем оператор $C_{B(\mathrm{\Gamma})}$ со свободным ковариационным оператором $C=C_{\phi}$, оценки для которого выводятся в предложении 7.2.1.

Пусть $\mathscr{C}_{m} \rightarrow$ выпуклое множество, порожденное ковариационными операторами $C_{B}$ с массой не меньше $m$ (точное определение этого множества будет дано в $\S 7.9$ ). Основные результаты этой главы сформулированы в следующих двух теоремах.
Теорема 7.1.1. Любой оператор $C \in \mathscr{B}_{m}$ обладает свойствами локальной регулярности (7.1.2) и положительности (P1), (P2). Если $d=2$, то для $C \in \mathscr{B}_{m}$ выполнены аксиомы (LR1-3) с константами, не зависящими от $C \in \mathscr{B}_{\mathrm{m}}$.
Теорема 7.1.2. Пусть $C \in \mathscr{C}_{m}$, причем разложение $C$ по крайним точкам не содержит ковариационных операторов с периодическими граничными условиями. Тогда для ядра С справедлива оценка (7.1.3). В случае когда $C=C_{B}$ (т. е. оператор $C$ совпадает с крайней точкой суммы), он обладает свойством положительности при отражениях (Р3), если он коммутирует с $\theta_{\Pi}$. В периодическом же случае, когда $C=C_{p}$, справедливо модифицированное свойство положительности при отражениях (см. § 7.10).

Доказательства этих теорем будут изложены в этой главе. В частности, § 7.9 посвящен свойству регулярности, а $\$ 7.10-$ свойству положительности при отражениях.