Рассмотрим одно из простых приложений неравенств Гриффитса. Мы покажем, что корреляционные функции модели Изинга имеют предел при переходе к бесконечному объему. Корреляционные функции
\[
\left\langle\xi^{B}\right\rangle=\left\langle\xi_{1}^{b_{1}} \ldots \xi_{n}^{b_{n}}\right\rangle
\]

являются моментами меры, определяемой соотношением (4.1.6).
Предложение 4.2.1. Пусть $H$-ферромагнитный гамильтониан. Тогда $\left\langle\xi^{B}\right\rangle$ является монотонно возрастающей функцией констант взаимодействия $J_{A}$ в $H$.
Доказательство. По теореме 4.1.3
\[
0 \leqslant\left\langle\xi^{B} \xi^{A}\right\rangle-\left\langle\xi^{A}\right\rangle\left\langle\xi^{B}\right\rangle=\frac{d}{d J_{A}}\left\langle\xi^{B}\right\rangle .
\]

Предложение 4.2.2. Модель Изинга является ферромагнитной, и все ее корреляционные функци ограничены, $\left\langle\xi^{A}\right\rangle \leqslant 1$.
Доказательство. В модели Изинга $\xi_{i}= \pm 1$, следовательно, $\xi^{A}= \pm 1$. Так как $\langle\cdot\rangle$ есть усреднение по нормированной вероятностной мере, то $\left|\left\langle\xi^{A}\right\rangle\right| \leqslant 1$.

Покажем теперь, что модель Изинга является ферромагнитной. Вспомним, что $\xi_{i}^{2}=1$, и перепишем (2.3.3) в виде
\[
\left\langle\xi, \Delta_{\partial \Lambda} \xi\right\rangle=2 \sum_{v=1}^{d} \sum_{i \in \Lambda,}\left(\xi_{i+e_{v} \in \Lambda} \cdot \xi_{i-1}\right) .
\]

Первый член является ферромагнитным, а константу можно отбросить, так как отвечающий ей множитель сокращается при делении на статистическую сумму в формуле $(2.3 .5)$.

Заметим, что при положительном внешнем поле $h \geqslant 0$ остается ферромагнитной и модель Изинга с мерой
\[
d \mu_{h, \Lambda}=\frac{\exp \left(h \sum_{i \in \Lambda} \xi_{i}\right) d \mu_{\Lambda}}{\int \exp \left(h \sum_{i \in \Lambda} \xi_{i}\right) d \mu_{\Lambda}} .
\]

Теорема 4.2.3. Пусть $h \geqslant 0$ в (4.2.2). Тогда корреляционные функции (4.2.1) модели Изинга (4.2.2) с внешним полем $h$ имеют предел при $\Lambda \uparrow R^{d}$.
Доказательство. В формулах (2.3.4) и (4.1.6) для меры $d \mu$ и среднего надо положить $J_{A}=\beta$ при $A=\left\{a_{i}, a_{i+e_{v}}\right\}, i, i+e_{v} \in \Lambda, a_{i}=a_{i+e_{v}}=1: J_{A}=h$ при $A=\left\{a_{i}\right\}, i \in \Lambda, a_{i}=1$ и $J_{A}=0$ в остальных случаях. Увеличение $\Lambda$ эквивалентно возрастанию значений некоторых $J_{A}$, поэтому, согласно предложению 4.2.1, $\left\langle\xi^{\theta}\right\rangle$ – монотонно возрастающая функция объема $\Lambda$. Сходимость вытекает из оценки сверху (предложение 4.2.2).

Аналогичное доказательство сходимости применяется и в случае решеточных полей, у которых исходное распределение для единичного спина имеет вид $e^{-P(\xi)} d \xi$, где $P(\xi)$ – ограниченный снизу полином вида $P=$ четный полином + линейная функция. В этом случае равномерная оценка моментов $\left\langle\xi^{A}\right\rangle$ сверху требует дополнительного обоснования. Такая оценка легко доказывается с помощью метода многократных отражений, развиваемого в гл. 10 для непрерывных полей. Использование этого метода в решеточном случае проще, чем в непрерывном, но подробнее эти вопросы будут обсуждаться в части II.