В предыдущих параграфах мы сравнивали ядра ковариационных операторов с разными граничными условиями; теперь займемся сравнением самих операторов, рассматриваемых как билинейные формы на пространстве $L_{2} \times L_{2}$. Наметим основные идеи, опустив строгие доказательства. Напомним, что $A \leqslant B$ означает, во-первых, включение для областей определения билинейных форм $\mathscr{D}_{B} \subset \mathscr{D}_{A}$ и, во-вторых, выполнение неравенства $\langle x, A x\rangle \leqslant\langle x, B x\rangle$ для любого $x \in \mathscr{D}_{B}$. Областью определения билинейной формы оператора $\Delta_{B}$ является множество функций
\[
\mathscr{D}_{\Delta}=\left\{f \in L_{2}: \quad
abla f \in L_{2}\right\} .
\]

Здесь $
abla f$ – производная обобщенной функции, так что $
abla f \in \mathscr{D}^{\prime}$ определена для всех $f \in L_{2}$. Если $
abla f \in L_{2}$, то можно показать, что ограничение $\left.f\right|_{\Gamma}$ определено и принадлежит $L_{2}$-пространству на гиперповерхности. Будучи элементом $L_{2}$ как функция на гиперповерхности, функция $f$ непрерывна вдоль нормального направления. Подобный анализ применим и к односторонним производным. Пусть $
abla_{+/-f}$ обозначает градиент, двусторонний (т. е. обычный) во внутренности $R^{d}$ \ и односторонний в направлении, нормальном к Г. Тогда областью определения оператора $
abla_{N}$ будет множество
\[
\mathscr{D}_{\Delta_{N}}=\left\{f \in L_{2}:
abla_{+1-} f \in L_{2}\right\} .
\]

Заметим, что функция $f \in \mathscr{D}_{\Delta_{N}}$ как элемент пространства $L_{2}$ на гиперповерхности односторонне непрерывна в нормальном направлении, но может иметь скачок при переходе через Г. Аналогично
\[
\mathscr{D}_{\Delta_{\Gamma}}=\left\{f \in L_{2}:
abla f \in L_{2},\left.f\right|_{\Gamma}=0\right\} .
\]

Так как $\mathscr{D}_{\Delta_{\Gamma}} \subset \mathscr{D}_{\Delta} \subset \mathscr{D}_{\Delta_{N}}$, то
\[
-\Delta_{N} \leqslant-\Delta \leqslant-\Delta_{\Gamma_{1}} \leqslant-\Delta_{\Gamma_{2}},
\]

где $\Gamma_{1} \subset \Gamma_{2}$. Для обратных операторов, следовательно, имеют место неравенства
\[
0 \leqslant C_{\Gamma_{2}} \leqslant C_{\Gamma_{1}} \leqslant C \leqslant C_{N} .
\]

Областями определения этих операторов являются множества
$\mathscr{D}$ (оператор) $=\left\{f \in \mathscr{D}\left(\begin{array}{c}\text { билинейная } \\ \text { форма }\end{array}\right):\left|\langle f,
abla g\rangle_{L_{2}}\right| \leqslant\right.$
\[
\left.\leqslant \text { const }\|g\|_{L_{2}} \text { для всех } g \in \mathscr{D}\left(\begin{array}{c}
\text { билинейная } \\
\text { форма }
\end{array}\right)\right\} \text {. }
\]

C помощью интегрирования по частям легко убедиться, что это определение эквивалентно общепринятому. K примеру, для функции $f$ из области определения оператора $\Delta_{N}$ и функции $g \in C^{\infty}$ (у которой скачки через $\Gamma$, тем не менее, допустимы), $g \in \mathscr{D}_{\Delta_{N}}$, справедливо равенство
\[
\begin{aligned}
\int
abla f(x)
abla g(x) d x=\int(-\Delta f(x)) g(x) & d x- \\
& -\int_{\mathbf{r}_{+}}(\mathbf{n} \cdot
abla f) g d x+\int_{\mathbf{r}_{-}}(\mathbf{n} \cdot
abla f) g d x .
\end{aligned}
\]

Здесь $\Gamma_{+}, \Gamma_{-}$- две стороны гиперповерхности $\Gamma$, так что функция $g$ однозначна на $\Gamma_{+}$и $\Gamma_{-}$, даже если она имеет скачок на $\Gamma$. Так как слагаемые в последней формуле независимы, то каждое из них определяет непрерывный функционал на $L_{2}$. Выбирая, например, функцию $g$ непрерывной при переходе через $\Gamma$, получим, что второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются. Поскольку $\Delta f \in L_{2}$ (берутся односторонние вторые производные на $\Gamma$ ), то функция $
abla f$ односторонне непрерывна в нормальном направлении и, следовательно, во втором и третьем слагаемых $\left.
abla f\right|_{\Gamma_{+1-}} \in L_{2}(\Gamma)$. Поскольку отображение $\left.g \rightarrow g\right|_{\Gamma_{+1-}}$ не является непрерывным в $L_{2}$, а функционалы от $g$, определяемые вторым и третьим слагаемыми, непрерывны в пространстве $L_{2}$, они должны обратиться в нуль. Поэтому $\left.
abla f\right|_{\Gamma}=0$.