В предыдущих параграфах мы сравнивали ядра ковариационных операторов с разными граничными условиями; теперь займемся сравнением самих операторов, рассматриваемых как билинейные формы на пространстве $L_2\times L_2$. Наметим основные идеи, опустив строгие доказательства. Напомним, что $A⩽B$ означает, во-первых, включение для областей определения билинейных форм ${\mathcal{D}}_B\subset {\mathcal{D}}_A$ и, во-вторых, выполнение неравенства $⟨x,Ax⟩⩽⟨x,Bx⟩$ для любого $x\in {\mathcal{D}}_B$. Областью определения билинейной формы оператора ${\mathrm{\Delta }}_B$ является множество функций
$${\mathcal{D}}_{\mathrm{\Delta }}=\{f\in L_2:ablaf\in L_2\}.$$

Здесь $ablaf$ — производная обобщенной функции, так что $ablaf\in {\mathcal{D}}^{\prime }$ определена для всех $f\in L_2$. Если $ablaf\in L_2$, то можно показать, что ограничение ${f|}_{\mathrm{\Gamma }}$ определено и принадлежит $L_2$-пространству на гиперповерхности. Будучи элементом $L_2$ как функция на гиперповерхности, функция $f$ непрерывна вдоль нормального направления. Подобный анализ применим и к односторонним производным. Пусть $abl{a}_{+/-f}$ обозначает градиент, двусторонний (т. е. обычный) во внутренности $R^d$ \ и односторонний в направлении, нормальном к Г. Тогда областью определения оператора $abl{a}_N$ будет множество
$${\mathcal{D}}_{{\mathrm{\Delta }}_N}=\{f\in L_2:abl{a}_{+1-}f\in L_2\}.$$

Заметим, что функция $f\in {\mathcal{D}}_{{\mathrm{\Delta }}_N}$ как элемент пространства $L_2$ на гиперповерхности односторонне непрерывна в нормальном направлении, но может иметь скачок при переходе через Г. Аналогично
$${\mathcal{D}}_{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma }}}=\{f\in L_2:ablaf\in L_2,{f|}_{\mathrm{\Gamma }}=0\}.$$

Так как ${\mathcal{D}}_{{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma }}}\subset {\mathcal{D}}_{\mathrm{\Delta }}\subset {\mathcal{D}}_{{\mathrm{\Delta }}_N}$, то
$$-{\mathrm{\Delta }}_N⩽-\mathrm{\Delta }⩽-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathrm{\Gamma }}_1}⩽-{\mathrm{\Delta }}_{{\mathrm{\Gamma }}_2},$$

где ${\mathrm{\Gamma }}_1\subset {\mathrm{\Gamma }}_2$. Для обратных операторов, следовательно, имеют место неравенства
$$0⩽C_{{\mathrm{\Gamma }}_2}⩽C_{{\mathrm{\Gamma }}_1}⩽C⩽C_N.$$

Областями определения этих операторов являются множества
$\mathcal{D}$ (оператор) $=\{f\in \mathcal{D}\left(\begin{array}{c}\text{ билинейная }\\ \text{ форма }\end{array}\right):|⟨f,ablag{⟩}_{L_2}|⩽$
$$⩽\text{ const }\Vert g{\Vert }_{L_2}\text{ для всех }g\in \mathcal{D}\left(\begin{array}{c}\text{ билинейная }\\ \text{ форма }\end{array}\right)\}\text{. }$$

C помощью интегрирования по частям легко убедиться, что это определение эквивалентно общепринятому. K примеру, для функции $f$ из области определения оператора ${\mathrm{\Delta }}_N$ и функции $g\in C^{\mathrm{\infty }}$ (у которой скачки через $\mathrm{\Gamma }$, тем не менее, допустимы), $g\in {\mathcal{D}}_{{\mathrm{\Delta }}_N}$, справедливо равенство
$$\begin{array}{rl}\int ablaf(x)ablag(x)dx=\int (-\mathrm{\Delta }f(x))g(x)& dx-\\ & -{\int }_{{\mathbf{r}}_{+}}(\mathbf{n}\cdot ablaf)gdx+{\int }_{{\mathbf{r}}_{-}}(\mathbf{n}\cdot ablaf)gdx.\end{array}$$

Здесь ${\mathrm{\Gamma }}_{+},{\mathrm{\Gamma }}_{-}$- две стороны гиперповерхности $\mathrm{\Gamma }$, так что функция $g$ однозначна на ${\mathrm{\Gamma }}_{+}$и ${\mathrm{\Gamma }}_{-}$, даже если она имеет скачок на $\mathrm{\Gamma }$. Так как слагаемые в последней формуле независимы, то каждое из них определяет непрерывный функционал на $L_2$. Выбирая, например, функцию $g$ непрерывной при переходе через $\mathrm{\Gamma }$, получим, что второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются. Поскольку $\mathrm{\Delta }f\in L_2$ (берутся односторонние вторые производные на $\mathrm{\Gamma }$ ), то функция $ablaf$ односторонне непрерывна в нормальном направлении и, следовательно, во втором и третьем слагаемых ${ablaf|}_{{\mathrm{\Gamma }}_{+1-}}\in L_2(\mathrm{\Gamma })$. Поскольку отображение ${g\to g|}_{{\mathrm{\Gamma }}_{+1-}}$ не является непрерывным в $L_2$, а функционалы от $g$, определяемые вторым и третьим слагаемыми, непрерывны в пространстве $L_2$, они должны обратиться в нуль. Поэтому ${ablaf|}_{\mathrm{\Gamma }}=0$.