В заключение этой главы покажем, что картина среднего поля позволяет описывать другие механизмы фазовых переходов, не связанные с вырождением основного состояния. В термодинамике под фазовым переходом понимают неаналитичность какой-либо из термодинамических функций. Неаналитичность может иметь место даже тогда, когда основное состояние единственно. Например, в двумерных ( $d=2$ ) системах с непрерывной группой симметрий основное состояние симметрично (теорема Мермина-Вагнера). Простейшая система такого типа есть модель ротаторов, или $XY$-модель. Она описывается мерой изингова типа
$$d{\mu }_{\mathrm{\Lambda }}=Z(\mathrm{\Lambda }{)}^{-1}\exp [-\frac{\beta }{2}\sum _{\begin{array}{c}i\in \mathrm{\Lambda }\\ |i-i^{\prime }|=1\end{array}}{({\xi }_i-{\xi }_{i^{\prime }})}^2]\prod _{i\in \mathrm{\Lambda }}dv\left({\xi }_i\right),$$

где ${\xi }_i\in S^1$ есть единичный вектор в двумерном пространстве, а $dv(\xi )$ — равномерное распределение на $S^1$. Действие группы преобразований симметрии $U(1)=SO(2)$ задается одновременным поворотом всех спиновых векторов ${\xi }_i$. Теорема Мермина — Вагнера утверждает, что для любых граничных условий $\underset{\mathrm{\Lambda }\uparrow \mathrm{\infty }}{lim}d{\mu }_{\mathrm{\Lambda }}=d\mu$ есть мера, инвариантная относительно этой группы симметрий и эргодическая относительно трансляций (см. § 16.3).

Несмотря на единственность основного состояния, простая и весьма привлекательная теория, построенная в работе [Kosterlitz, Thouless, 1973], предсказывает существование в этой модели фазового перехода при всех $T<T_c$, где $T_c$ — некоторая положительная температура. Этот фазовый переход, с одной стороны, связан с вырожденностью многочастичных состояний при $T<T_c$, а с другой стороны, его можно интерпретировать в рамках теории среднего поля. В частности, конфигурации $XY$-модели можно рассматривать как суперпозицию двух независимых конфигураций. Переходя к угловым переменным: $\xi =(\cos \theta ,\sin \theta )$, напишем $\theta =$ $={\theta }_{\text{сп. в }}+{\theta }_{\text{в }}$, где ${\theta }_{\text{сп. в }}$ связано со спиновой волной, а ${\theta }_{\text{в }}$ есть вихревая часть конфигурации. Приближение среднего поля предполагает независимость распределений ${\theta }_{\text{сп. в и }}$ и ${\theta }_{\text{в }}$. ГІри этом энергия спиновой волны ${\theta }_{\text{сп. в }}$ есть кинетическая энергия двумерного безмассового возбуждения, а энергия вихревой части ${\theta }_{\text{в }}$ определяется энергией двумерного газа диполей с кулоновым взаимодействием. (Вихри всегда возникают парами, что приводит к конечной энергии конфигурации, и каждая пара образует элементарный диполь.) Таким образом, легко понять, как устроены парные корреляцион-

Рис. 5.6. (a) Предполагаемая зависимость обратного корреляционного радиуса от температуры для двумерной модели ротаторов. Имеется линия критических Изинга.

ные функции в модели ротаторов. В приближении среднего поля энергии складываются и, следовательно, средние перемножаютон:
$$⟨{\xi }_i{\xi }_j⟩={⟨e^{i({\theta }_i-{\theta }_j)}⟩}_{\mathrm{ct}.\text{ в }}{⟨e^{i({\theta }_i-{\theta }_j)}⟩}_{\mathrm{B}}=|i-j{|}^{-1/4\pi \beta }{⟨e^{i({\theta }_i-{\theta }_j)}⟩}_{\mathrm{B}}.$$

Так как вихревое среднее ограничено единицей, двухточечная функция стремится к нулю на бесконечности при всех $T$ в соотвотствии с теоремой Мермина — Вагнера. Вихревое среднее (кулонов газ диполей) при высоких температурах (малых $\beta$ ) убывает экспоненциально, что дает экспоненциальное убывание корреляций $⟨{\xi }_i{\xi }_j⟩$. Это неупорядоченная фаза. При низких температурах, $\beta \sim T^{-1}\gg 0$, ожидается конденсация диполей, приводящая к дальнему порядку для корреляций вихрь-вихрь. В этом режиме $⟨{\xi }_i{\xi }_j⟩$ убывает не экспоненциально, а степенным образом. Kорреляционный радиус $m(T{)}^{-1}$, характеризующий экспоненциальное убывание: $⟨{\xi }_i{\xi }_j⟩\sim \exp (-m|i-j|)$, обращается в $\mathrm{\infty }$ при $T<T_c$. Поэтому естественно ожидать, что обратный корреляционный радиус ведет себя так, как показано на рис. 5.6(a). Масштаб выбран в соответствии с предполагаемым асимптотическим поведением $m(T)\sim \exp (-c{(T-T_c)}^{-1/2})$ при $T<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="\searrow "\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/2198.svg">T_c$ [Kosterlitz, 1974]. Для сравнения на рис. 5.6(b) изображен аналогичный график для двумерной модели Изинга с асимптотическим поведением $m(T)\sim$

$\sim |T-T_c|$. Критические индексы и асимптотическое поведение вблизи $T_c$ подробнее обсуждаются в $\mathrm{\$}17.7$.

Резюмируя, можно сказать, что фазовый переход в модели ротаторов связан с обращением в нуль обратного корреляционного радиуса или массы при всех $T⩽T_c$. В этой области нет дальнего порядка, основное состояние единственно, но щель в спектре трансфер-матрицы отсутствует. Фазовый переход можно интерпретировать как конденсацию диполей в пространстве состояний ротаторов. K настоящему времени приведенная картина фазового перехода, построенная Костерлицем и Таулессом, не подкреплена математически, но выглядит весьма убедительной ${}^1$ ).

Отметим в заключение, что, как предполагается, в некоторых калибровочных теориях фазовые переходы характеризуются убыванием операторов параллельного переноса. Эти фазовые переходы тоже происходят в теориях с единственным основным состоянием, но описываются в рамках картины среднего поля с помощью вихревых конфигураций.