В заключение этой главы покажем, что картина среднего поля позволяет описывать другие механизмы фазовых переходов, не связанные с вырождением основного состояния. В термодинамике под фазовым переходом понимают неаналитичность какой-либо из термодинамических функций. Неаналитичность может иметь место даже тогда, когда основное состояние единственно. Например, в двумерных ( $d=2$ ) системах с непрерывной группой симметрий основное состояние симметрично (теорема Мермина-Вагнера). Простейшая система такого типа есть модель ротаторов, или $X Y$-модель. Она описывается мерой изингова типа
\[
d \mu_{\Lambda}=Z(\Lambda)^{-1} \exp \left[-\frac{\beta}{2} \sum_{\substack{i \in \Lambda \\\left|i-i^{\prime}\right|=1}}\left(\xi_{i}-\xi_{i^{\prime}}\right)^{2}\right] \prod_{i \in \Lambda} d v\left(\xi_{i}\right),
\]

где $\xi_{i} \in S^{1}$ есть единичный вектор в двумерном пространстве, а $d v(\xi)$ – равномерное распределение на $S^{1}$. Действие группы преобразований симметрии $U(1)=S O(2)$ задается одновременным поворотом всех спиновых векторов $\xi_{i}$. Теорема Мермина — Вагнера утверждает, что для любых граничных условий $\lim _{\Lambda \uparrow \infty} d \mu_{\Lambda}=d \mu$ есть мера, инвариантная относительно этой группы симметрий и эргодическая относительно трансляций (см. § 16.3).

Несмотря на единственность основного состояния, простая и весьма привлекательная теория, построенная в работе [Kosterlitz, Thouless, 1973], предсказывает существование в этой модели фазового перехода при всех $T<T_{c}$, где $T_{c}$ – некоторая положительная температура. Этот фазовый переход, с одной стороны, связан с вырожденностью многочастичных состояний при $T<T_{c}$, а с другой стороны, его можно интерпретировать в рамках теории среднего поля. В частности, конфигурации $X Y$-модели можно рассматривать как суперпозицию двух независимых конфигураций. Переходя к угловым переменным: $\xi=(\cos \theta, \sin \theta)$, напишем $\theta=$ $=\theta_{\text {сп. в }}+\theta_{\text {в }}$, где $\theta_{\text {сп. в }}$ связано со спиновой волной, а $\theta_{\text {в }}$ есть вихревая часть конфигурации. Приближение среднего поля предполагает независимость распределений $\theta_{\text {сп. в и }}$ и $\theta_{\text {в }}$. ГІри этом энергия спиновой волны $\theta_{\text {сп. в }}$ есть кинетическая энергия двумерного безмассового возбуждения, а энергия вихревой части $\theta_{\text {в }}$ определяется энергией двумерного газа диполей с кулоновым взаимодействием. (Вихри всегда возникают парами, что приводит к конечной энергии конфигурации, и каждая пара образует элементарный диполь.) Таким образом, легко понять, как устроены парные корреляцион-

Рис. 5.6. (a) Предполагаемая зависимость обратного корреляционного радиуса от температуры для двумерной модели ротаторов. Имеется линия критических Изинга.

ные функции в модели ротаторов. В приближении среднего поля энергии складываются и, следовательно, средние перемножаютон:
\[
\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle=\left\langle e^{i\left(\theta_{i}-\theta_{j}\right)}\right\rangle_{\mathrm{ct.} \text { в }}\left\langle e^{i\left(\theta_{i}-\theta_{j}\right)}\right\rangle_{\mathrm{B}}=|i-j|^{-1 / 4 \pi \beta}\left\langle e^{i\left(\theta_{i}-\theta_{j}\right)}\right\rangle_{\mathrm{B}} .
\]

Так как вихревое среднее ограничено единицей, двухточечная функция стремится к нулю на бесконечности при всех $T$ в соотвотствии с теоремой Мермина – Вагнера. Вихревое среднее (кулонов газ диполей) при высоких температурах (малых $\beta$ ) убывает экспоненциально, что дает экспоненциальное убывание корреляций $\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle$. Это неупорядоченная фаза. При низких температурах, $\beta \sim T^{-1} \gg 0$, ожидается конденсация диполей, приводящая к дальнему порядку для корреляций вихрь-вихрь. В этом режиме $\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle$ убывает не экспоненциально, а степенным образом. Kорреляционный радиус $m(T)^{-1}$, характеризующий экспоненциальное убывание: $\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle \sim \exp (-m|i-j|)$, обращается в $\infty$ при $T<T_{c}$. Поэтому естественно ожидать, что обратный корреляционный радиус ведет себя так, как показано на рис. 5.6(a). Масштаб выбран в соответствии с предполагаемым асимптотическим поведением $m(T) \sim \exp \left(-c\left(T-T_{c}\right)^{-1 / 2}\right) \quad$ при $T \searrow T_{c} \quad$ [Kosterlitz, 1974]. Для сравнения на рис. 5.6(b) изображен аналогичный график для двумерной модели Изинга с асимптотическим поведением $m(T) \sim$

$\sim\left|T-T_{c}\right|$. Критические индексы и асимптотическое поведение вблизи $T_{c}$ подробнее обсуждаются в $\$ 17.7$.

Резюмируя, можно сказать, что фазовый переход в модели ротаторов связан с обращением в нуль обратного корреляционного радиуса или массы при всех $T \leqslant T_{c}$. В этой области нет дальнего порядка, основное состояние единственно, но щель в спектре трансфер-матрицы отсутствует. Фазовый переход можно интерпретировать как конденсацию диполей в пространстве состояний ротаторов. K настоящему времени приведенная картина фазового перехода, построенная Костерлицем и Таулессом, не подкреплена математически, но выглядит весьма убедительной ${ }^{1}$ ).

Отметим в заключение, что, как предполагается, в некоторых калибровочных теориях фазовые переходы характеризуются убыванием операторов параллельного переноса. Эти фазовые переходы тоже происходят в теориях с единственным основным состоянием, но описываются в рамках картины среднего поля с помощью вихревых конфигураций.