Наибольший интерес представляют взаимодействующие поля. Построение таких квантовых полей становится тем сложнее, чем больше размерность $d$ пространства-времени. Здесь мы изложим программу построения взаимодействующих полей, которые, как предполагается, соответствуют физическим полям $(d=4)$. Эту программу не следует воспринимать как введение в часть II, где это построение проведено для случая $d=2$. В этом случае возникают значительные упрощения, которые и используются в части II.

Взаимодействующие поля строятся с помощью решеточных полей (гл. 2 и 4 ) с шагом решетки $\varepsilon$ как предел при $\varepsilon \rightarrow 0$. В этом пределе совершается тривиальное преобразование масштаба, при котором все длины (шаг решетки, корреляционная длина и т. п.) умножаются на $\varepsilon$. Этот масштабный пересчет определяет унитарное преобразование, которое переводит решеточные модели (с их характерными длинами) в другие, но эквивалентные им модели. Преимущество этой точки зрения в том, что нам безразлично, какой предел рассматривать: предел, в котором
\[
\text { шаг решетки } \rightarrow 0 \text {, корреляционная длина }=\text { const, }
\]

или предел, в котором
\[
\text { шаг решетки }=\text { const, корреляционная длина } \rightarrow \infty .
\]

Второй из этих эквивалентных предельных переходов определяет критическую точку решеточной теории. Простое масштабное преобразование, при котором предел (6.6.2) переходит в (6.6.1), определяет скейлинговый предел в критической точке. Итак, мы видим, что теория поля может быть построена как скейлинговый предел решеточной теории и что эта конструкция эквивалентна обычному построению, при котором шаг решетки стремится к нулю. Полученная теория поля может все еще иметь несколько параметров размерности длины, что бывает, как мы знаем, в $P(\varphi)_{2}$-теориях. Когда же все эти параметры, за исключением корреляционной длины, полагают равными нулю, получается то, что называется скейлинговым пределом.

Проиллюстрируем эти идеи хорошо известными одномерными примерами. Решеточная теория описывает случайное блуждание, в то время как ее непрерывный предел, т. е. одномерная теория поля, есть непрерывный стохастический процесс, у которого инфинитезимальный оператор совпадает с оператором гармонического или ангармонического осциллятора. Один параметр размерности длины – это корреляционная длина, а второй определяется максимальным расстоянием, при котором процесс подобен гауссову. Если второй параметр положить равным нулю, то получится скейлинговый предел, см. [Isaacson, 1977]. Этот процесс не является гармоническим (гауссовым) при произвольном значении масштаба длины, но гораздо проще, чем процесс, соответствующий ч1-ангармоническому осциллятору. На самом деле это пуассонов процесс. Его генератором служит матрица размера $2 \times 2$.

В случае размерности $d \geqslant 2$ скейлинговый предел модели $\varphi \stackrel{4}{d}$ можно рассматривать как обобщение пуассонова процесса. Так же как последний служит для описания случайных событий (точек или интервалов между ними) на прямой, так и скейлинговый предел модели $\varphi_{d}^{4}$ должен описывать случайные события (связные множества) в пространстве $R^{d}$. Считается, что эта модель теории поля совпадает со скейлинговым пределом модели Изинга в критической точке. При $d=2$ эта гипотеза была полностью установлена при помощи изящных асимптотических вычислений; см. [McCoy, Tracy, Wu, 1977].

Для предельных переходов (6.6.1-2) критическая точка является гауссовой (называемой также канонической или тривиальной) в том и только том случае, когда соответствующая модель теории поля гауссова (т. е. поле свободно, см. § 6.2-3). Поэтому задачу о существовании нетривиальных квантовых полей можно переформулировать как задачу построения скейлингового предела в нетривиальной критической точке. Мы обнаруживаем глубокое единство математических структур этих двух теорий – теории квантовых полей и теории критических точек, которое проявляется в столь далеких областях физики.

Существование квантовых полей доказано для многих двумерных моделей, а также для $\varphi_{3}^{4}$-взаимодействия $(d=3)$. Вдобавок была подробно изучена структура этих моделей, а в некоторых
особенно удачных случаях проверены аксиомы Вайтмана, доказана нетривиальность $S$-матрицы, асимптотическая полнота и суммируемость по Борелю рядов теории возмущений, наличие фазовых переходов и неравенства для критических индексов.

Для $\varphi_{4}^{4}$-взаимодействия получен ряд частных результатов, связанных с вопросом существования поля (см. [Glimm, Jaffe, 1974d, $1975 \mathrm{c}]$ ). Фактически равномерная по $\varepsilon$ оценка перенормированной двухточечной функции завершила бы доказательство. В свою очередь эта оценка есть следствие некоторых гипотетических корреляционных неравенств. В ч $_{4}^{4}$-теориях необходима перенормировка константы связи. Это означает, что в лагранжиан входит член $\lambda \varphi^{4}$ с параметром $\lambda=\lambda(\varepsilon)$, зависящим от $\varepsilon$. По мере изменения $\varepsilon$ структура решеточной критической точки может меняться, и, в частности, значение параметра длины, при котором имеется нетривиальное критическое поведение, тоже может измениться. При $\lambda=0$ критическая точка (как и вся теория) гауссова, а для фиксированного $\varepsilon$ при $\lambda=\infty$ решеточная теория совпадает с моделью Изинга. Пусть $\lambda_{\text {физ }}(\lambda, \varepsilon)$ – физическая константа связи, определенная, например, как в гл. 14. В случае если
\[
\overline{\lim }_{\varepsilon \rightarrow 0} \sup _{\lambda \geqslant 0} \lambda_{\text {физ }}(\lambda, \varepsilon)=0,
\]

может получиться лишь тривиальная $\varphi_{4}^{4}$-теория поля. В противном случае можно ожидать, что будет построена нетривиальная теория. В настоящее время доводы в пользу того, что теория тривиальна, выглядят более сильными, однако существующие методы вряд ли позволят дать определенный ответ на этот вопрос. Все эти доводы применимы в равной степени и к четырехмерному полю Юкавы, и к электродинамическому (КЭД) взаимодействию. Если бы все эти поля были тривиальны, то это означало бы, что ультрафиолетовое обрезание, возникающее из-за кварковых взаимодействий, существенно для теории протонов, фотонов, мезонов и электронов как элементарных частиц. Поскольку экспериментально установлено, что протоны и мезоны не являются элементарными частицами, а составлены из кварков и калибровочных полей («глюонов»), то такое ультрафиолетовое обрезание, например, применительно к радиусу протона, не может повлиять на экспериментальные данные.

Большая часть современных работ, в которых рассматривается проблема существования в случае размерности $d=4$, посвящена калибровочным теориям. Как с математической, так и с физической точки зрения эти поля обладают двумя преимуществами. Первое из них называется асимптотической свободой и означает, что поведение поля на малых расстояниях почти гауссово, как для ангармонического осциллятора $\varphi_{1}^{4}$, в отличие от пуассонова процесса. Вторым преимуществом считается явление, которое называют удержанием (неразлетанием) кварков; оно приводит к мысли о том, что соответствующая крнтическая точка появляется при нулевой температуре, как и во многих одномерных процессах.

В духе современной дифференциальной геометрии классическое калибровочное поле определяется как форма связности на главном расслоении. Другими словами, калибровочное поле представляет собой (локально) векторнозначную функцию со значениями в алгебре Ли, преобразующуюся как ковариантный вектор.
Такое поле $A$ порождает 2-форму кривизны
\[
F=D A \equiv d A+A \wedge A,
\]

где $D$ – ковариантная производная, определенная полем $A$. При этом действие поля равно
\[
\mathscr{A}=\int \operatorname{Tr} F^{2}(x) d x
\]

и задача квантования состоит в том, чтобы определить подходящую меру на пространстве связностей, формально пропорциональную мере
\[
d \mu=e^{-\mathscr{A}} \prod_{x} d A(x) .
\]

Заметим, что (6.6.5) не гауссова мера, потому что действие (6.6.4) не квадратично относительно $A$. Классические калибровочные поля являются решениями уравнения Янга – Миллса
\[
D^{*} F=0 .
\]

Это уравнение есть уравнение Эйлера для действия $\mathscr{A}$, т. е. оно получается приравниванием нулю первой вариации $\delta \mathscr{A}$. В § 20.9 мы продолжим обсуждение этого вопроса.

Из сказанного видно, что существование квантовых полей в случае размерности $d=4$ остается открытой проблемой как с математической, так и с физической точки зрения. Если можно, экстраполируя прошлое, предсказать будущее, то мы вправе ожидать, что дальнейшие усилия в решении этой проблемы приведут к интересным математическим структурам и более глубокому пониманию математики и физики в системах с бесконечным числом степеней свободы.

Литературные ссылки
[Bjorken, Drell. 1964-5], [Kastler, 1961], [Schweber 1961], [Eoroлюбов, Ширков, 1959], [Thirring, 1958], [Itzykson, Zuber, 1980], [Березин, 1965].