Выберем распределение $d \mu_{i}$ для отдельного спина в виде $d \mu_{i}=$ $=e^{-P_{i}\left(\xi_{i}\right)} d \xi_{i}$, где
\[
P_{i}\left(\xi_{i}\right)=\lambda_{i} \xi_{i}^{4}+\sigma_{i} \xi_{i}^{2}, \quad \lambda_{i}>0 \text { или } \lambda_{i}=0, \sigma_{i}>0 .
\]

В этом случае справедливы дополнительные корреляционные неравенства, называемые $\xi^{4}$-неравенствами, так как во взаимодействие входит четвертая степень спиновой переменной.

В дополнение к переменным $\xi, \chi$, введенным в $\$ 4.1$, определим две новые переменные $\xi^{\prime}, \chi^{\prime}$ и положим
\[
\begin{array}{l}
t_{i}^{\prime}=2^{-1 / 2}\left(\xi_{i}^{\prime}+\chi_{i}^{\prime}\right), \quad q_{i}^{\prime}=2^{-1 / 2}\left(\xi_{i}^{\prime}-\chi_{i}^{\prime}\right), \\
\alpha_{i}=2^{-1 / 2}\left(t_{i}+t_{i}^{\prime}\right), \quad \beta_{i}=2^{-1 / 2}\left(t_{i}-t_{i}^{\prime}\right), \\
\gamma_{i}=2^{-1 / 2}\left(q_{i}+q_{i}^{\prime}\right), \quad \delta_{i}=2^{-1 / 2}\left(q_{i}^{\prime}-q_{i}\right) . \\
\end{array}
\]

Заметим, что переменные ( $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ ) и ( $\xi, \chi, \xi^{\prime}, \chi^{\prime}$ ) связаны ортогональным преобразованием пространства $R^{4}$.
Теорема 4.3.1. Пусть полином $P$ имеет вид (4.3.1), а гамильтониан
\[
H=-\sum_{i, j} J_{i, j} \xi_{i} \xi_{l}-\sum_{i} h_{i} \xi_{i} ; \quad J_{i j}, h_{i} \geqslant 0,
\]

удовлетворяет условию (4.1.4). Тогда
\[
\left\langle\alpha^{A} \beta^{B} \gamma^{C} \delta^{D}\right\rangle \geqslant 0,
\]

где среднее берется по учетверенному набору переменных (произведение мер), подобно тому как это определялось в (4.1.8).

Корреляционные неравенства с дополнительными переменными (например, неравенство (4.3.3)) вводятся для того, чтобы получить затем неравенства, содержащие двойные разности исходных корреляционных функций. В качестве промежуточного шага выведем неравенства для простых разностей корреляционных функций переменных $t, q$.

Следствие 4.3.2 (неравенства Лебовица):
\[
\begin{array}{r}
\left\langle t^{A} t^{B}\right\rangle-\left\langle t^{A}\right\rangle\left\langle t^{B}\right\rangle \geqslant 0, \\
\left\langle q^{A} q^{B}\right\rangle-\left\langle q^{A}\right\rangle\left\langle q^{B}\right\rangle \geqslant 0, \\
\left\langle t^{A} q^{B}\right\rangle-\left\langle t^{A}\right\rangle\left\langle q^{B}\right\rangle \leqslant 0 .
\end{array}
\]

Доказательство. Сначала при помощи леммы 4.1.2 убеждаемся, что каждое из выражений, стоящих ниже в квадратных скобках, ферромагнитно по переменным $\alpha, \ldots, \delta$, а затем применяем (4.3.3):
\[
\begin{array}{c}
\left\langle t^{A} t^{B}\right\rangle-\left\langle t^{A}\right\rangle\left\langle t^{B}\right\rangle=\left\langle t^{A}\left\langle t^{B}-t^{B}\right)\right\rangle= \\
\quad=2^{-(|A|+|B|) / 2}\left\langle(\alpha+\beta)^{A}\left[(\alpha+\beta)^{B}-(\alpha-\beta)^{B}\right]\right\rangle \geqslant 0, \\
\left\langle q^{A} q^{B}\right\rangle-\left\langle q^{A}\right\rangle\left\langle q^{B}\right\rangle=\left\langle q^{A}\left(q^{\prime}-q^{B}\right)\right\rangle= \\
\quad=2^{-(|A|+|B|) / 2}\left\langle(\gamma+\delta)^{A}\left[(\gamma+\delta)^{B}-(\gamma-\delta)^{B}\right]\right\rangle \geqslant 0, \\
\left\langle t^{A}\right\rangle\left\langle q^{B}\right\rangle-\left\langle t^{A} q^{B}\right\rangle=\left\langle t^{A}\left(q^{B}-q^{B}\right)\right\rangle= \\
=2^{-(|A|+|B|) / 2}\left\langle(\alpha+\beta)^{A}\left[(\gamma+\delta)^{B}-(\gamma-\delta)^{B}\right]\right\rangle \geqslant 0 .
\end{array}
\]

Доказательство теоремы 4.3.1. Предположим, что $\lambda_{l}>0$ для всех $i \in \Lambda$. Общий случай рассматривается аналогично. С точностью до множителя $Z^{-4}$ среднее в (4.3.3) имеет вид
\[
\int \alpha^{A} \ldots \delta^{D} e^{-\left[H(\xi)+H(\chi)+H\left(\xi^{\prime}\right)+H\left(\chi^{\prime}\right)\right]} \prod_{i}\left(d \mu_{i}\left(\xi_{l}\right) \ldots d \mu_{i}\left(\chi_{i}^{\prime}\right)\right) .
\]

Здесь $H(\xi)+\ldots+H\left(\chi^{\prime}\right)=-\sum_{i, j} J_{i j}\left[\xi_{i} \xi_{j}+\ldots+{ }^{n} \chi_{i}^{\prime} \chi_{j}^{\prime}\right]-\sum_{i} h_{i}\left[\xi_{i}+\chi_{i}+\right.$ $\left.+\xi_{i}^{\prime}+x_{i}^{\prime}\right]$. Перепишем эти суммы в переменных $\alpha, \ldots, \delta$. Так как преобразование $\left(\xi_{i}, \chi_{i}, \xi_{i}^{\prime}, \chi_{i}^{\prime}\right) \rightarrow\left(\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}, \delta_{i}\right)$ является ортогональным, а коэффициенты […] при $J_{i j}$ имеют вид скалярного произведения в переменных $\xi$, …, $\chi^{\prime}$, то эти коэффициенты сохраняют прежний вид и в переменных $\alpha_{1} . ., \delta$. Поэтому, используя равенство $2 \alpha_{i}=2^{1 / 2}\left(t_{i}+t_{i}^{\prime}\right)=\left(\xi_{i}+\chi_{i}+\xi_{i}^{\prime}+\chi_{i}^{\prime}\right)$, получаем, что
\[
H(\xi)+\ldots+H\left(\chi^{\prime}\right)=-\sum J_{i j}\left[\alpha_{i} \alpha_{j}+\ldots+\delta_{i} \delta_{j}\right]-2 \sum h_{i} \alpha_{i} .
\]

Гамильтониан (4.3.5) является ферромагнитным, поскольку $J_{i j} \geqslant 0$ и $h_{i} \geqslant 0$. Разложив экспоненту в (4.3.4) и взяв произведение интегралов по различным узлам решетки, мы сведем задачу к доказательству неравенства
\[
\int \alpha_{i}^{k} \beta_{i}^{l} \gamma_{i}^{m} \delta_{i}^{n} d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right) \ldots d \mu_{i}\left(x_{i}^{\prime}\right) \geqslant 0
\]

для всех $i, k, \ldots, n$. Для простоты опускаем далее индекс $i$. Воспользуемся явным видом меры $d \mu(\xi)=e^{-\lambda \xi^{4}-\sigma \xi^{2}} d \xi$, где $\lambda>0$. В силу ортогональности замены переменных $\xi, \ldots \leftrightarrow \alpha, \ldots$, имеем $d \xi \ldots d \chi^{\prime}=d \alpha d \beta d \gamma d \delta$ и
\[
\sigma\left(\xi^{2}+\chi^{2}+\xi^{\prime 2}+\chi^{\prime 2}\right)=\sigma\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+\delta^{2}\right) .
\]

С помощью явных вычислений получаем
\[
\begin{aligned}
2^{4}\left(\xi^{4}+\chi^{4}+\xi^{\prime 4}+\chi^{\prime 4}\right) & =(\alpha+\beta+\gamma-\delta)^{4}+(\alpha+\beta-\gamma+\delta)^{4}+ \\
+ & (\alpha-\beta+\gamma+\delta)^{4}+(-\alpha+\beta+\gamma+\delta)^{4}= \\
& =4\left(\alpha^{4}+\beta^{4}+\gamma^{4}+\delta^{4}\right)+12\left(\alpha^{2} \beta^{2}+\alpha^{2} \gamma^{2}+\ldots\right)-4 ! 4 \alpha \beta \gamma \delta .
\end{aligned}
\]

Следовательно, $P(\xi)+P(\chi)+P\left(\xi^{\prime}\right)+P\left(\chi^{\prime}\right)$ равняется ферромагнитному члену (一с $\alpha \beta \gamma$ ) плюс четная функция от $\alpha, \beta, \gamma, \delta$, и можно переписать (4.3.6) в виде
\[
\int \alpha^{k} \beta^{l} \gamma^{n} \delta^{n} e^{c \alpha \beta \gamma \delta} e^{-Q} d \alpha d \beta d \gamma d \delta \geqslant 0 .
\]

Здесь $c$ – положительная константа, а $Q$ – четная функция от $\alpha, \beta, \gamma$ и $\delta$. Разложим $e^{c \alpha \beta \gamma \delta}$ в степенной ряд. После этого, очевидно, достаточно доказать, что
\[
\int \alpha^{k} \beta^{l} \gamma^{m} \delta^{n} e^{-Q} d \alpha d \beta d \gamma d \delta \geqslant 0
\]

для всех $k, l, m, n$. Но $Q$ – четная функция, поэтому (4.3.7) обращается в нуль, если хотя бы одно из чисел $k, l, m, n$ нечетно.

Замечание. Хотя неравенство (4.3.3) обобщается на случай полиномов $P(x)=\sum_{j=2}^{n} c_{j} x^{2 j}+\sigma x^{2}$, где все $c_{f} \geqslant 0$, только $\xi^{4}$-полиномы (4.3.1) (при переходе к непрерывному полю в $R^{d}$ ) допускают перенормировки в размерностях $d \geqslant 2$.
Следствие 4.3.3. Пусть $h_{i} \equiv 0 u|A|,|B|$ четны. Тогда
\[
0 \leqslant\left\langle\xi^{A} \xi^{B}\right\rangle-\left\langle\xi^{A}\right\rangle\left\langle\xi^{B}\right\rangle \leqslant \sum\left\langle\xi^{A_{1} B_{1}}\right\rangle\left\langle\xi^{\left.A_{2} \xi^{B_{2}}\right\rangle},\right.
\]

где суммирование проводится по всем разбиениям $A=\left(A_{1}, A_{2}\right)$, $B=\left(B_{1}, B_{2}\right)$, для которых $\left|A_{1}\right|,\left|B_{1}\right|$ нечетны.
Доказательство. Первое неравенство следует из теоремы 4.1.3. Для доказательства второго воспользуемся третьим неравенством из следствия 4.3.2:
\[
\begin{array}{l}
=\sum(-1)^{\left|B_{2}\right|}\left\langle\xi^{A_{1} \xi^{B_{1}}}\right\rangle\left\langle\xi^{A_{2} \xi^{B_{2}}}\right\rangle \leqslant 2^{(|A|+|B|) / 2}\left\langle t^{A}\right\rangle\left\langle q^{B}\right\rangle= \\
=\sum(-1)^{\left|B_{2}\right|}\left\langle\xi^{A_{1}}\right\rangle\left\langle\xi^{A_{2}}\right\rangle\left\langle\xi^{B_{1}}\right\rangle\left\langle\xi^{B_{2}}\right\rangle . \\
\end{array}
\]

Мы утверждаем, что, выбросив из этой суммы члены, соответствующие нетривиальным разбиениям с четным $\left|B_{2}\right|$, мы не нарушим неравенство. Действительно, положим
\[
\left\langle\xi^{A} \xi^{B}\right\rangle^{T}=\left\langle\xi^{A} \xi^{B}\right\rangle-\left\langle\xi^{A}\right\rangle\left\langle\xi^{B}\right\rangle .
\]

По теореме $4.1 .3\langle\ldots\rangle^{T} \geqslant 0$. Следовательно,

что доказывает наше утверждение. Члены в правой части, соответствующие нечетным $\left|B_{2}\right|$, равны нулю. В самом деле, $\left\langle\xi^{B_{2}}\right\rangle=0$, так как среднее инвариантно относительно преобразования $\xi \rightarrow-\xi$. По той же причине равны нулю те члены в левой части, для которых $\left|B_{2}\right|$ нечетно, а $\left|A_{2}\right|$ четно. Остальные члены и при. водят к доказываемому неравенству.
Следствие 4.3.4. Пусть $h_{i} \geqslant 0$ для всех і и выполнены условия теоремы. Тогда
\[
\left\langle\xi_{i}\right\rangle \geqslant 0,\left\langle\xi_{i} \xi_{j i}\right\rangle-\left\langle\xi_{i}\right\rangle\left\langle\xi_{j}\right\rangle \geqslant 0
\]
$u\left\langle\xi_{i} \xi_{j} \xi_{k}\right\rangle-\left\langle\xi_{i}\right\rangle\left\langle\xi_{j} \xi_{k}\right\rangle-\left\langle\xi_{j}\right\rangle\left\langle\xi_{i} \xi_{k}\right\rangle-\left\langle\xi_{k}\right\rangle\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle+2\left\langle\xi_{i}\right\rangle\left\langle\xi_{j}\right\rangle\left\langle\xi_{k}\right\rangle \leqslant 0$.
Доказательство. Последнее неравенство вытекает из следствия 4.3.2:
\[
\begin{aligned}
2^{3 / 2}\left\langle t_{i} q_{j} q_{k}\right\rangle=2\left(\left\langle\xi_{i} \xi_{j} \xi_{k}\right\rangle\right. & \left.-\left\langle\xi_{i} \xi_{j}\right\rangle\left\langle\xi_{k}\right\rangle-\left\langle\xi_{i} \xi_{k}\right\rangle\left\langle\xi_{j}\right\rangle+\left\langle\xi_{i}\right\rangle\left\langle\xi_{j} \xi_{k}\right\rangle\right) \leqslant \\
& \leqslant 2^{3 / 2}\left\langle t_{i}\right\rangle\left\langle q_{j} q_{k}\right\rangle=2\left(2\left\langle\xi_{i}\right\rangle\left\langle\xi_{j} \xi_{k}\right\rangle-2\left\langle\xi_{i}\right\rangle\left\langle\xi_{j}\right\rangle\left\langle\xi_{k}\right\rangle\right) .
\end{aligned}
\]

При $h_{i} \geqslant 0$ имеем $\left\langle\xi_{l}\right\rangle \geqslant 0$, так как $\left\langle\xi_{i}\right\rangle=0$ в случае, когда $h_{i}=0$ при всех $i$, и $d\left\langle\xi_{j}\right\rangle / d h_{i}=\left\langle\xi_{i} \xi_{i}\right\rangle-\left\langle\xi_{i}\right\rangle\left\langle\xi_{j}\right\rangle \geqslant 0$ по теореме 4.3.1.
Замечание. Легко видеть, что $\left\langle\xi_{i}\right\rangle=\partial \ln Z / \partial h_{i}$, и вообще усеченные корреляционные функции (иначе называемые функциями Урселла или связными $n$-точечными функциями):
\[
U\left(i_{1}, \ldots, i_{v}\right)=\partial^{v} \operatorname{In} Z / \partial h_{i_{1}} \ldots \partial h_{i_{v}},
\]

при $v=1,2,3$ в точности являются комбинациями корреляционных функций, рассмотренных в предыдущем следствии. Если все $h_{i}=0$ и $v$ нечетно, то $U\left(i_{1}, \ldots, i_{v}\right)=0$ в силу симметрии относительно преобразования $\xi \rightarrow-\xi$. Если $v$ четно и все $h_{i}=0$, то $U\left(i_{1}, i_{2}\right) \geqslant 0$ (теорема 4.1.3),$\quad U\left(i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4}\right) \leqslant 0$ (частный случай следствия 4.3.3). Справедливо также неравенство $U\left(i_{1}, \ldots, i_{6}\right) \geqslant 0$ [Cartier, 1974; Percus, 1975; Sylvester, 1975]. Существует гипотеза, что для любого четного $v$
\[
(-1)^{v / 2} U\left(i_{1}, \ldots, i_{v}\right) \leqslant 0 .
\]

Следствие 4.3.5. Пусть $h_{i} \geqslant 0$ для всех $i$. Тогда
\[
\left\langle\xi_{i_{1}} \cdots \xi_{i_{n}}\right\rangle \leqslant \sum_{j=0}^{[n / 2]} \sum\left\langle\xi_{i_{1}} \xi_{i_{2}}\right\rangle \cdots\left\langle\xi_{i_{2 j-1}} \xi_{i_{2 j}}\right\rangle\left\langle\xi_{i_{2 j+1}}\right\rangle \cdots\left\langle\xi_{i_{n}}\right\rangle,
\]

где внутреннее суммирование проводится по всевозможным наборам $ј$ пар из п индексов $\left\{i_{1}, \ldots, i_{n}\right\}$.
Доказательство. Воспользуемся следствием 4.3.2:
\[
\begin{array}{l}
2^{(n+2) / 2}\left\langle t_{1} \ldots t_{n} q_{n+1} q_{n+2}\right\rangle=\sum_{\substack{\{1, \ldots, n\}=A_{1} \cup A_{2} \\
\{n+1, n+2\}=B_{1} \cup B_{2}}}(-1)^{\left|B_{2}\right|}\left\langle\xi^{A_{1}} \chi^{\left.A_{2} \xi^{B_{1}} \chi^{B_{2}}\right\rangle=}\right. \\
=\sum(-1)^{\mid B_{2} 1}\left\langle\xi^{A_{1} \xi^{B_{1}}}\right\rangle\left\langle\xi^{A_{2} \xi^{B_{2}}}\right\rangle \leqslant \sum(-1)^{\left|B_{2}\right|}\left\langle\xi^{A_{1}}\right\rangle\left\langle\xi^{A_{2}}\right\rangle\left\langle\xi^{B_{1}}\right\rangle\left\langle\xi^{B_{2}}\right\rangle \\
\end{array}
\]

Отбрасывая (как и в доказательстве следствия 4.3.3) отрицательные члены в правой части (нечетные $\left|B_{2}\right|$ ) и все члены, соответствующие четным $\left|B_{2}\right|$ и нетривиальным разбиениям $A=A_{1} \cup A_{2}$, получаем, что
\[
\left\langle\xi_{1} \cdots \xi_{n+2}\right\rangle \leqslant\left\langle\xi_{1} \ldots \xi_{n}\right\rangle\left\langle\xi_{n+1} \xi_{n+2}\right\rangle+\sum_{A=A_{1} \cup A_{2}}\left\langle\xi^{A_{1}} \xi_{n+1}\right\rangle\left\langle\xi^{A_{2}} \xi_{n+2}\right\rangle .
\]
Из этого неравенства следствие 4.3 .5 получается индукцией по $n$.