В этом параграфе мы изучаем более подробно индекс $\eta$. Именно, мы покажем, что достаточно быстрое степенное убывание $\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle$ влечет за собой экспоненциальное убывание, а это означает, что $\sigma>\sigma_{c}$. Для сравнения заметим, что
\[
\eta=\left\{\begin{array}{llll}
1 & \text { при } & d=1 & \text { (точные вычисления), } \\
0,25 & \text { при } & d=2 & \text { (точные вычисления), } \\
0,041 & \text { при } & d=3 & \text { (численное исследование высокотемпера- } \\
& & & \text { турных разложений или суммирование } \\
0 & \text { при } & d \geqslant 4 & \text { (ренормгру), }
\end{array}\right.
\]

Теорема 17.8.1. Рассмотрим решеточную модель $\varphi^{4}$ или модель Изинга и предположим, что
\[
\lim _{|x| \rightarrow \infty}\langle\varphi(0) \varphi(x)\rangle|x|^{d-1}=0 .
\]

Тогда существует такое $m>0$, что
\[
\langle\varphi(0) \varphi(x)\rangle \leqslant O(1) e^{-m|x|} \quad \text { при } \quad|x| \rightarrow \infty .
\]

Таким образом, $\eta \leqslant 1$. Для непрерывной $\varphi^{4}$-модели $\eta \leqslant 2$.
Замечание 1. Согласно второму неравенству Гриффитса (4.1.11),
\[
\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle-\langle\varphi(x)\rangle\langle\varphi(y)\rangle \geqslant 0,
\]

поэтому из предположения (17.8.1) вытекает, что $\langle\varphi(x)\rangle=0$. По теореме 16.1 .1 среднее $\langle\cdot\rangle$ определяет чистую фазу.
Замечание 2. В случае $d=1$ теорема показывает, что стремление $\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle$ к нулю при $|x-y| \rightarrow \infty$ гарантирует экспоненциальное убывание. В одномерной модели Изинга при $T
eq 0$ функция $\langle\varphi(i) \varphi(j)\rangle \rightarrow 0$ при $i-j \rightarrow \infty$. При $T=0$ имеем $\langle\varphi(i) \varphi(j)\rangle \equiv 1$.
Замечание 3. Оценка $\eta \leqslant 2$ была установлена Глиммом и Джаффе [1977a]. Оценка $\eta \leqslant 1$ принадлежит Добрушину [1979]. Мы следуем работе [Simon, 1980]; см. также [Aizenman, Simon, 1980], [Lieb, 1980], [Rivasseau, 1980].
Доказательство теоремь 17.8 .1 для решетонных полей и модели Изина. Поскольку $\langle\varphi\rangle=0$, мы можем воспользоваться $\varphi^{4}$ неравенством нз следствия 4.3.3. Оно приннмает здесь вид
\[
\begin{aligned}
0 & \leqslant\langle\varphi(i) \varphi(j) \varphi(k) \varphi(l)\rangle-\langle\varphi(i) \varphi(j)\rangle\langle\varphi(k) \varphi(l)\rangle \leqslant \\
& \leqslant\langle\varphi(i) \varphi(k)\rangle\langle\varphi(j) \varphi(l)\rangle+\langle\varphi(i) \varphi(l)\rangle\langle\varphi(j) \varphi(k)\rangle .
\end{aligned}
\]

Далее, рассмотрим интерполяцию среднего $\langle\cdot\rangle_{s}$, определяемую мерой
\[
d \mu_{s}=Z_{s}^{-1} \exp \left[-s \beta \sum_{\Gamma^{\prime}} \varphi(k) \varphi(l)\right] d \mu .
\]

Для простоты мы выбираем решетку с ребрами единичной длины. Здесь $d \mu-$ мера, отвечающая $\langle\cdot\rangle ; 0 \leqslant s \leqslant 1 ; Z_{s}$ – нормирующий множитель; $\Gamma$ – конечный набор ребер ( $k, l$ ), сьязывающих пары соседних точек, который определяется так. Пусть $B_{r}$ обозначает шар радиуса $r$ с центром в нуле, и пусть $\Gamma=\Gamma_{r}$ – множество ребер, пересекающих его границу $\partial B_{r}$. Тогда $d \mu=d \mu_{s=0}$, а $d \mu_{s=1}$ есть мера, допускаюшая факторизацию $d \mu_{1}=d \mu^{\text {Int }} \otimes d \mu^{\text {ext }}$, где $d \mu^{\text {Int }}$ зависит только от $\varphi(i), i \in \operatorname{Int} B_{r}$ (внутренность $B_{r}$ ), а $d \mu^{\text {ext }}$ зависит лишь от $\varphi(i), i \in \operatorname{Ext} B_{r}$ (внешность $B_{r}$ ). Все меры $d \mu_{s}$ ферромагнитны, четны и удовлетворяют $\varphi^{4}$-неравенству (17.8.2). Далее, если $r<|i|$, то
\[
\langle\varphi(0) \varphi(i)\rangle_{1}=\langle\varphi(0)\rangle_{1}\langle\varphi(i)\rangle_{1}=0 .
\]

Поэтому мы можем написать
\[
\begin{aligned}
\langle\varphi(0) \varphi(i)\rangle & =-\int_{0}^{1}\left(\frac{d}{d s}\langle\varphi(0) \varphi(i)\rangle_{s}\right) d s= \\
& =\int_{0}^{1} \beta \sum_{\Gamma}\left(\langle\varphi(0) \varphi(i) \varphi(k) \varphi(l)\rangle_{s}-\langle\varphi(0) \varphi(i)\rangle_{s}(\varphi(k) \varphi(l)\rangle_{s}\right) d s \leqslant \\
& \leqslant \int_{0}^{1} \beta \sum_{(k, \imath \in \Gamma \text { или }(l, k) \in \Gamma}\langle\varphi(0) \varphi(k)\rangle_{s}\langle\varphi(l) \varphi(i)\rangle_{s} d s .
\end{aligned}
\]

В последнем неравенстве мы использовали (17.8.2). Снова обращаясь к (17.8.2), заключаем, что $\langle\varphi(0) \varphi(k)\rangle_{s}$ монотонно убывает с ростом $s$. Следовательно,
\[
\langle\varphi(0) \varphi(i)\rangle \leqslant \beta \sum_{\Gamma}\langle\varphi(0) \varphi(k)\rangle\langle\varphi(l) \varphi(i)\rangle \leqslant \beta\left(\sum_{\Gamma^{\prime}}\langle\varphi(0) \varphi(k)\rangle\right) \sup _{\Gamma}\langle\varphi(l) \varphi(i)\rangle .
\]

Применяя оценку (17.8.1) и пользуясь тем, что $|\Gamma| \leqslant$ const $r^{t-1}$, мы получаем для достаточно больших $r$ неравенство
\[
\alpha^{-1} \equiv \equiv \beta \sum_{\Gamma}\langle\varphi(0) \varphi(k)\rangle<1 .
\]

При таком выборе $\alpha$ и $r$ из (17.8.5) вытекает, что
\[
\sup \{\langle\varphi(0) \varphi(i)\rangle: D \leqslant|i|\} \leqslant \alpha \sup \{\langle\varphi(0) \varphi(i)\rangle: D-r \leqslant|i|\} .
\]

Далее рассуждаем по нидукцни; после $|i| /(r+1)$ шагов мы получим, что
\[
\langle\varphi(0) \varphi(i)\rangle \leqslant \alpha^{-|i| /(r+1)} \sup _{k
eq l}\langle\varphi(k) \varphi(l)\rangle \leqslant c \alpha^{-|i| /\langle r+1)} .
\]

Итак, полагая $n=(r+1)^{-1} \ln \alpha$, приходим к утвержденню теоремы.