Свободное поле описывает невзаимодействующие частицы. Однако, несмотря на свой тривиальный характер, свободные поля играют определенную роль и при описании взаимодействующих частиц. Всякая частица, изолированная от других частиц (а также внешних сил и полей), ведет себя как свободная. Более того, в асимптотическом пределе при $t \rightarrow \pm \infty$ происходит разделение частиц благодаря различиям в скоростях, а также из-за дисперсии, свойственной эволюции квантовомеханических систем. Поэтому в пределе при $t \rightarrow \pm \infty$ поведение частиц мало отличается от поведения свободных частиц, и они описываются свободными полями.

Свободные поля служат также отправной точкой при анализе и построении взаимодействующих полей с помощью теории возмущений по константе связи $\lambda$. Важнейшее в этом отношении свойство свободных полей состоит в том, что они допускают явное решение. Другие разрешимые в явном виде поля, такие, как двумерная модель Тирринга, задаются в виде нелинейной и нелокальной функции некоторого свободного поля. Иной возможной отправной точкой при построении взаимодействующих полей служит модель Изинга или какая-либо другая модель статистической физики, рассматриваемая в своей критической точке.

При подходе к квантовым полям как моделям статистической физики евклидово свободное поле известно как гауссова модель. Она описывает критическое поведение на больших расстояниях в случае канонической критической точки.

Мы начнем анализ свободного поля с применения к гауссовой мере $d \mu$ на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ теоремы реконструкции. Пусть $C$ — непрерывная невырожденная билинейная форма на произведении пространств $\mathscr{P}\left(R^{d}\right) \times \mathscr{P}\left(R^{d}\right)$. Символически запишем ее в виде
\[
C(f, g) \equiv\langle f, C g\rangle .
\]

На пространстве $\mathscr{I}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ существует единственная гауссова мера $d \varphi_{c}$ с ковариацией (т. е. двухточечной функцией) $C$ и нулевым средним. Характеристический функционал меры $d \varphi$ с равен
\[
S\{f\}=e^{-\langle f, C f\rangle / 2}=\int e^{i \varphi(f)} d \varphi_{C} .
\]

Пользуясь равенством (6.2.2), можно вычислить моменты меры $d \varphi_{c}$, а именно
\[
\begin{aligned}
\int \varphi(f)^{n} d \varphi_{C} & =\left.(-i d / d \lambda)^{n} S\{\lambda f\}\right|_{\lambda=0}= \\
& =\left\{\begin{array}{cl}
0, & n \text { нечетно, } \\
(n-1) ! ! C(f, f)^{n / 2}, & n \text { четно, }
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]

где $n ! !=n(n-2)(n-4) \ldots 1$. Заметим, что для любого конечного числа координат в $\mathscr{P}^{\prime}$, скажем $q_{j}=\varphi\left(\hat{f}_{j}\right)$, где $f_{j} \in \mathscr{P}, j=$ $=1,2, \ldots, n$, их значения распределены относительно $d \varphi$ с по формуле
\[
d \varphi_{C}=(\operatorname{det} C)^{1 / 2}(2 \pi)^{-n / 2} e^{-(1 / 2)} \sum_{i, j} q_{i} C_{i j}^{-1} q_{j} \prod_{i=1}^{n} d q_{i},
\]

где $C$-матрица $C_{i j}=C\left(f_{i}, f_{j}\right)=\left\langle f_{i}, C f_{i}\right)$, а $C^{-1}$ обозначает обратную матрицу.

Очевидно, что мера $d \varphi_{c}$ и функционал $S$ инвариантны относительно сдвигов по времени, отражений или других евклидовых движений в том и только в том случае, если всеми этими свойствами обладает ковариация $C$. Қак мы сейчас увидим, это же относится и к свойству положительности при отражениях.

Определение 6.2.1. Билинейная форма $C$ на произведении пространств $\mathscr{P}\left(R^{d}\right) \times \mathscr{S}\left(R^{d}\right)$ обладает свойством положительности при отражениях, если для любой функции $f \in \mathscr{P}\left(R^{d}\right)$, носитель которой лежит в области будущего, верно неравенство $\langle\theta f, C \hat{f}\rangle \geqslant 0$.
Теорема 6.2.2. Гауссова мера $d \varphi_{с}$ обладает свойством положительности при отражениях тогда и только тогда, когда им обладает ковариация $С$.
Доказательство. Предположим, что $C$ обладает этим свойством, и положим
\[
M_{i j}=S\left\{f_{i}-\theta f_{i}\right\}=S\left\{f_{i}\right\} S\left\{f_{i}\right\} \exp \left\langle\theta f_{i}, C f_{i}\right\rangle,
\]

где $\operatorname{supp} f_{i} \subset\{x: t>0\}$. Тогда матрица $M_{i j}$ имеет положительные собственные значения (т. е. эта матрица положительна) в том и только в том случае, если $N_{i j}=\exp \left\langle\theta f_{i}, C f_{j}\right\rangle$ — положительная матрица. По предположению $R_{i j}=\left\langle\theta f_{i}, C f_{j}\right\rangle-$ положительная матрица, а отсюда следует и положительность $N_{i j}=e^{R_{i j}}$. В самом деле, если $A_{i j}, B_{i j}$ — две произвольные положительные матрицы, то матрица $D_{i j} \equiv A_{i j} B_{i j}$ тоже положительна, а это означает, что положительна $N_{i j}=$ $=\sum(1 / r 1)\left(R_{i j}\right)^{r}$. Для доказательства положительности матрицы $D$ рассмотрим тензорное произведение матриц $A \otimes B$ с элементами $A_{i j} B_{k l}$. Заметим, что оно положительно. Следовательно, оно останется положительным и при ограничении на подпространство векторов $\alpha$ с компонентами $\alpha_{j l}=0$ при всех $j, l$, кроме $j=l$. Но на этом подпространстве $A \otimes B=D$.

Обратное утверждение верно также и для негауссовых мер, поэтому мы сформулируем его в виде отдельной теоремы.
Теорема 6.2.3. Пусть $d \mu$ — мера на пространстве $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ с характеристическим функционалом $S\{f\}$. Предположим, что $S\{f\}$ является целой аналитической функцией комплексной переменной $f$ из пространства комплексных основных функций $\mathscr{S}$. Если мера ди обладает свойством положительности при отражениях, то им обладает двухточечная корреляционная функция этой меры.
Доказательство. Определим $M_{i j}$, как выше, функцию $f_{1}$ возьмем вещественной, $f_{1}=\lambda f$, а $f_{2}=0$. Пусть также $\alpha_{1}=\lambda^{-1}, \alpha_{2}=-\lambda^{-1}$. Тогда
\[
0 \leqslant \sum_{i, j=1}^{2} \alpha_{i} M_{i j} \alpha_{j} \xrightarrow[\lambda \rightarrow 0]{\longrightarrow} \int(\theta f) \varphi(f) d \mu .
\]

Приведенная ниже спектральная формула Лемана (6.2.7) дает представление для двухточечной функции в лоренц-инвариантной теории поля. Этот результат тоже верен и для негауссовых полей, но в гауссовом случае он дает полную классификацию мер $d \varphi$, которые соответствуют лоренц-инвариантным теориям. Положим
\[
\begin{array}{c}
\Theta\left(p_{0}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & p_{0}>0, \\
0, & p_{0}<0,
\end{array}\right. \\
\Delta_{m}^{+}=\int e^{i p \cdot x} \Theta\left(p_{0}\right) \delta\left(m^{2}+p^{2}\right) d p,
\end{array}
\]

где лоренцева метрика равна $p \cdot x=\sum_{i=1}^{d-1} p_{i} x_{i}-p_{0} x_{0}$.

Теорема 6.2.4. Пусть мера $d \mu$ на пространстве $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ удовлетворяет аксиомам OS 0-3. Тогда для аналитического продолжения функции Вайтмана $W_{2}$ справедливо представление
\[
W_{2}(x, y)=\int_{0}^{\infty} d \rho\left(m^{2}\right) \Delta_{m}^{+}(x-y),
\]

где $d \rho\left(m^{2}\right)$ — положительная мера не более чем степенного роста и такая, что
\[
\begin{array}{r}
\int_{0}^{1} \ln m^{-2} d \rho\left(m^{2}\right)<\infty, \quad d=2, \\
\int_{0}^{1} m^{-1} d \rho\left(m^{2}\right)<\infty, \quad d=1 .
\end{array}
\]

Более того, каждая такая мера $d \rho$ соответствует одной и только одной гауссовой мере $d \mu$, обладающей свойствами инвариантности и положительности при отражениях.
Доказательство. В силу результатов $\$ 6.1$, функция $W_{2} \in \mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right)$, как функция разности $x-y$, лоренц-инвариантна. Ее преобразование Фурье, рассматриваемое как функция импульсной переменной, сопряженной к разности $x-y$ (т.е. функция относительного импульса), является положительной мерой. Это следует из соотношения
\[
0 \leqslant\left\langle\varphi(f)^{*} \varphi(f)\right\rangle=\langle\varphi(\bar{t}) \varphi(f)\rangle
\]

для $f$ из пространства комплексных основных функций $\mathscr{P}\left(R^{d}\right)$. В соответствии со спектральным условием $H \geqslant 0$ и предположением инвариантности получаем, что носитель этой меры лежит в переднем конусе $p_{0}^{2}-p^{2} \geqslant 0, p_{0} \geqslant 0$. Воспользовавшись инвариантностью относительно действия группы Лоренца, получнм представление (6.2.7-8). В случае гауссовых мер функция $S_{2}$ и мера $d \varphi$ однозначно определяют одна другую, а в общем случае каждая из функций $S_{2}, W_{2}$ и $d \rho$ однозначно определяет остальные. Итак, всякой спектральной мере $d \rho$ соответствует по крайней мере одна гауссова мера.

Фиксируем теперь $d \rho$ и построим ссответствующую ему гауссову меру $d \varphi$. Сначала рассмотрим случай $d \rho\left(m^{2}\right)=\delta_{m^{2} \text {. }}$ Тогда $W_{2}=\Delta_{m}^{+}$. Интегрирование по мере $d \rho$ можно выполнить точно, после чего аналитическое продолжение $x_{0} \rightarrow i x_{0}$ приведет к формуле
\[
S_{2}(x)=\int e^{i p x}\left(p^{2}+m^{2}\right)^{-1} d \rho\left(m^{2}\right) .
\]

Возьмем теперь ковариацию
\[
C=\left(-\Delta+m^{2}\right)^{-1}
\]

и с помощью формулы (6.2.2) построим меру $d \mu$.
Для произвольной меры $d \rho$ умеренного роста, подчиняющейся условиям (6.2.8), определим
\[
C=\int\left(-\Delta+m^{2}\right)^{-1} d \rho\left(m^{2}\right)
\]

и опять построим меру $d \mu=d \varphi$ с по формуле (6.22). Сходимость интеграла (6.2.11) при малых (соответственно больших) значениях $\mathrm{m}^{2}$ следует из условий относительно $d \rho$ и известного асимптотического поведения ядра оператора $(-\Delta+1)^{-1}$ при больших (соответственно малых) значениях $x$.

Определение. Квантовые поля, построенные выше по гауссовым мерам $d \varphi$, называются обобщенными свободными полями. В частном случае $d \rho\left(\mathrm{m}^{2}\right)=\delta_{m^{2}}$ (см. $(6.2 .9-10)$ ) такое поле называется свободным полем с массой $m$ и нулевым спином. Оно удовлетворяет свободному волновому уравнению
\[
\left(\partial_{x_{\mu}} \cdot \partial_{x_{\mu}}-m^{2}\right) \varphi(x, t)=0 .
\]

Для такого свободного поля построение физического гильбертова пространства $\$ 6.1$ можно выполнить явно. Пространство $\mathscr{\mathscr { H }}$ — это пространство $L_{2}$ с гауссовой мерой $d \varphi_{0}$ на $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d-1}\right)$, определенной значениями поля в нулевой момент времени ${ }^{1}$ ). В случае размерностей $d=1,2$ мы будем считать, что $m^{2}>0$, в соответствии с соотношениями (6.2.8), хотя и в этих случаях легко построить свободное поле нулевой массы, если выбрать другое пространство основных функций.
Для функции $f \in \mathscr{\mathscr { S }}\left(R^{d-1}\right)$ положим
\[
f_{t}(x)=f(\mathrm{x}) \delta_{t}\left(x_{0}\right),
\]

и пусть $\mathscr{P}_{0}=\left\{f \in \mathscr{P}\left(R^{d-1}\right): \tilde{f}(0)=0\right\}$. (Последнее ограничение позволяет рассматривать нулевую массу и в случае размерностей $d=1,2$.)
Предложение 6.2.5. Пусть $C=\left(-\Delta+m^{2}\right)^{-1}$. Положим $\boldsymbol{\Delta}=\sum_{\alpha=1}^{d-1} \partial_{x_{\alpha}}^{2} u$
\[
\mu=\left(-\Delta+m^{2}\right)^{1 / 2} .
\]

Тогда для $s, t \geqslant 0$ и функций $f, g \in \mathscr{P}_{0}$ справедливо тождество
\[
\left\langle\theta g_{s}, C f_{t}\right\rangle=\frac{1}{2}\left\langle g, \mu^{-1} e^{-\mu(s+t)} f\right\rangle .
\]

Более того, оператор С обладает свойством положительности при отражениях.
Доказательство. Скалярное произведение в левой части соотношения (6.2.15) берется в пространстве $L_{2}\left(R^{d}\right)$, а в правой — в пространстве $L_{2}\left(R^{d-1}\right)$. Для доказательства тождества перепишем левую часть для преобразований Фурье, затем при помощи вычетов выполним интегрирование по $d p_{0}$ н сделаем обратное преобразование фурье по переменным $p=p_{1}, \ldots, p_{d-1}$. Для функций $f=g$ из пространства $\mathscr{P}\left(R^{d}\right)$, носители которых лежат в области будущего, скалярное произведение в (6.2.15) неотрицательно. Поэтому оператор $C$ положителен при отражениях. $=\left(-\Delta+m^{2}\right)^{-1}$. Тогда векторы е $^{i \Phi}\left(f_{0}\right), f \in \mathscr{P}_{0}$, принадлежат пространству $\mathscr{E}_{+}$из $\$ 6.1$. Более того, вложение переводит линейную оболочку этих векторов изометрично в пространство $\mathscr{G}$.
1) Значение $\varphi(h, 0)$ поля в нулевой момент времени — это ограничение поля $\varphi(\mathbf{x}, t)$ на гиперплоскость $t=0$. Тот факт, что $\varphi(h, 0)$ является случайной величиной из $L_{p}$, следует из свойств рассмотренной выше меры $d \varphi_{c}$. См. по этому поводу следствие 6.2 .8 и гл. 8.

Доказательство. Непосредственные вычисления из тождества (6.2.2) для вещественных функций $f$ и $g$ дают
\[
\int\left|e^{i \varphi(f)}-e^{i \varphi(g)}\right|^{2} d \varphi_{C}=2\left(1-e^{-\langle f-g, C(f-g)\rangle / 2}\right)
\]

Взяв последовательность $g^{(n)} \in \mathscr{D}\left(R_{+}^{d}\right), g^{(n)} \rightarrow f_{t}, n \rightarrow \infty$, при $t>0$ и $f \in \mathscr{P}_{0}$, получим, что $e^{i \varphi\left(f_{t}\right)} \in \mathscr{E}_{+}$и аналогнчно $e^{i \varphi\left(f_{0}\right)}=\lim _{t \rightarrow 0} e^{i \varphi\left(f_{t}\right)} \in \mathscr{E}_{+}$. Если $f_{j} \in \mathscr{P}_{0}$. то $\theta \varphi\left(f_{f, 0}\right)=\varphi\left(f_{f, 0}\right)$ и
\[
\left\|\left(\sum c_{j} e^{i \varphi\left(f_{j, 0}\right)}\right)^{\wedge}\right\|_{\mathscr{H}}^{2}=\left\langle\sum_{j}\left(c_{j} e^{i \varphi\left(f_{j}, 0\right)}\right), \sum_{j} c_{j} e^{i \varphi\left(f_{j}, 0\right)}\right\rangle_{\mathscr{G}} .
\]

Поэтому ${ }^{\wedge}$ — изометрия.
Пусть $\mathscr{E}_{t}$ — подпространство, натянутое на векторы $e^{i \varphi\left(f_{t}\right)}$, т. е. соответствуюисе моменту времени $t$ Для функции $f \in \mathscr{P}_{0}$ пусть $f^{t}=e^{-t \mu} f$. Тогда, в силу (6.2.2) и предложения 62.5 ,
\[
\left\langle\widehat{A},: \exp \left(i \varphi\left(f_{t}\right)\right):^{\wedge}\right\rangle_{\mathscr{H}}=\left\langle\widehat{A},: \exp \left(i \varphi\left(f_{0}^{t}\right)\right):^{\wedge}\right\rangle_{\mathscr{C}}
\]

Это соотношение можно доказать сначала для $A=e^{t \varphi\left(g_{s}\right)}$, а затем, рассмотрев линейные комбинации и перейдя к пределу, и для любого элемента $A$ из $\bigcup_{t>0} \mathscr{E}_{t}$. В формуле (6.2.16) : $\exp \varphi(f):=\exp \left[\varphi(f)-\frac{1}{2}\langle f, C f\rangle\right]$. Имеет место включение

Доказательство будет закончено, если мы покажем, что объединение $\bigcup_{t>0} \mathscr{E}_{t}$ порождает пространство $\mathscr{E}$ +. Поскольку характеристический функционал является целой функцией от $f \stackrel{\mathscr{F}}{\in}\left(R^{d}\right)$ и $f_{t}, f \in \mathscr{P}_{0}$, то существуют моменты всех порядков. Поэтому полиномы от поля $\left\{\varphi(f) \mid f \in \mathscr{S}\left(R^{d}\right)\right.$, supp $\left.f \subset R_{+}^{d}\right\}$ порождают все пространство $\mathscr{E}_{+}$. Из аппроксимации интеграла по $d x_{0}$ римановыми суммами вытекает, что то же самое верно и для полиномов от $\left\{\varphi\left(f_{4}\right) \mid f \in \mathscr{P}_{0}\right.$, $t>0\}$. Поэтому $\bigcup_{t>0} \mathscr{E}_{t}$ порождает пространство $\mathscr{E}_{+}$.
Следствие 6.2.7. Для функции $f \in \mathscr{P}_{0}$ справедливо соотношение $e^{-t H}: \exp \left(i \varphi\left(f_{0}\right)\right): \wedge=: \exp \left(i \varphi\left(f_{0}^{t}\right)\right): `$.
Доказательство. Утверждение получается комбинацией соотношения (6.2.16) с формулой $T(t) e^{i \varphi\left(f_{0}\right)}=e^{i \varphi\left(f_{t}\right)}$ и определением $e^{-t H}=T(t)^{\wedge}$ оператора $H$.
Следствие 6.2.8. После отождествления пространства $\mathscr{C}$ с $\mathscr{E}_{0}$ скалярное произведение в $\mathscr{H}$ задается с помощью гауссовой меры на пространстве $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d-1}\right)$, у которой характеристический функцинал имеет вид
\[
S\{f\}=e^{-\left\langle f,(2 \mu)^{-1} f\right\rangle / 2} .
\]

Этот результат можно выразить формулой
\[
\mathscr{H}=L_{2}\left(\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d-1}\right), d \varphi_{1 /(2 \mu)}\right) .
\]

В этом представлении для пространства $\mathscr{C}$ операторы поля в нулевой момент времени суть не что иное, как операторы умножения,
и, следовательно, диагонализуемы. Эги операторы являются линейными координатными функциями на пространстве $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d-1}\right)$, которое служит пространством конфигураций классического поля. Таким образом, представление (6.2.18) задает квантование свободного поля, являющееся непосредственным обобщением квантования систем с конечным числом степеней свободы, которое обсуждалось в гл. 1. См. также $\$ 6.4$.

Механика, определенная следствиями $6.2 .7-8$, — это механика системы невзаимодействующих осцилляторов. В самом деле, любую гауссову меру можно рассматривать как тензорное произведение одномерных гауссовых мер в том же смысле, в каком любой самосопряженный оператор является, в силу спектральной теоремы, прямой суммой или прямым интегралом одномерных операторов. В частности, в случае (6.2.18) оператор $\mu^{-1}$ диагонализуется при помощи преобразования Фурье в пространстве импульсных переменных $\mathrm{p} \in R^{d-1}$. Разложение по (нормальным) фурье-модам технически проще в случае дискретных прямых сумм или интегралов, поэтому мы и ограничимся этим случаем.

Пусть $\Delta_{D}$ — оператор Лапласа с нулевыми условнями Дирихле на границе и вне полосы
\[
-\infty \leqslant t \leqslant \infty, \quad 0 \leqslant x_{j} \leqslant L .
\]

Пусть, кроме того, $\Delta_{D}=\Delta_{D}-d^{2} / d t^{2}$ — соответствующий лапласиан по пространству, $\mu_{D}=\left(-\Delta_{D}+m^{2}\right)^{1 / 2}$. Функции
\[
e_{\mathrm{k}}(\mathbf{x})=(2 / L)^{(d-1) / 2} \prod_{a=1}^{d-1} \sin \left(k_{a} x_{\alpha}\right), \quad k_{\alpha} \in(\pi / L) Z_{+},
\]

являются собственными для оператора $-\Delta_{D}$ и образуют полное множество собственных функций операторов $\Delta_{D}$ и $\mu_{D}$, когда последние действуют в пространстве $L_{2}\left([0, L]^{d-1}\right)$. Собственное значение оператора $\Delta_{D}$, соответствующее $e_{\mathrm{k}}$, равно $\lambda_{\mathrm{k}}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{k}$.

Начав со свободного гауссова поля, определенного ковариационным оператором $-\Delta_{D}^{-1}$, мы построим евклидово и физическое пространства $\mathscr{E}_{D}$ и $\mathscr{H}_{D}$ и, как и выше, покажем, что
\[
\mathscr{H}_{D}=L_{2}\left(\mathscr{J}^{\prime}\left(R^{d-1}, d \varphi_{\left(2 \mu_{D}\right)^{-1}}\right)\right) .
\]

Диагонализуя, как и ранее, оператор $\mu_{D}$, можно написать
\[
\mathscr{H}_{D}=\underset{\mathbf{k} \in\left((\pi / L) Z_{+}\right) d-1}{\mathbf{X}} \mathscr{H}_{\mathbf{k}}, \quad \text { где } \quad \mathscr{H}_{\mathbf{k}}=L_{2}\left(R, d \varphi_{\left.2^{-1}\left(\mathrm{k}^{2}+m^{2}\right)^{-1 / 2}\right)}\right.
\]

Другими словами, $\mathscr{H}_{\mathbf{k}}$ является $L_{2}$-пространством с одномерным гауссовым весом с дисперсией $\frac{1}{2}\left(\mathbf{k}^{2}+m^{2}\right)^{-1 / 2}$. Разложим и пространство $\mathscr{E}_{D}$ в тензорное произведение
\[
\mathscr{E}_{D}=\underset{\mathrm{k} \in\left((\pi / L) Z_{+}\right)^{d-1}}{\mathbf{X}} \mathscr{E}_{\mathrm{k}} .
\]

Если повторить в обратном порядке рассуждения, приведшие нас от формулы (6.2.10) к (6.2.14), то получим, что
\[
\mathscr{E}_{\mathbf{k}}=L_{2}\left(\mathscr{J}^{\prime}\left(R^{d}\right), d \varphi_{C(\mathbf{k})}\right), \quad \text { где } \quad C(\mathbf{k})=\left(-\frac{d^{2}}{d t^{2}}+\mathbf{k}^{2}+m^{2}\right)^{-1} .
\]

Иначе можно сказать, что $\mathscr{E}_{\text {k }}$ и $\mathscr{H}_{\text {k }}$ являются соответственно евклидовым и физическим гильбертовыми пространствами для одного гармонического осциллятора.