Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Свободное поле описывает невзаимодействующие частицы. Однако, несмотря на свой тривиальный характер, свободные поля играют определенную роль и при описании взаимодействующих частиц. Всякая частица, изолированная от других частиц (а также внешних сил и полей), ведет себя как свободная. Более того, в асимптотическом пределе при $t \rightarrow \pm \infty$ происходит разделение частиц благодаря различиям в скоростях, а также из-за дисперсии, свойственной эволюции квантовомеханических систем. Поэтому в пределе при $t \rightarrow \pm \infty$ поведение частиц мало отличается от поведения свободных частиц, и они описываются свободными полями. Свободные поля служат также отправной точкой при анализе и построении взаимодействующих полей с помощью теории возмущений по константе связи $\lambda$. Важнейшее в этом отношении свойство свободных полей состоит в том, что они допускают явное решение. Другие разрешимые в явном виде поля, такие, как двумерная модель Тирринга, задаются в виде нелинейной и нелокальной функции некоторого свободного поля. Иной возможной отправной точкой при построении взаимодействующих полей служит модель Изинга или какая-либо другая модель статистической физики, рассматриваемая в своей критической точке. При подходе к квантовым полям как моделям статистической физики евклидово свободное поле известно как гауссова модель. Она описывает критическое поведение на больших расстояниях в случае канонической критической точки. Мы начнем анализ свободного поля с применения к гауссовой мере $d \mu$ на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ теоремы реконструкции. Пусть $C$ – непрерывная невырожденная билинейная форма на произведении пространств $\mathscr{P}\left(R^{d}\right) \times \mathscr{P}\left(R^{d}\right)$. Символически запишем ее в виде На пространстве $\mathscr{I}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ существует единственная гауссова мера $d \varphi_{c}$ с ковариацией (т. е. двухточечной функцией) $C$ и нулевым средним. Характеристический функционал меры $d \varphi$ с равен Пользуясь равенством (6.2.2), можно вычислить моменты меры $d \varphi_{c}$, а именно где $n ! !=n(n-2)(n-4) \ldots 1$. Заметим, что для любого конечного числа координат в $\mathscr{P}^{\prime}$, скажем $q_{j}=\varphi\left(\hat{f}_{j}\right)$, где $f_{j} \in \mathscr{P}, j=$ $=1,2, \ldots, n$, их значения распределены относительно $d \varphi$ с по формуле где $C$-матрица $C_{i j}=C\left(f_{i}, f_{j}\right)=\left\langle f_{i}, C f_{i}\right)$, а $C^{-1}$ обозначает обратную матрицу. Очевидно, что мера $d \varphi_{c}$ и функционал $S$ инвариантны относительно сдвигов по времени, отражений или других евклидовых движений в том и только в том случае, если всеми этими свойствами обладает ковариация $C$. Қак мы сейчас увидим, это же относится и к свойству положительности при отражениях. Определение 6.2.1. Билинейная форма $C$ на произведении пространств $\mathscr{P}\left(R^{d}\right) \times \mathscr{S}\left(R^{d}\right)$ обладает свойством положительности при отражениях, если для любой функции $f \in \mathscr{P}\left(R^{d}\right)$, носитель которой лежит в области будущего, верно неравенство $\langle\theta f, C \hat{f}\rangle \geqslant 0$. где $\operatorname{supp} f_{i} \subset\{x: t>0\}$. Тогда матрица $M_{i j}$ имеет положительные собственные значения (т. е. эта матрица положительна) в том и только в том случае, если $N_{i j}=\exp \left\langle\theta f_{i}, C f_{j}\right\rangle$ – положительная матрица. По предположению $R_{i j}=\left\langle\theta f_{i}, C f_{j}\right\rangle-$ положительная матрица, а отсюда следует и положительность $N_{i j}=e^{R_{i j}}$. В самом деле, если $A_{i j}, B_{i j}$ – две произвольные положительные матрицы, то матрица $D_{i j} \equiv A_{i j} B_{i j}$ тоже положительна, а это означает, что положительна $N_{i j}=$ $=\sum(1 / r 1)\left(R_{i j}\right)^{r}$. Для доказательства положительности матрицы $D$ рассмотрим тензорное произведение матриц $A \otimes B$ с элементами $A_{i j} B_{k l}$. Заметим, что оно положительно. Следовательно, оно останется положительным и при ограничении на подпространство векторов $\alpha$ с компонентами $\alpha_{j l}=0$ при всех $j, l$, кроме $j=l$. Но на этом подпространстве $A \otimes B=D$. Обратное утверждение верно также и для негауссовых мер, поэтому мы сформулируем его в виде отдельной теоремы. Приведенная ниже спектральная формула Лемана (6.2.7) дает представление для двухточечной функции в лоренц-инвариантной теории поля. Этот результат тоже верен и для негауссовых полей, но в гауссовом случае он дает полную классификацию мер $d \varphi$, которые соответствуют лоренц-инвариантным теориям. Положим где лоренцева метрика равна $p \cdot x=\sum_{i=1}^{d-1} p_{i} x_{i}-p_{0} x_{0}$. Теорема 6.2.4. Пусть мера $d \mu$ на пространстве $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ удовлетворяет аксиомам OS 0-3. Тогда для аналитического продолжения функции Вайтмана $W_{2}$ справедливо представление где $d \rho\left(m^{2}\right)$ – положительная мера не более чем степенного роста и такая, что Более того, каждая такая мера $d \rho$ соответствует одной и только одной гауссовой мере $d \mu$, обладающей свойствами инвариантности и положительности при отражениях. для $f$ из пространства комплексных основных функций $\mathscr{P}\left(R^{d}\right)$. В соответствии со спектральным условием $H \geqslant 0$ и предположением инвариантности получаем, что носитель этой меры лежит в переднем конусе $p_{0}^{2}-p^{2} \geqslant 0, p_{0} \geqslant 0$. Воспользовавшись инвариантностью относительно действия группы Лоренца, получнм представление (6.2.7-8). В случае гауссовых мер функция $S_{2}$ и мера $d \varphi$ однозначно определяют одна другую, а в общем случае каждая из функций $S_{2}, W_{2}$ и $d \rho$ однозначно определяет остальные. Итак, всякой спектральной мере $d \rho$ соответствует по крайней мере одна гауссова мера. Фиксируем теперь $d \rho$ и построим ссответствующую ему гауссову меру $d \varphi$. Сначала рассмотрим случай $d \rho\left(m^{2}\right)=\delta_{m^{2} \text {. }}$ Тогда $W_{2}=\Delta_{m}^{+}$. Интегрирование по мере $d \rho$ можно выполнить точно, после чего аналитическое продолжение $x_{0} \rightarrow i x_{0}$ приведет к формуле Возьмем теперь ковариацию и с помощью формулы (6.2.2) построим меру $d \mu$. и опять построим меру $d \mu=d \varphi$ с по формуле (6.22). Сходимость интеграла (6.2.11) при малых (соответственно больших) значениях $\mathrm{m}^{2}$ следует из условий относительно $d \rho$ и известного асимптотического поведения ядра оператора $(-\Delta+1)^{-1}$ при больших (соответственно малых) значениях $x$. Определение. Квантовые поля, построенные выше по гауссовым мерам $d \varphi$, называются обобщенными свободными полями. В частном случае $d \rho\left(\mathrm{m}^{2}\right)=\delta_{m^{2}}$ (см. $(6.2 .9-10)$ ) такое поле называется свободным полем с массой $m$ и нулевым спином. Оно удовлетворяет свободному волновому уравнению Для такого свободного поля построение физического гильбертова пространства $\$ 6.1$ можно выполнить явно. Пространство $\mathscr{\mathscr { H }}$ – это пространство $L_{2}$ с гауссовой мерой $d \varphi_{0}$ на $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d-1}\right)$, определенной значениями поля в нулевой момент времени ${ }^{1}$ ). В случае размерностей $d=1,2$ мы будем считать, что $m^{2}>0$, в соответствии с соотношениями (6.2.8), хотя и в этих случаях легко построить свободное поле нулевой массы, если выбрать другое пространство основных функций. и пусть $\mathscr{P}_{0}=\left\{f \in \mathscr{P}\left(R^{d-1}\right): \tilde{f}(0)=0\right\}$. (Последнее ограничение позволяет рассматривать нулевую массу и в случае размерностей $d=1,2$.) Тогда для $s, t \geqslant 0$ и функций $f, g \in \mathscr{P}_{0}$ справедливо тождество Более того, оператор С обладает свойством положительности при отражениях. Доказательство. Непосредственные вычисления из тождества (6.2.2) для вещественных функций $f$ и $g$ дают Взяв последовательность $g^{(n)} \in \mathscr{D}\left(R_{+}^{d}\right), g^{(n)} \rightarrow f_{t}, n \rightarrow \infty$, при $t>0$ и $f \in \mathscr{P}_{0}$, получим, что $e^{i \varphi\left(f_{t}\right)} \in \mathscr{E}_{+}$и аналогнчно $e^{i \varphi\left(f_{0}\right)}=\lim _{t \rightarrow 0} e^{i \varphi\left(f_{t}\right)} \in \mathscr{E}_{+}$. Если $f_{j} \in \mathscr{P}_{0}$. то $\theta \varphi\left(f_{f, 0}\right)=\varphi\left(f_{f, 0}\right)$ и Поэтому ${ }^{\wedge}$ – изометрия. Это соотношение можно доказать сначала для $A=e^{t \varphi\left(g_{s}\right)}$, а затем, рассмотрев линейные комбинации и перейдя к пределу, и для любого элемента $A$ из $\bigcup_{t>0} \mathscr{E}_{t}$. В формуле (6.2.16) : $\exp \varphi(f):=\exp \left[\varphi(f)-\frac{1}{2}\langle f, C f\rangle\right]$. Имеет место включение Доказательство будет закончено, если мы покажем, что объединение $\bigcup_{t>0} \mathscr{E}_{t}$ порождает пространство $\mathscr{E}$ +. Поскольку характеристический функционал является целой функцией от $f \stackrel{\mathscr{F}}{\in}\left(R^{d}\right)$ и $f_{t}, f \in \mathscr{P}_{0}$, то существуют моменты всех порядков. Поэтому полиномы от поля $\left\{\varphi(f) \mid f \in \mathscr{S}\left(R^{d}\right)\right.$, supp $\left.f \subset R_{+}^{d}\right\}$ порождают все пространство $\mathscr{E}_{+}$. Из аппроксимации интеграла по $d x_{0}$ римановыми суммами вытекает, что то же самое верно и для полиномов от $\left\{\varphi\left(f_{4}\right) \mid f \in \mathscr{P}_{0}\right.$, $t>0\}$. Поэтому $\bigcup_{t>0} \mathscr{E}_{t}$ порождает пространство $\mathscr{E}_{+}$. Этот результат можно выразить формулой В этом представлении для пространства $\mathscr{C}$ операторы поля в нулевой момент времени суть не что иное, как операторы умножения, Механика, определенная следствиями $6.2 .7-8$, – это механика системы невзаимодействующих осцилляторов. В самом деле, любую гауссову меру можно рассматривать как тензорное произведение одномерных гауссовых мер в том же смысле, в каком любой самосопряженный оператор является, в силу спектральной теоремы, прямой суммой или прямым интегралом одномерных операторов. В частности, в случае (6.2.18) оператор $\mu^{-1}$ диагонализуется при помощи преобразования Фурье в пространстве импульсных переменных $\mathrm{p} \in R^{d-1}$. Разложение по (нормальным) фурье-модам технически проще в случае дискретных прямых сумм или интегралов, поэтому мы и ограничимся этим случаем. Пусть $\Delta_{D}$ – оператор Лапласа с нулевыми условнями Дирихле на границе и вне полосы Пусть, кроме того, $\Delta_{D}=\Delta_{D}-d^{2} / d t^{2}$ – соответствующий лапласиан по пространству, $\mu_{D}=\left(-\Delta_{D}+m^{2}\right)^{1 / 2}$. Функции являются собственными для оператора $-\Delta_{D}$ и образуют полное множество собственных функций операторов $\Delta_{D}$ и $\mu_{D}$, когда последние действуют в пространстве $L_{2}\left([0, L]^{d-1}\right)$. Собственное значение оператора $\Delta_{D}$, соответствующее $e_{\mathrm{k}}$, равно $\lambda_{\mathrm{k}}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{k}$. Начав со свободного гауссова поля, определенного ковариационным оператором $-\Delta_{D}^{-1}$, мы построим евклидово и физическое пространства $\mathscr{E}_{D}$ и $\mathscr{H}_{D}$ и, как и выше, покажем, что Диагонализуя, как и ранее, оператор $\mu_{D}$, можно написать Другими словами, $\mathscr{H}_{\mathbf{k}}$ является $L_{2}$-пространством с одномерным гауссовым весом с дисперсией $\frac{1}{2}\left(\mathbf{k}^{2}+m^{2}\right)^{-1 / 2}$. Разложим и пространство $\mathscr{E}_{D}$ в тензорное произведение Если повторить в обратном порядке рассуждения, приведшие нас от формулы (6.2.10) к (6.2.14), то получим, что Иначе можно сказать, что $\mathscr{E}_{\text {k }}$ и $\mathscr{H}_{\text {k }}$ являются соответственно евклидовым и физическим гильбертовыми пространствами для одного гармонического осциллятора.
|
1 |
Оглавление
|