В гл. 8 оценки полиномов Вика : $\varphi^{j}:$ были выведены из слабо сходящихся при $x \rightarrow \infty$ оценок для обрезанных полей : $\varphi_{x}^{f}$ : (предложение 8.6.3). Для получения равномерных оценок функций : $\varphi_{x}^{j}$ : (при $x \rightarrow \infty$ ) мы введем дважды обрезанное по импульсам поле
\[
\varphi_{x, x^{\prime}}=\delta_{x} * \delta_{x^{\prime}} * \varphi
\]

и воспользуемся слабо сходящимися оценками, справедливыми для этого поля. Двойное импульсное обрезание (12.3.1) вводит соответствующее виково упорядочение вместе с его константами $c_{x, x^{\prime}}$, используемыми ниже. Как указывает название этого параграфа, поле $\varphi_{x}$ нелокальное.
По техническим причинам удобно предположить, что объединение носителей $\bigcup_{j=1}^{n-1} \operatorname{supp} g_{j}$ содержится во внутренности множества $\Lambda=\operatorname{supp} f_{n}$. Далее мы будем пользоваться обозначениями (8.6.4). Функции $g_{j}$ определяют возмущения полинома $P$. Они впервые появляются при рассмотрении двойного обрезания. Возмущение старшего члена функцией $g_{n}$ также допустимо в предположении, что норма $\left\|g_{n}\right\|_{L_{\infty}}$ достаточно мала. Положим
\[
: Q\left(\varphi_{x, x^{\prime}}, g\right):=\sum_{j=1}^{n-1} \int: \varphi_{x, x^{\prime}}(x)^{j}: g_{j}(x) d x .
\]

По аналогии с формулой (8.6.5) определим
\[
N^{\prime}(g)=\sum_{j=1}^{n-1}\left\|g_{j}\right\|_{L_{n /(n-j)}^{n /(n-j)}} .
\]

Предложение 12.3.1. Существует такая константа с, зависящая от m, $п$ и суммы норм $\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}+\left\|f_{n}^{-1}\right\|_{L_{\infty}(\Lambda)}$, что
\[
-c\left\|f_{n}\right\|_{L_{1}}(\ln x)^{(\operatorname{deg} P) / 2}+c\left(N(f)+N^{\prime}(g)\right) \leqslant: P\left(\varphi_{\varkappa}, f\right):+: Q\left(\varphi_{\varkappa, x^{\prime}}, g\right): .
\]

Доказательство. Поскольку $\varphi_{\chi, \chi^{\prime}}$ – нелокальная функция $\varphi_{\chi^{\prime}}$ требуется некоторая модификация доказательства предложения 8.6.3. По определению
\[
\begin{aligned}
\varphi_{\varkappa_{i} \varkappa^{\prime}}(x)^{j} & =\prod_{i=1}^{1} \int_{\varkappa} \varphi_{x}\left(y_{i}\right) \delta_{\varkappa^{\prime}}\left(y_{i}-x\right) d y_{i}= \\
& =\int\left(\prod_{i=1}^{j} \varphi_{\varkappa}\left(y_{i}\right)\right)\left(\prod_{l=1}^{1} \delta_{\varkappa^{\prime}}\left(y_{l}-x\right) d y_{l}\right) .
\end{aligned}
\]

Применение неравенства $\prod_{i=1}^{j} a_{i} \leqslant \sum_{i=1}^{j} a_{i}^{j}$, верного для любых $a_{i} \geqslant 0$, дает
\[
\left|\varphi_{x x^{\prime}}(x)^{j}\right| \leqslant \int \sum_{i=1}^{j}\left|\varphi_{x}\left(y_{i}\right)^{j}\right| \prod_{l=1}^{j} \delta_{\varkappa^{\prime}}\left(y_{l}-x\right) d y_{l} .
\]

Поскольку $\int \delta_{x}(y) d y=1$, получаем, что
\[
\left|\varphi_{x_{0} x^{\prime}}(x)^{j}\right| \leqslant \int \sum_{i=1}^{l}\left|\varphi_{x}\left(y_{i}\right)^{j}\right| \delta_{x^{\prime}}\left(y_{i}-x\right) d y_{i}
\]

и
\[
\left|\int \varphi_{x, x^{\prime}}(x)^{\prime} g_{j}(x) d x\right| \leqslant j \int\left|\varphi_{\varkappa}(x)^{j}\right|\left(\delta_{x^{*}} *\left|g_{j}\right|\right)(x) d x \text {. }
\]

Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
Как и в предложении 8.6.3, применяя неравенство Гёльдера, получаем, что
\[
\begin{aligned}
\left|\int c_{x, x^{\prime}}^{l} \varphi_{x, x^{\prime}}(x)^{f-2 l} g_{j}(x) d x\right| \leqslant & \int \varphi_{x}(x)^{n} f_{n}(x) d x+a(\varepsilon) c_{x, x^{\prime}}^{n / 2} \int f_{n}(x) d x+ \\
& +\int\left(\frac{\left(\delta_{\varkappa^{\prime} *}\left|g_{j}\right|\right)(x)}{f_{n}(x)}\right)^{n /(n-j)} f_{n}(x) d x .
\end{aligned}
\]

Так как $\left\|\delta_{\mathcal{x}^{\prime}} * g\right\|_{L_{p}} \leqslant\left\|\delta_{x^{\prime}}\right\|_{L_{1}}\|g\|_{L_{p}} \Rightarrow\|g\|_{L_{p}}$, а для $g=\left|g_{j}\right|$
\[
\begin{array}{l}
\int\left(\frac{\delta_{\mathcal{x}^{\prime}} \cdot g}{f_{n}}\right)^{n /(n-j)} f_{n} d x= \\
=\int\left(\delta_{x^{\prime}} * g\right)^{n /(n-j)} f_{n}^{-j /(n-j)} d x \leqslant \text { const } \int g^{n /(n-j)} d x=\text { const } N^{\prime}(g),
\end{array}
\]

то теперь утверждение следует из неравенства (12.3.4), как и в подобном месте доказательства предложения 8.6.3.

Далее, следуя доказательству теоремы 8.6.2, убеждаемся, что справедливо
Предложение 12.3.2. Пусть $x \leqslant x^{\prime} \leqslant \infty u\left\|f_{n}\right\|_{L_{\infty}}+\left\|f_{n}^{-1}\right\|_{L_{\infty}(\Lambda)}+m^{-1}+$ $+n+|\Lambda| \leqslant L$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\int \exp \left(: Q\left(\varphi_{x}, g\right):\right) d \mu_{\Lambda} & \leqslant \exp \left(\operatorname{const}\left(N(f)+N^{\prime}(g)+1\right)\right) \\
\int \exp \left(: Q\left(\varphi_{x}, g\right)-Q\left(\varphi_{x^{\prime}}, g\right):\right) d \mu_{\Lambda} & \leqslant \\
& \leqslant x^{-\varepsilon} M(g) \exp \left(\operatorname{const}\left(N(f)+N^{\prime}(g)+1\right)\right)
\end{aligned}
\]
В обоих случаях константы зависят только от $L$.