Мы обсудим основные понятия, рассматриваемые в этой главе, на примере квантового поля, определяемого мерой $d \mu$ в функциональном пространстве $\mathscr{P}^{\prime}$. В предположении, что для меры $d \mu$ выполнены аксиомы OS $0-3 \$ 6.1$, ее можно представить в виде выпуклой комбинации неразложимых мер, удовлетворяющих уже аксиомам OS $0-4$. Эти неразложимые компоненты называются чистыми фазами. Они характеризуются свойством единственности вакуума, которое выражается аксиомой OS 4 . При этом мера $d \mu$ является чистой фазой тогда и только тогда, когда ее вакуумное состояние единственно.

Пусть, как и в гл. 11, $d \mu$ определяется евклидовым лагранжианом $\mathscr{L}$, который в случае $P(\varphi)_{2}$-меры имеет вид
\[
\mathscr{L}(\varphi(x))=: \frac{1}{2}(
abla \varphi)^{2}(x)+\frac{1}{2} m^{2} \varphi^{2}(x)+\lambda P(\varphi(x)): .
\]

Лагранжиан нужен как исходная основа для конструкции меры $d \mu$, изложенной в гл. 11. С другой стороны, используя формулу интегрирования по частям (12.1.1), можно восстановить $\mathscr{L}$ по мере $d \mu$. Заметим, что это утверждение справедливо несмотря на перенормировки, в том смысле, что перенормированный ток $P^{\prime}$ является корректно определенной билинейной формой. Во всех известных суперперенормируемых моделях и (формально) в случае модели $\varphi_{4}^{4}$ ток $P^{\prime}$ явно определяется после снятия ультрафиолетового обрезания. Коэффициенты $P^{\prime}$, возможно расходящиеся, алгебраически определяют коэффициенты $P$, а следовательно, определяют лагранжиан $\mathscr{L}$.
Любую меру $d \mu$, удовлетворяющую уравнению (12.1.1), называют фазой, отвечающей лагранжиану $\lambda \dot{P}(\varphi)_{2}$.

При построении $d \mu$ мы использовали не только лагранжиан $\mathscr{L}$, но и явную форму граничных условий (в гл. 11 использовались граничные условия Дирихле; методы гл. 18 применимы к широкому классу граничных условий). Любая мера $d \tilde{\mu}$, построенная по тому же лагранжиану $\mathscr{L}$ с помощью другой предельной процедуры, определяет другую фазу или смесь разных чистых фаз. Говорят, что для лагранжиана $\mathscr{L}$ имеется фазовый переход первого рода, если $\mathscr{L}$ отвечают по крайней мере две различные фазы.

Фазовые переходы первого рода можно рассматривать и с иной точки зрения. Вместо того чтобы изменять граничные условия, рассмотрим вариацию самого лагранжиана
\[
\mathscr{L}=\mathscr{L}_{0}+\delta \mathscr{L} .
\]

Если мера $d \mu_{\mathscr{L}}=d \mu_{\mathscr{L}_{0}+\delta \mathscr{L}}$, как функция $\mathscr{L}$, разрывна при $\mathscr{L}=\mathscr{L}_{0}$, то различные фазы для лагранжиана $\mathscr{L}_{0}$
\[
d \mu_{\mathscr{L}_{0}}=\lim _{j \rightarrow \infty} d \mu_{\mathscr{L}_{0}+\delta \mathscr{L}_{j}}
\]

можно строить, выбирая различные последовательности $\delta \mathscr{L}_{j} \rightarrow 0$. Слово «переход» отражает тот факт, что непрерывное изменение параметров (т. е. $\mathscr{L}$ ) приводит к скачкообразному изменению модели. В большинстве случаев для доказательства существования фазовых переходов первого рода, т. е. существования нескольких фаз, используется один из двух описанных выше методов: изменение граничных условий на бесконечности или бесконечно малая вариация $\mathscr{L}$. В квантовой теории поля фазовые переходы проявляются в том, что свойства поля на больших расстояниях (т. е. состояния частиц и процессы рассеяния) качественно отличаются от тех свойств, которые можно было бы ожидать исходя из параметров $\mathscr{L}$. В качестве примеров можно указать так называемый механизм Хиггса и солитоны.

В этом параграфе установлен критерий единственности чистой фазы, т. е. единственности вакуума, основанный на исследовании двухточечной функции для квантового поля $P(\varphi)_{2}$. Более того, в случае единственности вакуума показано, что двухточечная функция позволяет найти физическую массу, которая определяется как минимальный показатель экспоненциального убывания корреляций. В заключение параграфа обсуждается связь между фазовыми переходами и особенностями термодинамических функций.

Теорема 16.1.1. Пусть мера $d \mu$ на $\mathscr{P}^{\prime}$ удовлетворяет аксиомам OS $0-3$ и неравенству ФКЖ ( $\$ 4.4,10.2)$. Тогда аксиома OS 4 (единственность вакуума) выполняется в том и только в том случае, когда усеченная двухточечная функция Швингера $S_{2}(x-y)$ стремится к нулю при $|x-y| \rightarrow \infty$. $B$ этом случае показатель экспоненциального убывания функции $S_{2}$ при $|x-y| \rightarrow \infty$ совпадает со щелью в спектре гамильтониана $H$ между уровнем энергии вакуума (нулем) и остальной частью спектра.
Доказательство. Неравенство ФКЖ применимо к монотонным функциям от поля. Пусть
\[
\sigma(x)=\left\{\begin{array}{ccl}
x & \text { при } & |x| \leqslant 1, \\
\operatorname{sgn} x & \text { при } & |x| \geqslant 1,
\end{array} \quad \rho(x)=(1+\sigma(x)) / 2 .\right.
\]

Для неотрицательной функции $f$ из $\mathscr{T}$ положим
Заметим, что
\[
\sigma(f)=\sigma(\varphi(f)), \quad \rho(f)=\rho(\varphi(f)) .
\]
\[
\langle\rho(f) \rho(g)\rangle-\langle\rho(f)\rangle\langle\rho(g)\rangle=\frac{1}{4}[\langle\sigma(f) \sigma(g)\rangle-\langle\sigma(f)\rangle\langle\sigma(g)\rangle] .
\]

Нз равенства $\varphi(f)=\lim _{\lambda \rightarrow \infty} \lambda \sigma\left(\lambda^{-1} f\right)$ следует, что произведения различных $\sigma$ или $\rho$ порождают $\mathscr{E}$. В случае, когда функции $f$ имеют носители в $R_{+}$, эти произведения порождают $\mathscr{E}_{+}$, а при отображении ‘ $: \mathscr{E}_{+} \rightarrow \mathscr{E}+/ \mathcal{P} \subset \mathscr{H}$ они порождают $\mathscr{H}$. Пусть $\psi \in \mathscr{H}$ есть образ некоторого произведения $\sigma$ и $\rho$ Мы утверждаем, что существует такая функция $f \in \mathscr{P}, \operatorname{supp} f \subset R_{+}$, для которой
\[
\left\langle\psi, e^{-t H} \psi\right\rangle-\langle\psi, \Omega\rangle^{2} \leqslant\left\langle\widehat{\varphi(f)} \Omega, e^{-t H} \widehat{\varphi(f)} \Omega\right\rangle-\langle\widehat{\varphi(f)} \Omega, \Omega\rangle^{2} .
\]

Пусть теперь $P_{i 2}$ есть ортогональная проекция на $\Omega \in \mathscr{H}$. Тогда (16.1.2) можно переписать в виде
\[
\left\langle\psi, e^{-t H}\left(1-P_{\Omega}\right) \psi\right\rangle \leqslant\left\langle\widehat{\varphi(f)} \Omega, e^{-t H}\left(1-P_{\Omega}\right) \widehat{\varphi(f)} \Omega\right\rangle .
\]

Если правая часть неравенства стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$, то $\left(1-P_{\Omega}\right) \mathscr{H}$ не может содержать собственные векторы $\mathscr{H}$ с нулевым собственным значением, или, другими словами, вакуум $\Omega$ единствен. В этом случае, в силу (16.1.3), нижней части спектра оператора $\left.H\right|_{\left(1-P_{\Omega}\right)}$ отвечают векторы, лежащие в пространстве, порожденном векторами $\left(1-P_{\Omega}\right) \widehat{\varphi(f)} \Omega$. Таким образом, достаточность условий теоремы вытекает из сделанного утверждения (16.1.2).

Докажем теперь это утверждение. Пусть $A=\left\{f_{1}, \ldots, f_{n}\right\}$, где $f_{i} \in \mathscr{P}$, $f_{i} \geqslant 0$. Положим
\[
\Pi_{A}=\prod_{f \in A} \rho(f), \quad \Sigma_{A}=\sum_{f \in A} \rho(f) .
\]

Заметим, что следующие функции являются монотонными функциями от $\varphi$ :
\[
\varphi\left(f_{i}\right), \sigma\left(f_{i}\right), \varphi\left(f_{i}\right)-\sigma\left(f_{i}\right), \Sigma_{A}, \Pi_{A}, \Sigma_{A}-\Pi_{A} .
\]

Для проверки монотонности последней функции по каждой переменной $\rho\left(f_{i}\right)$ используется тот факт, что $0 \leqslant \rho \leqslant 1$.
Применяя неравенство ФКЖ, получаем, что
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\sigma_{1}\left(\varphi_{2}-\sigma_{2}\right)\right\rangle-\left\langle\sigma_{1}\right\rangle\left\langle\varphi_{2}-\sigma_{2}\right\rangle \geqslant 0, \\
\left\langle\left(\varphi_{1}-\sigma_{1}\right) \varphi_{2}\right\rangle-\left\langle\varphi_{1}-\sigma_{1}\right\rangle\left\langle\varphi_{2}\right\rangle \geqslant 0 .
\end{array}
\]

Складывая эти неравенства, находим, что
\[
\left\langle\sigma_{1} \sigma_{2}\right\rangle-\left\langle\sigma_{1}\right\rangle\left\langle\sigma_{2}\right\rangle \leqslant\left\langle\varphi_{1} \varphi_{2}\right\rangle-\left\langle\varphi_{1}\right\rangle\left\langle\varphi_{2}\right\rangle .
\]

Те же соображения, примененные к монотонным функциям $\Pi, \Sigma, \Sigma-\Pi$, дают
\[
\left\langle\Pi_{A} \Pi_{B}\right\rangle-\left\langle\Pi_{A}\right\rangle\left\langle\Pi_{B}\right\rangle \leqslant\left\langle\Sigma_{A} \Sigma_{B}\right\rangle-\left\langle\Sigma_{A}\right\rangle\left\langle\Sigma_{B}\right\rangle .
\]
Левая часть неравенства (16.1.6) совпадает с левой частью (16.1.2), если рассмотреть $f_{i}$, сдвинутые вдоль оси времени на $t / 2$. Разложив правую часть (16.1.6) и оценив ее сверху с помоцью (16.1.5), получаем правую часть неравенства (16.1.2). Таким образом, сделанное утверждение доказано, а вместе с ним доказана достаточность условий теоремы. Их необходимость вытекает из следующих э.тементарных предложений.
Предложение 16.1.2. Пусть $H$-положительный самосопряженный оператор. Тогда s. $\lim _{t \rightarrow \infty} e^{-t н}$ есть проекция на собственное подпространство оператора $H$, отвечающее нулевому собственному значению.
Предложение 16.1.3. Пусть мера $d \mu$ на $\mathscr{P}^{\prime}$ удовлетворяет аксиомам OS 0 — 4. Тогда для любых векторов $\psi, \chi \in \mathscr{H}$
\[
0=\lim _{t \rightarrow \infty}\left\langle\psi, e^{-t H} \chi\right\rangle-\langle\psi, \Omega\rangle\langle\Omega, \chi\rangle .
\]

Доказате.иство. В силу предложения 16.1.2 и аксиомы OS 4,
\[
P_{\Omega}=|\Omega\rangle\langle\Omega|=\mathrm{s} . \lim _{t \rightarrow \infty} e^{-t H} .
\]

Продолжим обсуждение фазовых переходов на формальном уровне. Пусть имеется мера $d \mu_{\Delta}$ в конечном объеме $\Lambda$. Тогда свободная энергия на единицу объема определяется выражением
\[
a_{\Lambda}(h)=|\Lambda|^{-1} \ln \left(\int e^{h \int_{\Lambda} \Phi(x) d x} d \mu_{\Lambda}\right)
\]

и, в силу монотонной сходимости (в случае взаимодействий, рассматриваемых в гл. 11, т. е. взаимодействий вида: четный полином + линейный член, с граничными условиями Дирихле), $a_{\Lambda}(h) \rightarrow$ $\rightarrow a(h)$ при $\Lambda \uparrow R^{2}$. Вычислим теперь $d a / d h$. Меняя формально местами дифференцирование и два предельных перехода $\Lambda \uparrow R^{2}$ (один в экспоненте, а другой в $d \mu_{\Lambda}$ ), получаем, что
\[
d a / d h=\langle\varphi(x)\rangle_{h},
\]

где $\langle\cdot\rangle_{h}$ есть усреднение по мере, определяемой внешним полем $h$. Аналогично, $n$-я производная выражается через усеченную $n$-точечную функцию Швингера:
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} a}{d h^{2}} & =\int(\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle-\langle\varphi(x)\rangle\langle\varphi(y)\rangle) d y, \\
\frac{d^{n} a}{d h^{n}} & =\int\left\langle\varphi\left(x_{1}\right), \ldots, \varphi\left(x_{n}\right)\right\rangle^{T} d x_{2} \ldots d x_{n} .
\end{aligned}
\]

Заметим, что $d a / d h$ есть намагниченность, а $d^{2} a / d h^{2}$ — магнитная восприимчивость. На языке гл. 5 функция $a(h)$ определяет уравнение состояния, а производные $d^{n} a / d h^{n}$ являются термодинамическими функциями.

Из неравенства ФКЖ или неравенств Гриффитса следует, что $d^{2} a / d h^{2} \geqslant 0$. Поэтому $a$ является выпуклой функцией от $h$. Кроме того, намагниченность $d a / d h$ монотонно возрастает и, следовательно, непрерывна всюду, за исключением, быть может, счетного множества значений $h$. Точка $h_{0}$, в которой функция $d a / d h$ имеет разрыв, является точкой фазового перехода первого рода. В этой точке имеется по крайней мере две фазы (возникающие как односторонние пределы $d a / d h$ и $\langle\cdot\rangle_{h}$ ), а именно $\langle\cdot\rangle_{h \pm 0}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\langle\cdot\rangle_{h \pm \varepsilon}$.

Справедливо и обратное утверждение. Предположим, что функция $d a / d h$ непрерывно дифференцируема в точке $h=h_{0}$. Тогда, в силу (16.1.9), усеченная двухточечная функция интегрируема. Так как $0 \leqslant\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle^{T}=\left\langle\varphi(0) \Omega, e^{-|x-y| H}\left(I-P_{\Omega}\right) \varphi(0) \Omega\right\rangle$ монотонно убывает с ростом $|x-y|$, то $\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle^{T} \rightarrow 0$ при $\mid x-$ $-y \mid \rightarrow \infty$. Поэтому, в силу теоремы 16.1 .1 , в теории с $h=h_{0}$ любая мера является чистой фазой. Таким образом, при $h=h_{0}$ не происходит фазового перехода.

Термодинамические функции могут иметь не только скачки, но и другие особенности. В этом случае данному лагранжиану отвечает единственная фаза и фазовый переход называется переходом второго или более высокого рода. Обычно критические точки являются точками фазового перехода второго рода; по определению, критическими точками называются граничные точки (в пространстве лагранжианов $\mathscr{L}$ ) многообразия фазовых переходов первого рода.