Теперь мы вернемся ко второму обобщению формулы (3.2.5), а именно к «перенормированной» формуле Фейнмана – Каца. Для $H=H_{0}+V$,
\[
H_{0}=-\frac{1}{2} \Delta+\frac{1}{2} q^{2}-\frac{1}{2}
\]

и непрерывной функции $V$ определим «переномированный» гамильтониан, полагая
\[
\hat{H}=H-E_{0} .
\]

Предположим, что $H$ существенно-самосопряжен и его основным состоянием является $\Omega$; тогда константа $E_{0}$ выбирается так, чтобы $\hat{H} \Omega=0$. По теоремам 3.3 .2 и $3.3 .3 \Omega$ единствен и $\left\langle\Omega, \Omega_{0}\right\rangle
eq 0$. Используя спектральное представление для $H$
\[
e^{-t H}=\int e^{-t \lambda} d E(\lambda)
\]

получим, что
\[
\Omega\left\langle\Omega, \Omega_{0}\right\rangle=\lim _{t \rightarrow \infty} e^{-t \hat{H}} \Omega_{0}
\]

Посмотрим теперь, что означает равенство (3.4.2) в терминах функционального интегрирования. Для этого определим вероятностную меру
\[
d \mu_{t}=Z_{t}^{-1} \exp \left(-\int_{-t / 2}^{t / 2} V(q(s)) d s\right) d \varphi_{0}
\]

где мера $d \varphi_{0}$ определена в (3.2.9), а нормирующий множитель $Z_{t}$ дается формулой
\[
Z_{t}=\int \exp \left(-\int_{-t / 2}^{t / 2} V(q(s)) d s\right) d \varphi_{0} .
\]

Согласно формуле Фейнмана – Қаца, для любых моментов времени $-t / 2<t_{1} \leqslant t_{2} \leqslant \ldots \leqslant t_{n}<t / 2$ и любого набора ограниченных функций $A_{i}$ имеем
\[
\frac{\left\langle e^{-\left(t_{1}+t / 2\right) H_{0}} \Omega, A_{1} e^{-\left(t_{2}-t_{1}\right) H} A_{2} \ldots A_{n} e^{-\left(t / 2-t_{n}\right) H_{0}} \Omega_{0}\right\rangle}{\left\|e^{-t H / 2} \Omega_{0}\right\|^{2}}=\int \prod_{i=1}^{n} A_{i}\left(q\left(t_{i}\right)\right) d \mu_{t} .
\]

В силу (3.4.2) левая часть этого равенства сходится при $t \rightarrow \infty$, а возникающие в пределе множители $\left|\left\langle\Omega_{0}, \Omega\right\rangle\right|^{2}$ в числителе и знаменателе сокращаются. Таким образом, установлена
Теорема 3.4.1. Пусть Н удовлетворяет приведенным выше предположениям. Тогда
$\left\langle\Omega, A_{1} e^{-\left(t_{2}-t_{1}\right) \hat{H}} A_{2} e^{-\left(t_{3}-t_{2}\right) \widehat{H}} A_{3} \ldots A_{n} \Omega\right\rangle=$
\[
=\lim _{t \rightarrow \infty} \int \prod_{i=1}^{n} A_{i}\left(q\left(t_{i}\right)\right) d \mu_{t}(q(\cdot)) .
\]

Теперь мы можем переформулировать этот результат, вводя некоторую счетно-аддитивную меру $d \mu$ в пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{1}\right)$ вещественных обобщенных функций ${ }^{1}$ ) на прямой. Предел при $t \rightarrow \infty$, определяемый формулой (3.4.6), можно рассмотреть для всех моментов меры $d_{\mu}$, а также для ее преобразования Фурье. Определим (обратное) преобразование Фурье $S_{t}\{f\}$ меры $d \mu_{t}$ формулой
\[
S_{t}\{f\}=\int e^{i q(f)} d \mu_{t}, \quad f \in \mathscr{D}\left(R^{1}\right) .
\]

Функция $S_{t}\{f\}$ отображает $\mathscr{D}$ в поле скаляров $C$, т. е. является функционалом на пространстве $\mathscr{D}$. Иногда его называют порождающим или характеристическим функционалом меры $d \mu_{t}$. Легко убедиться в том, что $S_{t}\{f\}$ обладает следующими тремя свойствами:
(1) Непрерывность: $S_{t}\left\{f_{n}\right\} \rightarrow S_{t}\{f\}$ при $f_{n} \rightarrow f$ в $\mathscr{D}$ (т. е. $f_{n} \rightarrow f$ и $D^{i} f_{n} \rightarrow D^{i} f$ равномерно на компактных множествах).
(2) Положительная определенность: $\sum_{i, j=1}^{N} \bar{c}_{i} c_{j} S_{t}\left\{f_{i}-\ddot{f}_{j}\right\} \geqslant 0$ для любых последовательностей $f_{i} \in \mathscr{D}, c_{i} \stackrel{i, j=1}{\rightleftarrows}, i=1,2, \ldots, N$.
(3) Нормировка: $S_{t}\{0\}=1$.

Заметим, что если положить $A(q)=\sum_{j=1}^{N} c_{j} \exp \left[i q\left(f_{j}\right)\right]$, то свойство (2) эквивалентно неравенству $\int|A|^{2} d \mu_{t} \geqslant 0$, т. е. положительности меры $\mu_{t}$.

Обратно, любой функционал $S\{f\}$, удовлетворяющий условиям (1) – (3), всегда является преобразованием Фурье некоторой вероятностной меры на $\mathscr{D}^{\prime}$. Таким образом, свойства (1) – (3), которые наследуются и предельным функционалом $S\{f\}=\lim _{t \rightarrow \infty} S_{t}\{f\}$, позволяют убедиться в существовании меры, порождаемой функционалом $S\{f\}$. Мы сформулируем соответствующий результат для $R^{d}$.
1) Обобщенной функцией называется непрерывный линейный функционал на пространстве $\mathscr{D}$ функций класса $C^{\infty}$ с компактным носителем. Формально можно написать $q(f)=\int q(t) f(t) d t, q \in \mathscr{D}^{\prime}, f \in \mathscr{D}$. Сходимость в $\mathscr{D}$ определяется как равномерная сходимость всех производных $D^{n} f$ на компактных подмножествах $R$. Обобщенная функция $q \in \mathscr{D}^{\prime}$ определена двумя своими свойствами – линейностью и непрерывностью в нуле: $q\left(f_{n}\right) \rightarrow 0$ при $f_{n} \rightarrow 0$ в $\mathscr{D}$. Подробнее см. [Schwartz, 1950-1] или [Гельфанд, Шиловв, 1964-8, т. I].

Теорема 3.4.2 (Минлос). Пусть $S\{f\}$-функционал на $\mathscr{D}\left(R^{d}\right)$, удовлетворяющий условиям (1) – (3). Тогда существует единственная борелевская вероятностная мера $d \mu(q)$ на $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$, связанная с $S\{f\}$ при помощи преобразования Фурье:
\[
S\{f\}=\int e^{i q(f)} d \mu(q) .
\]

Замечание. Эта теорема обобщает известный результат – теорему Бохнера, в которой устанавливаются характеристические свойства преобразования Фурье борелевской вероятностной меры на $R^{N}: S(X), X \in R^{N}$, является непрерывной, положительно определенной и нормированной функцией на пространстве $R^{N}$ (рассматриваемом как сопряженное пространство к $R^{N}$ ). Доказательство теоремы Минлоса имеется в книге [Гельфанд, Виленкин, 1964]. Заметим, что если функционал $S\{f\}$ может быть непрерывно продолжен на пространство Шварца $\mathscr{P}\left(R^{d}\right)$ быстро убывающих функций:
\[
\mathscr{P}\left(R^{d}\right)=\left\{f: x^{r} D^{s} f \in L_{\infty} \text { для всех } r, s \geqslant 0\right\},
\]

то мера $d \mu$ сосредоточена на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ обобщенных функций умеренного роста.

Теперь мы покажем, как с помощью этой теоремы построить инвариантную относительно сдвигов по времени меру $d \mu(q(\cdot))$ на $\mathscr{D}^{\prime}(R)$. Интегрирование по этой мере дает перенормированную формулу Фейнмана – Каца: для $t_{1} \leqslant t_{2} \leqslant \ldots \leqslant t_{N}$
\[
\left\langle\Omega, A_{1} e^{-\left(t_{2}-t_{1}\right) \widehat{H}} A_{2} \ldots A_{N} \Omega\right\rangle=\int \prod_{i=1}^{N} A\left(q\left(t_{i}\right)\right) d \mu .
\]

Мы называем эту формулу перенормированной потому, что она выражает среднее по основному состоянию $\Omega$ гамильтониана $A$, a не по основному состоянию $\Omega_{0}$ гамильтониана $H_{0}$. Mера $d \mu$ строится как предел мер $d \mu_{t}$ при $t \rightarrow \infty$. Но при этом удобнее доказывать не слабую сходимость мер $d \mu_{t}$, а сходимость их преобразований Фурье $S_{t}\{f\}$ к пределу $\mathcal{S}\{f\}$, который и определяет меру $d \mu$.

Чтобы избежать технических сложностей и представить наши результаты как частный случай результатов части II, мы ограничимся функциями $V(q)$, которые имеют вид четного полинома с произвольной линейной добавкой. Следующее утверждение имеет место, однако, и для гораздо более широкого класса потенциалов $V(q)$.
Теорема 3.4.3. При указанных выше предположениях для любой функции $f \in \mathscr{D}(R)$ предел
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} S_{t}\{f\}=S\{f\}
\]

существует и удовлетворяет условиям (1)-(3). Следовательно, на $\mathscr{D}^{\prime}(R)$ определена мера $d \mu$, для которой справедливы формулы (3.4.8-9).

Замечание. Доказательство этой теоремы будет приведено в части II. Прямое доказательство можно было бы построить по следующей схеме. Для функции $f$, такой, что supp $f \subset[\tau, T]$, положим
\[
q\left(f_{N}\right)=N^{-1} \sum_{j=1}^{N} q\left(t_{j}\right) f\left(t_{j}\right), \quad t_{j}=\tau+(T-\tau) \frac{j}{n},
\]

где $f_{N}$ – ступенчатая функция, построенная на сегментах $\left[t_{j}, t_{j+1}\right]$ и такая, что $f_{N}\left(t_{j}\right)=f\left(t_{j}\right)$. Тогда по теореме 3.4.1 существует предел $S\left\{f_{N}\right\}=\lim _{t \rightarrow \infty} S_{t}\left\{f_{N}\right\}$. Предельный переход при $N \rightarrow \infty$ может быть обоснован с помощью обобщения теоремы 3.2.2.

Укажем два свойства функционала $S\{f\}$. Он инвариантен при сдвигах по времени и отражении во времени, т. е. при заменах $t \rightarrow t+a$ и $t \rightarrow-t$, а также обладает следующим свойством положительности. Пусть $f_{t}(s)=f(s-t)$ определяет временной сдвиг функции $f$, а $(\theta f)(s)=f(-s)$ – действие в $\mathscr{D}$ отражения во времени.
Следствие 3.4.4. Характеристический функционал $S\{f\}$, задаваемыи формулой (3.4.10), обладает следующими свойствами:
1) инвариантности: $S\{f\}=S\left\{f_{t}\right\}=S\{\theta f\}$;
2) положительности при отражениях: если $f_{i}(s)$-вещественные функции, равные нулю при $s<0, i=1,2, \ldots, N$, то матрица $M_{i j}=S\left\{\theta f_{i}-f_{j}\right\}$ имеет положительные собственные значения.
Доказательство. Свойство инвариантности очевидно; положительность следует и представления (3.4.9) для $\sum_{i, j} \bar{\xi}_{i} \xi_{j} M_{i j}$.