В этой главе используются две основные идеи. Первую из них выражает формула (18.2.15), дающая кластерное разложение функций Швингера. Вторая состоит в применении оценок, устанавливающих равномерную по $\Lambda \rightarrow \infty$ сходимость такого разложения. В настоящем параграфе мы сформулируем эти оценки в виде трех предложений и с их помощью докажем теорему 18.3.1. Затем мы докажем самые простые из этих оценок, а доказательство более сложных отложим до следующих параграфов. Самая трудная из оценок содержится в предложении 18.4.3. В известном смысле это центральное место всей главы, поэтому мы обсудим в конце параграфа идеи, которые привлекаются для его доказательства.

Сходимость разложения устанавливается при помощи оценок следующих типов:
(a) Комбинаторные оценки для подсчета числа слагаемых в разложении, в особенности для подсчета или оценки числа слагаемых некоторого специального вида.
(b) Одночастичные оценки ядер ковариационных операторов и их производных $\partial \Gamma C(s)$.
(c) Оценки функциональных интегралов. Обычно такие оценки включают в себя оценки первых двух типов.
Разложение (18.3.3) или (18.2.15) представляет собой сумму, каждый член которой есть произведение двух сомножителей — отношения статистических сумм и функционального интеграла. Первое предложение является чисто комбинаторным — типа (а) — и позволяет вычислить количество членов, отвечающих множествам $X$ фиксированной площади $|X|$. Во втором и третьем предложении оцениваются оба сомножителя, входящие в каждый член суммы (18.2.15). Эти предложения являются «гибридами», поскольку в них используются оценки всех трех типов.
Предложение 18.4.1. Существует такая константа $K_{\mathrm{I}}$, определяемая чисто геометрически, что число слагаемых в (18.2.15-16), отвечающих множествам $X$ фиксированной площади $|X|$, мажорируется величиной $e^{K_{1}|x|}$.
Предложение 18.4.2. Существувт такая константа $K_{2}$, не зависящая от $\lambda$ из замыкания множества (18.1.6), от $\Lambda$ и от $m_{0}$, что при малых в и больших $m_{0}$
\[
\left|Z_{\partial X}(\Lambda \backslash X) / Z(\Lambda)\right| \leqslant e^{K_{2}|X|} .
\]

Предложение 18.4.3. Существуют такая константа $K_{3}$ и такая норма $\mid$ | на пространстве основных функций, что для любых $K>0$, $\Lambda$ и из замыкания множества (18.1.6) при достаточно больщих $m_{0}$
\[
\left|\left\langle\int \partial^{\Gamma} \int \prod_{i=1}^{n} \varphi\left(x_{i}\right) e^{-\lambda V(\Lambda)} d \varphi_{C(s(\Gamma))} d s(\Gamma), w\right\rangle\right| \leqslant e^{-K|\Gamma|+K_{3}|\Lambda|}|w| .
\]
(Оценка то зависит от $K$, а $|w|$ не изменяется при сдвигах аргументов функции ш.)
Замечание. В приведенном выше выражении в качестве подынтегральной функции может выступать и виков полином, как в (18.1.8).

Доказательство теоремы 18.3.1. Заменим в предложении 18.4.3 $\Lambda$ на $\Lambda \cap X$. Для множества $X$ в (18.2.15) имеем $X=\bigcup_{i=1}^{r} \bar{X}_{i}$, где $r \leqslant n$, а $X_{i}$ связны. Более того, $\Gamma \subset \bigcup_{i=1}^{r} \operatorname{Int} \bar{X}_{i}$, и поэтому «многие» ребра в $\bar{X}_{i}$ принадлежат $\Gamma$. Действительно, поскольку $X_{l} \backslash \Gamma^{c}=X_{i}$ связно, то
\[
\left|X_{i}\right|-1 \leqslant 2\left|\Gamma \cap \operatorname{Int} \bar{X}_{i}\right| \quad \text { и } \quad|X|-n \leqslant 2|\Gamma| .
\]

Следовательно, можно заменить правую часть неравенства в предложении 18.4 .8 на $e^{-K^{\prime}(|x|-n)}|w|$ при некотором выборе $K$ и $|w|$. Теорема 18.3.1 непосредственно следует из этой оценки и предложений 18.4.1, 18.4.2.
Доказательство предложения 18.4.1. Рассмотрим разложение (18.2.15). Оценим сначала число способов выбора компоненты $X_{i}$, содержащей фиксированнубб

точку $x_{i}, 1 \leqslant j \leqslant n$. Отождествим каждый элементарный квадрат решетки с его центром, а каждое ребро $b$, лежащее на границе двух квадратов $\Delta, \Delta^{\prime}$, с отрезком, соединяющим центр $\Delta$ с центром $\Delta^{\prime}$. Итак, мы должны вычислить, сколькими способами можно нарисовать связный граф, ребра которого соединяют соседние узлы решетки. Покажем, что каждый такой граф можно построить, исходя из начальной точки $x_{i}$ и двигаясь вдоль некоторого ориентированного пути, образованного единичными отрезками, причем каждый отрезок проходится не более двух раз. В самом деле, если мы будем рассматривать узлы решетки как острова, а соединяющие их отрезки как мосты, то это утверждение довольно просто следует из решения знаменитой задачи о семи кенигсбергских мостах ${ }^{1}$ ). Число связных путей длины $l$, составленных из ребер решетки и пачинающихся в точке $x_{i}$, не превосходит $4^{l}$. Поскольку $l \leqslant 8\left|X_{i}\right|$, то $X_{i}$ может быть выбрано не более чем $O(1) 2^{16\left|X_{i}\right|}$ способами. Число способов выбора $\Gamma$ не превосходит $4^{\mid X_{1}}$, поэтому пара $X, \Gamma$ может быть выбрана не более чем
\[
O(1) 2^{|X|} 4^{|X|} \prod_{i} 2^{16\left|X_{i}\right|}=O \text { (1) } 2^{19|X|}
\]

способами, так как число способов выбрать величины $\left|X_{i}\right|$ при заданном $|X|$ не превосходит $2^{|X|}$. Эта оценка завершает доказательство. Случай (18.2.16) аналогичен рассмотренному.

Предложение 18.4 .2 будет доказано в $\$ 18.5$ с помощью уравнений типа Кирквуда — Зальцбурга. Заметим лишь, что при изменении статистической суммы изменяется и область взаимодействия, и ковариация $\left(\Lambda \backslash X \rightarrow \Lambda\right.$ и $\left.C_{\partial X} \rightarrow C\right)$.
Обсуждение предложения 18.4.3. Каждый дефференциальный оператор $d / d s_{b}$ в $\partial^{\prime}$ действует либо на меру, либо на подынтегральную функцию. Производные меры могут быть вычислены согласно (9.1.34), в результате чего в подынтегральной функции появляются зависящие от $s$ ядра $C^{\prime}(s)$. Многократное дифференцирование приводит к появлению новых слагаемых, отвечающих:
(a) многократному применению функциональных производных $\partial^{2} / \partial \varphi^{2}$ в $(9.1 .34)$
(b) многократному применению операторов $\partial^{\Gamma_{i}}$ к каждому из ядер $C^{\prime}(s)$ в $(9.1 .34)$.
Каждое дифференцирование $d / d s_{b}$ улучшает сходимость одним из двух способов. При дифференцировании меры возникает ядро $C^{\prime}$, причем
(c) $C^{\prime}$ и $C$ малы в том смысле, что
\[
\begin{array}{l}
\text { (c) }\left\|C^{\prime}(x, y)\right\|_{L_{p}} \leqslant O\left(m_{0}^{-\varepsilon}\right), \\
\text { (c } \left.\mathrm{c}_{2}\right) \leqslant \leqslant C^{\prime}(x, y)=\partial^{b} C(x, y) \leqslant e^{-m_{0}(\operatorname{dist}(x, b)+\operatorname{dist}(y, b))}, \\
\text { (c } \left.\mathrm{c}_{3}\right) 0 \leqslant C(x, y) \leqslant e^{-m_{0}|x-y|},|x-y| \geqslant 1 .
\end{array}
\]
$\left.{ }^{1}\right)$ См., например, Оре О. Графы и их применение. Пер. с англ. — М.: Мир, 1965. — Прим. ред.

—————————————————————-
0014ru_fiz_kvan_book28_no_photo_page-0357.jpg.txt

356
Гл. 18. Кластерные разложения
Повторное дифференцирование ядра $C(s)$ также улучшает сходимость, поскольку
(d) $\partial Г C$ мало в том смысле, что
\[
\begin{array}{l}
\left(\mathrm{d}_{1}\right)\left\|\partial^{\mathrm{T}} C(x, y)\right\|_{L_{p}} \leqslant O\left(m_{0}^{-\varepsilon \mid \Gamma^{l}}\right), \\
\left(\mathrm{d}_{2}\right) 0 \leqslant \partial^{\Gamma} C(x, y) \leqslant e^{-m_{0} d},
\end{array}
\]

где $d$-длина кратчайшего пути, соединяющего $x, y$ и проходящего через каждое ребро $b \in \Gamma$. Действительно, из представления ядра $\left(-\Delta+m_{0}^{2}\right)^{-1}$ в виде винерова интеграла вытекает, что $\partial^{\mathrm{r}} C(s)$ есть винеров интеграл по всем путям из $x$ в $y$, проходящим через каждое ребро $b \in \Gamma ;$ см. § 18.6 .

Неравенство ( $\mathrm{c}_{2}$ ) используется для оценок членов типа (а). В самом деле, оно показывает, что в лапласиан $C^{\prime}(s) \Delta_{\varphi}$ в (9.1.34) существенный вклад вносят лишь точки $x$ и $y$, близкие к $b$. Структура разложения такова, что каждому ребру $b \in \mathscr{B}$ соответствует не более одного лапласиана $\Delta_{\varphi}$, и, следовательно, ограниченному множег тву ребер отвечает конечное произведение операторов $\Delta_{\varphi}$. Вычисление $\Delta^{n}$ приводит к появлению $K(n)<\infty$ слагаемых, а повторение этой процедуры для непересекающихся малых областей, покрывающих в совокупности весь объем, приводит к появлению $e^{\text {o(vol) }}$ слагаемых. Для оценок суммы членов типа (b) применяется оценка $\left(\mathrm{d}_{2}\right)$. Из $\left(\mathrm{d}_{1}\right)$ вытекает основная оценка $m_{0}^{-\varepsilon \mid \Gamma !}$, с помощью которой устанавливается сходимость.

Когда эти этапы доказательства пройдены, остается получить оценку функционального интеграла вида $\int R e^{-\lambda v} d \varphi$. Именно,
\[
\left|\int R e^{-\lambda V(\Lambda)} d \varphi\right| \leqslant\left(\int R^{2} d \varphi\right)^{1 / 2}\left(\int e^{-2 \operatorname{Re} \lambda V(\Lambda)} d \varphi\right)^{1 / 2},
\]

и каждый сомножитель в правой части представляет собой величину порядка $e^{O(\text { vol) }}$. Теперь с помощью ( с $_{3}$ ) мы оцениваем убывание зависимости между далекими невзаимодействующими областями в $R^{2}$.