В этой главе используются две основные идеи. Первую из них выражает формула (18.2.15), дающая кластерное разложение функций Швингера. Вторая состоит в применении оценок, устанавливающих равномерную по $\mathrm{\Lambda }\to \mathrm{\infty }$ сходимость такого разложения. В настоящем параграфе мы сформулируем эти оценки в виде трех предложений и с их помощью докажем теорему 18.3.1. Затем мы докажем самые простые из этих оценок, а доказательство более сложных отложим до следующих параграфов. Самая трудная из оценок содержится в предложении 18.4.3. В известном смысле это центральное место всей главы, поэтому мы обсудим в конце параграфа идеи, которые привлекаются для его доказательства.

Сходимость разложения устанавливается при помощи оценок следующих типов:
(a) Комбинаторные оценки для подсчета числа слагаемых в разложении, в особенности для подсчета или оценки числа слагаемых некоторого специального вида.
(b) Одночастичные оценки ядер ковариационных операторов и их производных $\partial \mathrm{\Gamma }C(s)$.
(c) Оценки функциональных интегралов. Обычно такие оценки включают в себя оценки первых двух типов.
Разложение (18.3.3) или (18.2.15) представляет собой сумму, каждый член которой есть произведение двух сомножителей — отношения статистических сумм и функционального интеграла. Первое предложение является чисто комбинаторным — типа (а) — и позволяет вычислить количество членов, отвечающих множествам $X$ фиксированной площади $|X|$. Во втором и третьем предложении оцениваются оба сомножителя, входящие в каждый член суммы (18.2.15). Эти предложения являются «гибридами», поскольку в них используются оценки всех трех типов.
Предложение 18.4.1. Существует такая константа $K_{\mathrm{I}}$, определяемая чисто геометрически, что число слагаемых в (18.2.15-16), отвечающих множествам $X$ фиксированной площади $|X|$, мажорируется величиной $e^{K_1|x|}$.
Предложение 18.4.2. Существувт такая константа $K_2$, не зависящая от $\lambda$ из замыкания множества (18.1.6), от $\mathrm{\Lambda }$ и от $m_0$, что при малых в и больших $m_0$
$$|Z_{\partial X}(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }X)/Z(\mathrm{\Lambda })|⩽e^{K_2|X|}.$$

Предложение 18.4.3. Существуют такая константа $K_3$ и такая норма $\mid$ | на пространстве основных функций, что для любых $K>0$, $\mathrm{\Lambda }$ и из замыкания множества (18.1.6) при достаточно больщих $m_0$
$$\left|⟨\int {\partial }^{\mathrm{\Gamma }}\int \prod _{i=1}^n\phi \left(x_i\right)e^{-\lambda V(\mathrm{\Lambda })}d{\phi }_{C(s(\mathrm{\Gamma }))}ds(\mathrm{\Gamma }),w⟩\right|⩽e^{-K|\mathrm{\Gamma }|+K_3|\mathrm{\Lambda }|}|w|.$$
(Оценка то зависит от $K$, а $|w|$ не изменяется при сдвигах аргументов функции ш.)
Замечание. В приведенном выше выражении в качестве подынтегральной функции может выступать и виков полином, как в (18.1.8).

Доказательство теоремы 18.3.1. Заменим в предложении 18.4.3 $\mathrm{\Lambda }$ на $\mathrm{\Lambda }\cap X$. Для множества $X$ в (18.2.15) имеем $X=\bigcup _{i=1}^r{\overline{X}}_i$, где $r⩽n$, а $X_i$ связны. Более того, $\mathrm{\Gamma }\subset \bigcup _{i=1}^r\mathrm{Int}{\overline{X}}_i$, и поэтому «многие» ребра в ${\overline{X}}_i$ принадлежат $\mathrm{\Gamma }$. Действительно, поскольку $X_l\mathrm{\setminus }{\mathrm{\Gamma }}^c=X_i$ связно, то
$$\left|X_i\right|-1⩽2|\mathrm{\Gamma }\cap \mathrm{Int}{\overline{X}}_i|\text{ и }|X|-n⩽2|\mathrm{\Gamma }|.$$

Следовательно, можно заменить правую часть неравенства в предложении 18.4 .8 на $e^{-K^{\prime }(|x|-n)}|w|$ при некотором выборе $K$ и $|w|$. Теорема 18.3.1 непосредственно следует из этой оценки и предложений 18.4.1, 18.4.2.
Доказательство предложения 18.4.1. Рассмотрим разложение (18.2.15). Оценим сначала число способов выбора компоненты $X_i$, содержащей фиксированнубб

точку $x_i,1⩽j⩽n$. Отождествим каждый элементарный квадрат решетки с его центром, а каждое ребро $b$, лежащее на границе двух квадратов $\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$, с отрезком, соединяющим центр $\mathrm{\Delta }$ с центром ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$. Итак, мы должны вычислить, сколькими способами можно нарисовать связный граф, ребра которого соединяют соседние узлы решетки. Покажем, что каждый такой граф можно построить, исходя из начальной точки $x_i$ и двигаясь вдоль некоторого ориентированного пути, образованного единичными отрезками, причем каждый отрезок проходится не более двух раз. В самом деле, если мы будем рассматривать узлы решетки как острова, а соединяющие их отрезки как мосты, то это утверждение довольно просто следует из решения знаменитой задачи о семи кенигсбергских мостах ${}^1$ ). Число связных путей длины $l$, составленных из ребер решетки и пачинающихся в точке $x_i$, не превосходит $4^l$. Поскольку $l⩽8\left|X_i\right|$, то $X_i$ может быть выбрано не более чем $O(1)2^{16\left|X_i\right|}$ способами. Число способов выбора $\mathrm{\Gamma }$ не превосходит $4^{\mid X_1}$, поэтому пара $X,\mathrm{\Gamma }$ может быть выбрана не более чем
$$O(1)2^{|X|}{4}^{|X|}\prod _i{2}^{16\left|X_i\right|}=O\text{ (1) }{2}^{19|X|}$$

способами, так как число способов выбрать величины $\left|X_i\right|$ при заданном $|X|$ не превосходит $2^{|X|}$. Эта оценка завершает доказательство. Случай (18.2.16) аналогичен рассмотренному.

Предложение 18.4 .2 будет доказано в $\mathrm{\$}18.5$ с помощью уравнений типа Кирквуда — Зальцбурга. Заметим лишь, что при изменении статистической суммы изменяется и область взаимодействия, и ковариация $(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }X\to \mathrm{\Lambda }$ и $C_{\partial X}\to C)$.
Обсуждение предложения 18.4.3. Каждый дефференциальный оператор $d/d{s}_b$ в ${\partial }^{\prime }$ действует либо на меру, либо на подынтегральную функцию. Производные меры могут быть вычислены согласно (9.1.34), в результате чего в подынтегральной функции появляются зависящие от $s$ ядра $C^{\prime }(s)$. Многократное дифференцирование приводит к появлению новых слагаемых, отвечающих:
(a) многократному применению функциональных производных ${\partial }^2/\partial {\phi }^2$ в $(9.1.34)$
(b) многократному применению операторов ${\partial }^{{\mathrm{\Gamma }}_i}$ к каждому из ядер $C^{\prime }(s)$ в $(9.1.34)$.
Каждое дифференцирование $d/d{s}_b$ улучшает сходимость одним из двух способов. При дифференцировании меры возникает ядро $C^{\prime }$, причем
(c) $C^{\prime }$ и $C$ малы в том смысле, что
$$\begin{array}{l}\text{ (c) }{\Vert C^{\prime }(x,y)\Vert }_{L_p}⩽O\left(m_0^{-\epsilon }\right),\\ \text{ (c }{\mathrm{c}}_2)⩽⩽C^{\prime }(x,y)={\partial }^{b}C(x,y)⩽e^{-m_0(\mathrm{dist}(x,b)+\mathrm{dist}(y,b))},\\ \text{ (c }{\mathrm{c}}_3)0⩽C(x,y)⩽e^{-m_0|x-y|},|x-y|⩾1.\end{array}$$
${}^1)$ См., например, Оре О. Графы и их применение. Пер. с англ. — М.: Мир, 1965. — Прим. ред.

—————————————————————-
0014ru_fiz_kvan_book28_no_photo_page-0357.jpg.txt

356
Гл. 18. Кластерные разложения
Повторное дифференцирование ядра $C(s)$ также улучшает сходимость, поскольку
(d) $\partial ГC$ мало в том смысле, что
$$\begin{array}{l}\left({\mathrm{d}}_1\right){\Vert {\partial }^{\mathrm{T}}C(x,y)\Vert }_{L_p}⩽O\left(m_0^{-\epsilon \mid {\mathrm{\Gamma }}^l}\right),\\ \left({\mathrm{d}}_2\right)0⩽{\partial }^{\mathrm{\Gamma }}C(x,y)⩽e^{-m_{0}d},\end{array}$$

где $d$-длина кратчайшего пути, соединяющего $x,y$ и проходящего через каждое ребро $b\in \mathrm{\Gamma }$. Действительно, из представления ядра ${(-\mathrm{\Delta }+m_0^2)}^{-1}$ в виде винерова интеграла вытекает, что ${\partial }^{\mathrm{r}}C(s)$ есть винеров интеграл по всем путям из $x$ в $y$, проходящим через каждое ребро $b\in \mathrm{\Gamma };$ см. § 18.6 .

Неравенство ( ${\mathrm{c}}_2$ ) используется для оценок членов типа (а). В самом деле, оно показывает, что в лапласиан $C^{\prime }(s){\mathrm{\Delta }}_{\phi }$ в (9.1.34) существенный вклад вносят лишь точки $x$ и $y$, близкие к $b$. Структура разложения такова, что каждому ребру $b\in \mathcal{B}$ соответствует не более одного лапласиана ${\mathrm{\Delta }}_{\phi }$, и, следовательно, ограниченному множег тву ребер отвечает конечное произведение операторов ${\mathrm{\Delta }}_{\phi }$. Вычисление ${\mathrm{\Delta }}^n$ приводит к появлению $K(n)<\mathrm{\infty }$ слагаемых, а повторение этой процедуры для непересекающихся малых областей, покрывающих в совокупности весь объем, приводит к появлению $e^{\text{o(vol) }}$ слагаемых. Для оценок суммы членов типа (b) применяется оценка $\left({\mathrm{d}}_2\right)$. Из $\left({\mathrm{d}}_1\right)$ вытекает основная оценка $m_0^{-\epsilon \mid \mathrm{\Gamma }!}$, с помощью которой устанавливается сходимость.

Когда эти этапы доказательства пройдены, остается получить оценку функционального интеграла вида $\int R{e}^{-\lambda v}d\phi$. Именно,
$$|\int R{e}^{-\lambda V(\mathrm{\Lambda })}d\phi |⩽{(\int R^{2}d\phi )}^{1/2}{(\int e^{-2\mathrm{Re}\lambda V(\mathrm{\Lambda })}d\phi )}^{1/2},$$

и каждый сомножитель в правой части представляет собой величину порядка $e^{O(\text{ vol) }}$. Теперь с помощью ( с ${}_3$ ) мы оцениваем убывание зависимости между далекими невзаимодействующими областями в $R^2$.