(i) Евклидовы аксиомы
Мы определим квантовое поле при помощи его аналитического продолжения на мнимые значения времени. При таком продолжении метрика Минковского, определяющая волновой оператор
$$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}=-\frac{{\partial }^2}{\partial x_0^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+\dots +\frac{{\partial }^2}{\partial x_{d-1}^2},$$
1) В настоящее время имеется математически строгое доказательство существования фазового перехода в модели плоских ротаторов. См. [Fröhlich, Spencer, 1981b]. — Прим. ред.

заменяется евклидовой метрикой (причем уславливаются, что $x_d=i{x}_0$ ), определяющей оператор Лапласа
$$\mathrm{\Delta }=\sum _{i=1}^d\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}.$$

По этой причине поля, определенные для мнимых значений времени, называются евклидовыми. Евклидовы поля задаются вероятностной мерой $d\mu (\phi )=d\mu$ на пространстве обобщенных функций ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right)$, где $d$-размерность пространства-времени. Здесь мера $d\mu$ играет роль распределения Фейнмана — Қаца в квантовой механике (см. гл. 3). В дальнейшем поля мы будем обозначать буквой $\phi$. Обозначение $q$ из гл. 3 сохраним для систем с конечным числом степеней свободы. Введем еще одно соглашение: значение обобщенной функции $\phi \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right)$ на основной функции $f\in \mathcal{D}\left(R^d\right)=$ $=C_0^{\mathrm{\infty }}\left(R^d\right)$ обозначим
$$\phi (f)=⟨\phi ,f⟩={\int }_{R^d}\phi (x)f(x)dx.$$

Значению функции $\phi (x)$ в точке в последнем интеграле можно придать только формальный смысл. Определим характеристический функционал как обратное преобразование Фурье борелевской вероятностной меры $d\mu$ на пространстве ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right)$ (см. теорему 3.4.2):
$$S\{f\}=\int e^{i\phi (f)}d\mu .$$

Начнем с перечислення аксиом, которые характеризуют интересующую нас меру $d\mu$. Они чуть сильнее тех, которые изложены в работах [Osterwalder, Schrader, 1973b, 1975]. Это аксиомы аналитичности, регулярности, евклидовой инвариантности, OS-положительности при отражениях и эргодичности. Сформулируем их подробно.
OS 0 (Аналитичность). Функционал $S\{f\}$ является целой аналити. ческой функцией. Точнее, для любого конечного набора основных функций $f_j\in \mathcal{D}\left(R^d\right),j=1,2,\dots ,N$, и комплексных переменных $z=\{z_1,\dots ,z_N\}\in C^N$ функция $z\to S\left\{\sum _{i=1}^N{z}_f{f}_j\right\}$ на пространстве $C^N$ является целой. Другими словами, мера $d\mu$ убывает на бесконечности быстрее любой экспоненты.
OS 1 (Регулярность). Существуют такое $p,1⩽p⩽2$, и такая постоянная $c$, что для любой функции $f\in \mathcal{D}\left(R^d\right)$ справедлива оценка
$$|S\{f\}|⩽\exp c(\Vert f{\Vert }_{L_1}+\Vert f{\Vert }_{L_p}^p).$$

В случае $p=2$ дополнительно вводится еще одна аксиома регулярности: существует двухточечная корреляцнонная функция (т. е. второй момент меры $d\mu$ ). Как функция разности аргументов $x_1-x_2$, она принадлежит пространству локально интегрируемых функций $L_1^{\text{loc }}\left(R^d\right)$. В частности, в совпадающих точках $x_1=x_2$ она имеет только интегрируемые особенности ${}^1$ ).
OS 2 (Инвариантность). Функционал $S\{f\}$ инвариантен относительно евклидовых движеннй $E$ в пространстве $R^d$ (т. е. сдвигов, поворотов и отражений): $S\{f\}=S\{Ef\}$. Другими словами, мера $d\mu$ евклидово-инвариантна, так что $d\mu =Ed\mu$.

Заметим, что отображение $E:\mathcal{D}\to \mathcal{D}$ непрерывно, поэтому действие преобразования $E$ на пространстве ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right)$ можно определить по формуле $(E\phi )(f)=\phi (Ef)$. Нам понадобится следующий класс функционалов экспоненциального типа:
$$\mathcal{A}=\{A(\phi )=\sum _{j=1}^N{c}_j\exp \left(\phi \left(f_j\right)\right),c_j\in C,f_j\in \mathcal{D}\}.$$

Из определения (6.1.6) видно, что функционал $A\in \mathcal{A}$ принимает комплексные значения.

Согласно аксиоме OS 0 , все функционалы из множества $\mathcal{A}$ интегрируемы, а так как само $\mathcal{A}$ является алгеброй, то все они принадлежат пространству $L_p$ для любого $p<\mathrm{\infty }$. Поскольку мера $d\mu$ евклидово-инвариантна, евклидовы преобразования определяют непрерывную унитарную группу, действующую в пространстве $L_2(d\mu )$ (элементы которой также обозначаются $E$ ). При этом
$$(EA)(\phi )=A(E\phi ),A\in \mathcal{A}.$$

OS 3 (OS-положительность при отражениях). Пусть ${\mathcal{A}}_{+}\subset \mathcal{A}$ обозначает подмножество тех функционалов (6.1.6), у которых носители функций $f_i$ лежат в полупространстве $R_{+}^t=\{\mathbf{x},t:t>0\}$, т. е. ${\dot{f}}_j\in C_0\left(R_{+}^d\right)$. Предположим далее, что отражение относительно гиперплоскости пространственных переменных $\theta :\{\mathbf{x},t\}\to \{\mathbf{x},-t\}$ удовлетворяет неравенству
$$0⩽⟨\theta A,A{⟩}_{L_2}=\int \widetilde{\theta A}Ad\mu .$$
1) Иногда удобно формулировать аксномы в терминах самого поля $\phi \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right)$. Поступив таким образом, можно доказать сначала существование функционала $S\{f\}$ для любой функции $f(x)$ из основного пространства $C_0^{\mathrm{\infty }}$, а затем и оценку (6.1.5). Из этой оценки вытекает, что $S\{f\}$ продолжается до непрерывного функционала на пространстве Шварца $\mathcal{S}\left(R^d\right)$ быстро убывающих функций. Воспользовавшись затем стандартнымн рассуждениями теории функциональных интегралов, можно показать, что в таком случае мера $d\mu$ сосредоточена на пространстве ${\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^d\right)$ [Гельфанд, Виленкин, 1964]. В слүчае свободных полей (т. е. гауссовых мер) с ковариационными операторами $C:\mathcal{P}\to \mathcal{F}$ мы часто будем обходиться без пространства ${\mathcal{D}}^{\prime }$, определяя меру $d\mu$ непосредственно на

В терминах функционала $S\{f\}$ это требование эквивалентно следующему: для любой конечной последовательности функций $f_j\in {\mathcal{D}}_{\text{вещ }}\left(R^d\right)$ матрица
$$M_{ij}=S\{f_i-\theta f_j\}$$

положительна (т. е. все ее собственные значения неотрицательны).
OS 4 (Эргодичность). Подгруппа $T(t)$ временны́х сдвигов эргодически действует на пространстве с мерой $\{{\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right),d\mu )\}$. Это означает, что для всех функций $A(\phi )\in L_1$
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}{\int }_0^{t}T(s)A(\phi )T(s{)}^{-1}ds=\int A(\phi )d\mu (\phi ).$$

Заметим, что из соотношения (6.1.10) следует, что стоящее в левой части среднее по времени не зависит от $\phi$.

Эти аксиомы имеют определенный физический смысл; они описывают аналитическое продолжение квантовьх полей в пространство Минковского. Евклидова инвариантность (OS 2) при этом аналитическом продолжении, когда $t$ продолжается в физическую область, превращается в лоренц-инвариантность квантового поля в пространстве Минковского. Физической областью значений времени является чисто мнимая ось в принятых выше евклидовых обозначениях. Таким образом, для вещественного $t$ лоренц-инвариантность получается с помощью подстановки $\phi (t)\to \phi (-it)$.

Эргодичность эквивалентна единственности вакуума. Аксиома регулярности чуть сильнее, чем это на самом деле нужно, однако в случае скалярных бозонных полей позволяет охватить ряд интересных примеров. Аксиона регулярности вводит ограничения на локальные особенности корреляционных функций. Для случая полиномиального взаимодействия степени $n$ мы можем взять $p=n/(n-1)=n^{\prime }$.

Пусть $\mathcal{E}=L_2({\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right),d\mu )$. Пространство $\mathcal{E}$ есть замыкание множества векторов (6.1.6) по норме скалярного произведения в $L_2(d\mu {)}^1)$. Это еще не квантовомеханическое гильбертово пространство $\mathcal{H}$. Оно больше напоминает пространство квантовых траекторий. Из свойства положительности при отражениях вытекает положительность скалярного произведения в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, в котором действуют операторы квантового поля в пространстве Минковского. Определение скалярного произведения (6.18) в пространстве $\mathcal{H}$ с помощью обращения времени можно
1) Чтобы в этом убедиться, заметим, что цилиндрические функции из $L_2$ плотны в пространстве $L_2({\mathcal{D}}^{\prime },d\mu )$, поэтому можно ограничиться фиксированным конечномерным подпространством $\mathcal{D}$. Преобразование Фурье $(Fd\mu {)}^{\sim }$ функінонала $F(\phi )$, ортогонального всем функционалам вида (6.1.6), тождественно равно нулю. Поэтому $Fd\mu$ ортогонально всем непрерывным функциям с компактным носителем. Последние плотны в пространстве $L_2(dv)$ для любой меры Радона $dv$, следовательно, функционал $F$ как элемент $L_2$ равен 0 .

истолковать как аналитическое продолжение эрмитова сопряжения ${\left(e^{-itH}\right)}^{\ast }=b^{itH}$ в область вещественных значений времени $t$.

Формально можно так перевести введенные здесь понятия на язык, принятый в гл. 3:
${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right)=$ пространство траекторий,
$d\mu =$ мера Фейнмана — Каца на пространстве траекторий,
${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^{d-1}\right)=$ конфигурационное пространство,
$t\to \phi (\mathbf{x},\cdot )=$ траекторџя со значениями с ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^{d-1}\right)$,
$\mathcal{H}=L_2({\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^{d-1}\right),dv$ ) (шредингерово представление).

Здесь $dv$-мера, определенная основным состоянием гамильтониана $H$; она совпадает с ограничением меры $d\mu$ на подпространство обобщенных функций $\phi (x,0)\in {\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^{d-1}\right)(t=0)$. IIредингерово представление (при $d>1$ ) построено лишь в частных случаях.

Мы не будем буквально следовать этим формальным соотношениям, а определим пространство $\mathcal{H}$ непосредственно. Пусть ${\mathcal{E}}_{+}-$ линейная оболочка в пространстве $\mathcal{E}$ векторов $A$ из множества ${\mathcal{A}}_{+}$. Зададим на ${\mathcal{E}}_{+}\times {\mathcal{E}}_{+}$билинейную форму $b$ формулой
$$b(A,B)=⟨\theta A,B{⟩}_{L_2}=\int \overline{\theta A}Bd\mu =⟨\theta A,B{⟩}_{\mathcal{E}}.$$

В силу соотношения (6.1.8), форма $b$ положительна. Назовем подпространство $\mathcal{E}+\subset \mathcal{E}$ подпространством будущего. Пусть $\mathcal{P}-$ множество векторов из ${\mathcal{E}}_{+}$, для которых скалярңе произведение (6.1.11) обращается в нуль. Теперь можно определить $\mathcal{H}$ как пополнение множества классов эквивалентности ${\mathcal{E}}_t/{\mathcal{P}}^P$ в метрике, определенной формулой (6.1.11) ${}^1$ ).
Предложение 6.1.1. Пусть $d\mu$-вероятностная мера на пространстве ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right)$, для которой выполнена аксиома (OS 3 ). Тогда множество ${\mathcal{P}}^{\circ }$ является линейным пространством, а форма (6.1.11) задает на пространстве $\mathcal{E}+/\mathcal{P}$ скалярное произведение, которое мы обозначим $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\text{эв }}$.
Доказательство. Надо показать, что если $A,B\in {\mathcal{E}}_{+}$, а $n\in \mathcal{P}$, то $b(A+n,B)=$ $=b(A,B)$. Это следует из неравенства Шварца, которое справедливо для неотрицательной билинейной формы $b$ :
$$|b(A,B)|\boxminus |\int \overline{\theta A}Bd\mu |⩽b(A,A{)}^{1/2}b(B,B{)}^{1/2}.$$

Для того чтобы отличать векторы $A\in {\mathcal{E}}_{+}$от соответствующих классов эквивалентности $A+\mathcal{P}\in \mathcal{H}$, обозначим через ${}^{\wedge }:{\mathcal{E}}_{+}\to \mathcal{H}$ каноническое вложение $\hat{A}=A+\mathcal{P}$, где $A\in {\mathcal{E}}_{+}$. Используя вло-
1) Заметим, что это определение пространства $\mathcal{H}$ согласуется с теоретиковероятностным понятием условного среднего функции из $\mathcal{E}+$ относительно $\mathcal{E}-\boxminus {\mathcal{E}}_{+}$. (То есть $\sigma$-алгебры в ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right)$, порожденной подпространством ${\mathcal{E}}_{-}$.Ped.)

жение ^, мы можем по оператору $S$, действующему в пространстве ${\mathcal{E}}_{+}$, построить оператор $\hat{\mathcal{S}}$, который будет действовать уже в пространстве $\mathcal{H}$. Естественно определить оператор $\hat{S}$ формулой
$$\hat{S}\hat{A}=(SA{)}^{\hat{n}}.$$

Это определение можно пояснить диаграммой

Одновременно с произведением
$$⟨\hat{A},\hat{B}{⟩}_{\mathcal{H}}=⟨\theta A,B{⟩}_{\mathcal{E}}$$

определим билинейную форму
$$⟨\hat{A},\hat{S}\hat{B}{⟩}_{\mathcal{C}}=⟨\theta A,SB{⟩}_{\mathcal{C}}.$$

Определения (6.1.12) имеют смысл только в том случае, если оператор $\hat{S}$ задан на классах эквивалентности. Другими словами, требуется, чтобы
$$S:\mathcal{D}(S)\cap {\mathcal{E}}_{+}\to {\mathcal{E}}_{+}\text{ и }S:\mathcal{D}(S)\cap {\mathcal{N}}^{\prime }\to {\mathcal{N}}^{,}$$

где $\mathcal{D}(S)$ — область определения оператора $S$ (возможно, неограниченного).
Предложение 6.1.2. Пусть $d\mu$-вероятностная мера на пространстве ${\mathcal{D}}^{\prime }$, обладающая свойствами положительности и инвариантности при отражениях. Тогда отображение — является сжатием,

Доказательство. По определению для любых двух элемснтов $A,B\in \mathcal{E}+$
$${⟨(A+\mathcal{N}{)}^{\wedge },(B+\mathcal{N}{)}^{\wedge }⟩}_{\mathcal{B}}=⟨\theta A,B⟩,$$

а в силу неравенства Шварца в пространстве $\mathcal{E}$
$${\Vert (A+\mathcal{N}{)}^{\wedge }\Vert }_{\mathcal{G}}^2=⟨\theta A,A{⟩}_{\mathcal{G}}⩽\Vert A{\Vert }_{\mathcal{G}}\Vert \theta A{\Vert }_{\mathcal{G}}=\Vert A{\Vert }_{\mathcal{G}}^2.$$

Следующий результат позволяет определить гамильтониан, а тем самым аналитическое продолжение поля в пространство Минковского. Пусть $T(E)$ — унитарное представление евклидовой группы движений пространства $\mathcal{E}$, определенное в силу аксиомы инвариантности OS 2. Кроме того, пусть $T(t)$ — подгруппа временны́х сдвигов.
Теорема 6.1.3 (Реконструкция квантовой механики). Пусть вероят ностная мера du на пространстве ${\mathcal{D}}^{\prime }$ удовлетворяет свойствам положительности при отражения и инвариантости при отражениях и временнь́х сдвигах. Тогда при $t⩾0$ для полугруппь операторое $T(t)$ выполнены соотношения (6.1.13) и $T(t{)}^{\wedge }=e^{-tн}$. Здесь

$0⩽H=H^{\ast }$, а для вектора $\mathrm{\Omega }=\hat{ı}$ верно равенство $H\mathrm{\Omega }=0$. Другими словами, $Н$-положительный самосопряженный оператор, для которого вектор $\mathrm{\Omega }$ является основным состоянием.
Доказательство. Очевидно, что $T(t):{\mathcal{E}}_{+}\to {\mathcal{E}}_{+}$. Если $A\in \mathcal{P}$, то, пользуясь унитарностью операторов $T$, получим, что
$$\begin{array}{l}⟨\theta T(t)A,T(t)A{⟩}_{\mathcal{G}}=⟨T(-t)\theta A,T(t)A{⟩}_G=⟨\theta A,T(2t)A{⟩}_{\mathcal{G}}⩽\\ ⩽⟨\theta A,A{⟩}_{\varnothing }^{1/2}⟨\theta T(2t)A,\theta T(2t)A{⟩}_{\zeta }^{1/2}=0,\end{array}$$

где постеднее неравенство вытекает из неравенства Шварца для формы (6.1.11). Отсюда следует, что $\mathcal{T}(t):\mathcal{P}\to \mathcal{P}$ и, значит, оператор $T(t{)}^{-}$корректно определен. Для удобства обозначим $R(t)=T(t{)}^{-}$. Теперь приступим к проверке следующих четырех свойств семейства олераторов $R(t)$ :
(i) полугрупповое свойство: $R(t)R(s)=R(t+s),\mathrm{s},t⩾0$;
(ii) эрмитовость;
(iii) $R(t)$ — сжатие: $\Vert R(t){\Vert }_{\ast }⩽1$,
(iv) сильная непрерывность: $R(t)\to l$ при $t\to 0$.

Эти свойства означают, что $R(t)$ — сильно непрерывная полугруппа самосопряженных сжимающих операторов. Следовательно, существует положительный самосопряженный оператор $H$, такой, что $R(t)=e^{-tH}$. Кроме того, $T(t)1=1$. Поэтому для $\mathrm{\Omega }\equiv \hat{1}$ получим, что $e^{-tH}\mathrm{\Omega }=(T(t){)}^{-}=\mathrm{\Omega }$, или, что то же самое, $H\mathrm{\Omega }=0$.

Свойство (i) следует из полугруппового свойства для семейства $T(t)$; точнее, в силу соотношений (6.1.12), имеем
$$R(t)R(s)=(T(t)T(s){)}^{\prime }=T(t+s{)}^{\prime }=R(t+s).$$

Свойство (ii) доказывается следующей шепочкой равенств, верных для любого элемента $A\in {\mathcal{E}}_{+}$:
$$\begin{array}{l}⟨R(t)\hat{A},\hat{A}⟩={⟨(T(t)A{)}^{-},\hat{A}⟩}_{\text{并 }}=⟨\theta T(t)A,A{⟩}_{\dot{6}}=⟨T(-t)\theta A,A{⟩}_{\dot{6}}=\\ =⟨\theta A,T(t)A{⟩}_{\widehat{ϵ}}={⟨\hat{A},(T(t)A{)}^{\wedge }⟩}_{\text{苦 }}=⟨\hat{A},R(t)\hat{A}{⟩}_{\text{类 }}.\end{array}$$

Для доказательства свойства (iii) воспользуемся неравенством Швариа и доказанными утверждениями (i), (ii). Их применение к $A\in \mathcal{E}+$ дает
$$\Vert R(t)\hat{A}{\Vert }_{\mathcal{G}}=⟨R(t)\hat{A},R(t)\hat{A}{⟩}_{j_{\mathcal{C}}}^{1/2}=⟨\hat{A},R(2t)\hat{A}{⟩}_{{\mathcal{H}}_{\mathcal{G}}}^{1/2}⩽\Vert \hat{A}{\Vert }_{\mathcal{H}}^{1/2}\Vert R(2t)\hat{A}{\Vert }_{\mathcal{H}}^{1/2}.$$

Продолжая действовать таким же образом. после $n$-кратного применения неравенства Шварца получим, что
$$\begin{array}{rl}\Vert R(t)\hat{A}{\Vert }_{\mathcal{F}}& ⩽\Vert \hat{A}{\Vert }_{\mathcal{C}}^{1-2^{-n}}{\Vert R\left(2^{n}t\right)\hat{A}\Vert }_{\mathcal{H}}^{2^{-n}}=\\ & =\Vert \hat{A}{\Vert }_{\mathcal{G}}^{1-2^{-n}}{\Vert {\left(T\left(2^{n}t\right)A\right)}^{-}\Vert }_{\mathcal{C}}^{2^{-n}}⩽\Vert \hat{A}{\Vert }_{\mathcal{H}}^{1-2^{-n}}\Vert A{\Vert }_{\mathcal{C}}^{2^{-n}}.\end{array}$$

Здесь мы также воспользовались предложением 6.1 .2 и унитарностью семейства $T(t)$. Полагая $n\to \mathrm{\infty }$, получим, чг $\Vert R(t)\hat{A}{\Vert }_{\mathcal{H}}⩽\Vert \hat{A}{\Vert }_{\mathcal{F}}$ Гак как такие элементы $A$ плотны в пространстве $\mathcal{H}$, свойсгво (iii) доказано.

Для того чтобы доказать свойство (iv), заметим, что семейство $T(t)$ сильно непрерывно на подпространстве $\mathcal{E}+$, а отображение \» является сжатием из $\mathcal{E}$. в $\mathcal{H}$. Следовательно, семейство $R(t)$ сильно непрерьвно на плотном подмножестве в пространстве $\mathcal{H}$, составленном из векторов $A$, где $A\to \mathcal{E}+$. Поскольку $\Vert R(t)\Vert ⩽1$, отсюда следует, что семейство $R(t)$ сильно непрерывно и на всем гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$.

Замечание (Трансфер-матрица в статистической физике). В случае решеточных полей, изучаемых в статистической механике, поля ${\phi }_x$ или ${\xi }_x$ определены на некоторой решетке, например $x\in Z^d$. Поэтому аксиомы регулярности и инвариантности следует применять здесь в модифицированном виде. При этом положительность при отражениях используется для определения трансфер-матрицы $K$, которая играет роль оператора $e^{-H}$.

Мы требуем инвариантности меры $d\mu$ относительно группы $T(x)$ сдвигов и отражений решетки, в частности относительно отражения $\theta$ в гиперплоскости $\mathrm{\Pi }$, расположенной на равных расстояниях от двух соседних параллельных гипернлоскостей решетки и параллельной им. (В качестве П мы возьмем гиперплоскость $t=0$.) Тогда из приведенного выше доказательства следует, что существует гильбертово пространство состояний $\mathcal{H}$, являющееся пополнением факторпространства ${\mathcal{E}}_{+}/\mathcal{P}$ по норме, определенной скалярным произведением
$$⟨A,B{⟩}_{\mathcal{H}}=\int \overline{\theta A}Bd\mu .$$

Более того, на пространстве $\mathcal{H}$ существует самосопряженный оператор $K$, такой, что $K^t=T(t{)}^{\wedge },t\in Z,0⩽K⩽I$, а $\mathrm{\Omega }=\hat{1}$ является инвариантным вектором оператора $K:K\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }$.

Аналогично, пространственные сдвиги (в направлении $\mathbf{x}$, ортогональном оси $t$ ) порождают семейство унитарных операторов
$$U(\mathbf{x})=T(\mathbf{x}{)}^{-}=\prod _{i=1}^{d-1}{U}_i^{x_i},$$

для которых $\mathrm{\Omega }$ тоже является собственным вектором: $U(x)\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }$.
Единственность вакуумного вектора $\mathrm{\Omega }$ (однократность собственного значения 1 оператора $K$ ) и в этом случае эквивалентна эргодичности меры $d\mu$ под действием временныхх сдвигов. Для решеточной трансфер-матрицы остается открытым вопрос о том, когда существует $\ln K$, или, другими словами, когда нуль не является собственным значением оператора $K$.

Теперь мы снова обратимся к непрерывному случаю и продемонстрируем применение аксиомы регулярности OS 1 при построении евклидова поля $\phi (f)$.
Предложение 6.1.4. Пусть $d\mu$-вероятностная мера на пространстве ${\mathcal{D}}^{\prime }$, удовлетворяющая аксиоме OS 0 . Тогда у этой меры есть моменты любого порядка, причем $n$-й момент обладает ядром $S_n(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^{nd}\right)$, т. e.
$$\int \phi \left(f_1\right)\dots \phi \left(f_n\right)d\mu =\int S_n(x_1,\dots ,x_n)\prod _{i=1}^n{f}_i\left(x_i\right)dx.$$

Если к тому же имеет место аксиома OS 1, то $S_n\in L_1^{\text{loc }}\left(R^{\text{nd }}\right)$.

Замечание. Ядро $S_n$ называется функцией Швингера.
Доказательство. Операторы $U(t)=e^{it\phi (t)},f\in {\mathcal{P}}_{\text{вещ, образуют }}$ унитарную группу, действующую в пространстве $\mathcal{E}$. Ее инфинитезимальным генератором является оператор умножения $\phi (t)$. Утверждение о том, что функция 1 принадлежит области определения всех операторов $\phi (f{)}^n$, эквивалентно существованию у меры $d\mu$ моментов порядка $2n$. (Моменты нечетного порядка при помощи неравенства Шварца оцениваются четными моментами.) Для того чтобы показать, что 1 принадлежит области определенпя оператора $\phi (f{)}^n$, воспользуемся определением $n$-го разностного отношения $(\mathrm{\Delta }/\mathrm{\Delta }t{)}^{n}U(t)$ оператора $U(t)$. Имеем
$$\begin{array}{l}{\Vert [{\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Delta }{t}_1}\right)}^n-{\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Delta }{t}_2}\right)}^n]U(t)1\Vert }^2=\\ ={[{\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Delta }{t}_1}\right)}^n-{\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Delta }{t}_2}\right)}^n][{\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Delta }{s}_1}\right)}^n-{\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Delta }{s}_2}\right)}^n]S\{(s-t)f\}|}_{s=t}.\end{array}$$

Отсюда видно, что, в силу аналитичности (а значит, и дифференцируемости) функции $S,n$-е разоостное отношение имеет снльый предел. Пусть $f$ принадлежит ограниченному конечномерному подмножеству грространства $\mathcal{D}$. В силу непрерывности, модуль $|S\{f\}|$ ограничен на этом подмножестве. Следовательно, можно применить интегральную формулу Коши
$$S_n(f_1,\dots ,f_n)=\oint S\{g\}\prod _{j=1}^n(-d{\mathit{z}}_j/2\pi z_j^2),$$

где $g=\sum _{j=1}^n{z}_j{f}_j$, а интегрирование ведется по окружностям $\left|z_j\right|=1$. Это дает оценку функции $S_n$, необходимую для доказательства ее непрерывности па произведении $\mathcal{D}\times \dots \times \mathcal{D}$. Непрерывное продолжение $S_n$ на все пространство ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^{nd}\right)$ получается при помощи теоремы о ядре.

В случае когда справедлива аксиома OS1, функция $S_n$ продолжается по непрерывности до мультилинейного функционала на $(L_1\cap L_p)\times \dots \times (L_1\cap L_p)$. Это означает, в частности, что $S_n$ локально интегрируема как функция $nd$ переменных.
(ii) Аксиомы поля в пространстве Минковского
При аналитическом продолжении по переменной времени, $t\to -it$, операторы поля для вещественного времени и представление группы Лоренца могут быть определены в пространстве $\mathcal{H}$ так, чтобы выполнялись аксиомы Вайтмана и Хаага — Кастлера. Математическое доказательство этих утверждений слишком технично, поэтому мы отложим его до гл. 19, а здесь только сформулируем результаты.

Пусть $\phi ={\phi }_E(\mathbf{x},t)$ — евклидово поле, рассматриваемое, как и выше, в вещественной евклидовой точке $\mathbf{x},t$. Аксиомы Вайтмана и Хаага — Кастлера относятся к его аналитическому продолжению на вещественное пространство Минковского, т. е. на чисто мнимое евклидово время. Чтобы различать поля с разными значениями аргументов, будем писать
$${\phi }_E(\mathbf{x},t)={\phi }_M(it,\mathbf{x}).$$

Если же из контекста ясно, о каком поле идет речь, то $\phi$ может обозначать как ${\phi }_E$, так и ${\phi }_M$. Пусть $x=(t,\mathbf{x})$ — вектор пространства-времени Минковского; оператор поля ${\phi }_M$, отвечающий вещественному времени, формально запишем в виде
$$\int {\phi }_M(x)f(x)dx={\phi }_M(f).$$

Оказывается, что (в смысле операторнозначных обобщенных функций)
$${\phi }_M(\mathbf{x},t)=e^{itH}{\phi }_M(\mathbf{x},0)e^{-i{t}_H}.$$

Как следует из аксиом $\mathrm{OS}1-3$, оператор поля ${\phi }_M(f)$ самосопряжен при вещественных $f$. (Этого не требуется в аксиомах Вайтмана, но это свойство означает, что ${\phi }_M(t)$ есть наблюдаемая величина в смысле постулатов квантовой механики.) Эта величина измеряет напряженность поля ${\phi }_{м}$, усредненную с помощью основной функции $f$ по точкам пространства-времени.
Перейдем к формулировке аксиом.

W 1 (Ковариантность). В гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ состояний квантового поля существует непрерывное унитарное представление неоднородной группы Лоренца $g\to U(g)$. Спектр генераторов ( $H=P_0,\mathbf{P}$ ) подгруппы сдвигов лежит в переднем конусе $p_0^2-{\mathbf{p}}^2⩾0,p_0⩾0$. Существует вакуумный вектор $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{H}$, инвариантный относительно операторов $U(g)$.
W 2 (Наблюдаемые). Существует семейство операторов поля $\{{\phi }_M(f):f\in \mathcal{P}\left(R^d\right)\}$, определенных на всюду плотном множестве в пространстве $\mathcal{H}$. Вакуумный вектор $\mathrm{\Omega }$ принадлежит области определения любого многочлена от операторов поля ${\phi }_M(f)$, а линейная оболочка $\mathcal{D}$ векторов вида $\{{\phi }_M\left(f_1\right)\dots {\phi }_M\left(f_n\right)\mathrm{\Omega }:0⩽n$, $f_i\in \mathcal{P}\left(R^d\right)\}$ плотна в пространстве $\mathcal{H}$. Поле ${\phi }_M(f)$ ковариантно под действием группы Лоренца на $\mathcal{G}$ и линейно зависит от $f$. В частности, $U(g{)}^{\ast }{\phi }_M(f)U(g)={\phi }_M\left(f_g\right)$.
W 3 (Локальность). Если носители основных функций $f$ и $h$ пространственно-подобно отделены, то ${\phi }_M(f){\phi }_M(h)={\phi }_M(h){\phi }_M(f)$ на $\mathcal{D}$. (Вектор $(t,\mathbf{x})$ пространственно-подобен, если $|t|<|\mathbf{x}|$.)
W 4. Вакуумный вектор $\mathrm{\Omega }$ — единственный (с точностью до числового множителя) вектор в пространстве $\mathcal{H}$, инвариантный относительно группы сдвигов по времени.

Обращение к теореме Шварца о ядре показывает, что операторы поля однозначно определяют моменты ( $n$-точечные функции Вайтмана)
$$W_n=W(x_1,\dots ,x_n)=⟨\mathrm{\Omega },{\phi }_M\left(x_1\right)\dots {\phi }_M\left(x_n\right)\mathrm{\Omega }⟩\in {\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^{nd}\right).$$

Перечисленные аксиомы могут быть эквивалентным образом переформулированы как свойства функций Вайтмана. Переход от этих функций к операторам поля осуществляется при помощи теоремы

—————————————————————-
0014ru_fiz_kvan_book28_no_photo_page-0117.jpg.txt

116
Гл. 6. Теория поля
реконструкции [Streater, Wightman, 1964]. В силу трансляционной инвариантности, $W_n$ можно рассматривать как функции из пространства ${\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^{(n-1)d}\right)$ от $x_j-x_1$.
Теорема 6.1.5. Пусть для меры ди на пространстве ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right)$ выполнены аксиомы OS $0-3$. Тогда пале ${\phi }_{\text{м }}$, определенное для вещественного времени, удовлетворяет аксиомам W 1-3. Кроме того, аксиома OS 4 верна тогда и только тогда, когда справедлива акснома W 4.
Доказательство. См. гл. 19
Замечание. Функции Швингера и Вайтмана связаны посредством аналитического продолжения. Точным утверждением, которое доказывается в гл. 19, является следующая формула:
$$\begin{array}{l}\int {\phi }_E({\mathbf{x}}_1,t_1){\phi }_E({\mathbf{x}}_2,t_2)\dots {\phi }_E({\mathbf{x}}_n,t_n)d\mu =\\ =⟨\mathrm{\Omega },{\phi }_M(i{t}_1,{\mathbf{x}}_1){\phi }_M(i{t}_2,{\mathbf{x}}_2)\dots {\phi }_M(i{t}_n,{\mathbf{x}}_n)\mathrm{\Omega }⟩.\end{array}$$

Функции Вайтмана на вещественной оси времени являются граничными значениями аналитических функций, которые аналитически продолжаются в евклидову область (за вычетом диагоналей $x_i=x_j$ при каких-нибудь $ieqj$ ) так, что выполняется (6.1.17).

Существующие стандартные методы построения квантовых полей естественно приводят к мере $d\mu$, для которой верны аксиомы $\mathrm{OS}$, кроме, быть может, аксиомы OS 4 . Вопрос о том, обладает ли данная мера единственным вакуумным вектором, обычно труден. Он тесно связан с возможностью фазовых переходов и выбором граничных условий в определении меры. Существует общая теория, которая позволяет, оставляя в стороне эти довольно сложные вопросы, построить поле, удовлетворяющее полному набору аксиом OS $0-4$. Идея состоит в том, чтобы, получив какую-нибудь теорию, для которой справедливы аксиомы OS $0-3$, разложить ее на неприводимые компоненты, каждая из которых имеет единственный вакуум и удовлетворяет аксиомам OS $0-4$, а значит, и W 1-4. Пометим эти компоненты параметром $\zeta$. Они соответствуют чистым фазам, определенным каждая в своем гильбертовом пространстве ${\mathcal{H}}_{\zeta }$, так что $\mathcal{H}=\int {\mathcal{H}}_{\zeta }d\rho (\xi )$, где $d\rho -$ некоторая вероятностная мера. Кроме того,
$${⟨\mathrm{\Omega },{\phi }_M\left(f_1\right)\dots {\phi }_M\left(f_n\right)\mathrm{\Omega }⟩}_{\mathcal{H}}=\int {⟨{\mathrm{\Omega }}_{\zeta },{\phi }_{\zeta ,M}\left(f_1\right)\dots {\phi }_{\zeta ,M}\left(f_n\right){\mathrm{\Omega }}_{\zeta }⟩}_{\mathcal{H}}d\rho (\xi ),$$

и подобное разложение имеет место для меры $d\mu$. Подробнее это построение изложено в $\mathrm{\$}19.7$.

Аксиомы Хаага — Кастлера касаются скорее алгебрачческой структуры квантовых полей, не зависящей от их явной реализации в том или ином гильбертовом пространстве $\mathcal{C}$. Поэтому они удобны при обсуждении общих свойств полей, не связанных с их реализацией, таких, как построение секторов суперотбора заряда, построение зарядовых операторов и токов с помощью наблюдаемых поля и т. д. Приведем эти аксиомы.
НК 1. Қаждой ограниченной открытой области $B$ пространства-времени поставлена в соответствие $C^{\ast }$-алгебра $\mathfrak{A}(B)$ с единицей. Полная алгебра $\mathfrak{A}=\bigcup _B\mathfrak{A}(B)$ имеет точное неприводимое представление.
НК 2. Если $B_1\subset B_2$, то $\mathfrak{A}\left(B_1\right)\subset \mathfrak{A}\left(B_2\right)$.
НК 3 (Локальность). Если множества $B_1$ и $B_2$ пространственноподобно отделены, то алгебры $\mathfrak{A}\left(B_1\right)$ и $\mathfrak{A}\left(B_2\right)$ коммутируют.

НК 4 (Лоренц-ковариантность). Пусть $\{a,\mathrm{\Lambda }\}$ — элемент неоднородной группы Лоренца. Тогда существует $\mathrm{\%}$-автоморфизм ${\sigma }_{\{a,\mathrm{\Lambda }\}}$ алгебры $\mathfrak{A}$, такой, что для любого ограниченного множества $B$
$${\sigma }_{\{a,\mathrm{\Lambda }\}}(\mathfrak{A}(B))=\mathfrak{A}(\{a,\mathrm{\Lambda }\}B).$$

Отображение $\{a,\mathrm{\Lambda }\}\to {\sigma }_{\{a,\mathrm{\Lambda }\}}$ является представлением группы Лоренца.

Мы построим локальные алгебры $\mathfrak{I}(B)$, которые будут слабо замкнутыми (алгебры фон Неймана).
Теорема 6.1.6. Пусть $d\mu -$ мера на пространстве ${\mathcal{D}}^{\prime }$, удовлетворяющая аксиомам OS $0-3$. Тогда, если $\mathrm{f}$-вещественная функция, гебры фон Неймана $\mathfrak{A}(B)$, порожденные элементами $\exp (i{\phi }_M(f{)}^{-})$, где $f$-вещественная функция $c$ supp $f\in B$, удовлетворяют аксиомам $\mathrm{HK}1-4$.