(i) Евклидовы аксиомы
Мы определим квантовое поле при помощи его аналитического продолжения на мнимые значения времени. При таком продолжении метрика Минковского, определяющая волновой оператор
\[
\square=-\frac{\partial^{2}}{\partial x_{0}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{2}^{2}}+\ldots+\frac{\partial^{2}}{\partial x_{d-1}^{2}},
\]
1) В настоящее время имеется математически строгое доказательство существования фазового перехода в модели плоских ротаторов. См. [Fröhlich, Spencer, 1981b]. – Прим. ред.

заменяется евклидовой метрикой (причем уславливаются, что $x_{d}=i x_{0}$ ), определяющей оператор Лапласа
\[
\Delta=\sum_{i=1}^{d} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}} .
\]

По этой причине поля, определенные для мнимых значений времени, называются евклидовыми. Евклидовы поля задаются вероятностной мерой $d \mu(\varphi)=d \mu$ на пространстве обобщенных функций $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$, где $d$-размерность пространства-времени. Здесь мера $d \mu$ играет роль распределения Фейнмана – Қаца в квантовой механике (см. гл. 3). В дальнейшем поля мы будем обозначать буквой $\varphi$. Обозначение $q$ из гл. 3 сохраним для систем с конечным числом степеней свободы. Введем еще одно соглашение: значение обобщенной функции $\varphi \in \mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ на основной функции $f \in \mathscr{D}\left(R^{d}\right)=$ $=C_{0}^{\infty}\left(R^{d}\right)$ обозначим
\[
\varphi(f)=\langle\varphi, f\rangle=\int_{R^{d}} \varphi(x) f(x) d x .
\]

Значению функции $\varphi(x)$ в точке в последнем интеграле можно придать только формальный смысл. Определим характеристический функционал как обратное преобразование Фурье борелевской вероятностной меры $d \mu$ на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ (см. теорему 3.4.2):
\[
S\{f\}=\int e^{i \varphi(f)} d \mu .
\]

Начнем с перечислення аксиом, которые характеризуют интересующую нас меру $d \mu$. Они чуть сильнее тех, которые изложены в работах [Osterwalder, Schrader, 1973b, 1975]. Это аксиомы аналитичности, регулярности, евклидовой инвариантности, OS-положительности при отражениях и эргодичности. Сформулируем их подробно.
OS 0 (Аналитичность). Функционал $S\{f\}$ является целой аналити. ческой функцией. Точнее, для любого конечного набора основных функций $f_{j} \in \mathscr{D}\left(R^{d}\right), j=1,2, \ldots, N$, и комплексных переменных $z=\left\{z_{1}, \ldots, z_{N}\right\} \in C^{N}$ функция $\quad z \rightarrow S\left\{\sum_{i=1}^{N} z_{f} f_{j}\right\}$ на пространстве $C^{N}$ является целой. Другими словами, мера $d \mu$ убывает на бесконечности быстрее любой экспоненты.
OS 1 (Регулярность). Существуют такое $p, 1 \leqslant p \leqslant 2$, и такая постоянная $c$, что для любой функции $f \in \mathscr{D}\left(R^{d}\right)$ справедлива оценка
\[
|S\{f\}| \leqslant \exp c\left(\|f\|_{L_{1}}+\|f\|_{L_{p}}^{p}\right) .
\]

В случае $p=2$ дополнительно вводится еще одна аксиома регулярности: существует двухточечная корреляцнонная функция (т. е. второй момент меры $d \mu$ ). Как функция разности аргументов $x_{1}-x_{2}$, она принадлежит пространству локально интегрируемых функций $L_{1}^{\text {loc }}\left(R^{d}\right)$. В частности, в совпадающих точках $x_{1}=x_{2}$ она имеет только интегрируемые особенности ${ }^{1}$ ).
OS 2 (Инвариантность). Функционал $S\{f\}$ инвариантен относительно евклидовых движеннй $E$ в пространстве $R^{d}$ (т. е. сдвигов, поворотов и отражений): $S\{f\}=S\{E f\}$. Другими словами, мера $d \mu$ евклидово-инвариантна, так что $d \mu=E d \mu$.

Заметим, что отображение $E: \mathscr{D} \rightarrow \mathscr{D}$ непрерывно, поэтому действие преобразования $E$ на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ можно определить по формуле $(E \varphi)(f)=\varphi(E f)$. Нам понадобится следующий класс функционалов экспоненциального типа:
\[
\mathscr{A}=\left\{A(\varphi)=\sum_{j=1}^{N} c_{j} \exp \left(\varphi\left(f_{j}\right)\right), c_{j} \in C, f_{j} \in \mathscr{D}\right\} .
\]

Из определения (6.1.6) видно, что функционал $A \in \mathscr{A}$ принимает комплексные значения.

Согласно аксиоме OS 0 , все функционалы из множества $\mathscr{A}$ интегрируемы, а так как само $\mathscr{A}$ является алгеброй, то все они принадлежат пространству $L_{p}$ для любого $p<\infty$. Поскольку мера $d \mu$ евклидово-инвариантна, евклидовы преобразования определяют непрерывную унитарную группу, действующую в пространстве $L_{2}(d \mu)$ (элементы которой также обозначаются $E$ ). При этом
\[
(E A)(\varphi)=A(E \varphi), \quad A \in \mathscr{A} .
\]

OS 3 (OS-положительность при отражениях). Пусть $\mathscr{A}_{+} \subset \mathscr{A}$ обозначает подмножество тех функционалов (6.1.6), у которых носители функций $f_{i}$ лежат в полупространстве $R_{+}^{t}=\{\mathbf{x}, t: t>0\}$, т. е. $\dot{f}_{j} \in C_{0}\left(R_{+}^{d}\right)$. Предположим далее, что отражение относительно гиперплоскости пространственных переменных $\theta:\{\mathbf{x}, t\} \rightarrow\{\mathbf{x},-t\}$ удовлетворяет неравенству
\[
0 \leqslant\langle\theta A, A\rangle_{L_{2}}=\int \tilde{\theta A} A d \mu .
\]
1) Иногда удобно формулировать аксномы в терминах самого поля $\varphi \in \mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$. Поступив таким образом, можно доказать сначала существование функционала $S\{f\}$ для любой функции $f(x)$ из основного пространства $C_{0}^{\infty}$, а затем и оценку (6.1.5). Из этой оценки вытекает, что $S\{f\}$ продолжается до непрерывного функционала на пространстве Шварца $\mathscr{S}\left(R^{d}\right)$ быстро убывающих функций. Воспользовавшись затем стандартнымн рассуждениями теории функциональных интегралов, можно показать, что в таком случае мера $d \mu$ сосредоточена на пространстве $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ [Гельфанд, Виленкин, 1964]. В слүчае свободных полей (т. е. гауссовых мер) с ковариационными операторами $C: \mathscr{P} \rightarrow \mathscr{F}$ мы часто будем обходиться без пространства $\mathscr{D}^{\prime}$, определяя меру $d \mu$ непосредственно на

В терминах функционала $S\{f\}$ это требование эквивалентно следующему: для любой конечной последовательности функций $f_{j} \in \mathscr{D}_{\text {вещ }}\left(R^{d}\right)$ матрица
\[
M_{i j}=S\left\{f_{i}-\theta f_{j}\right\}
\]

положительна (т. е. все ее собственные значения неотрицательны).
OS 4 (Эргодичность). Подгруппа $T(t)$ временны́х сдвигов эргодически действует на пространстве с мерой $\left.\left\{\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right), d \mu\right)\right\}$. Это означает, что для всех функций $A(\varphi) \in L_{1}$
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t} T(s) A(\varphi) T(s)^{-1} d s=\int A(\varphi) d \mu(\varphi) .
\]

Заметим, что из соотношения (6.1.10) следует, что стоящее в левой части среднее по времени не зависит от $\varphi$.

Эти аксиомы имеют определенный физический смысл; они описывают аналитическое продолжение квантовьх полей в пространство Минковского. Евклидова инвариантность (OS 2) при этом аналитическом продолжении, когда $t$ продолжается в физическую область, превращается в лоренц-инвариантность квантового поля в пространстве Минковского. Физической областью значений времени является чисто мнимая ось в принятых выше евклидовых обозначениях. Таким образом, для вещественного $t$ лоренц-инвариантность получается с помощью подстановки $\varphi(t) \rightarrow \varphi(-i t)$.

Эргодичность эквивалентна единственности вакуума. Аксиома регулярности чуть сильнее, чем это на самом деле нужно, однако в случае скалярных бозонных полей позволяет охватить ряд интересных примеров. Аксиона регулярности вводит ограничения на локальные особенности корреляционных функций. Для случая полиномиального взаимодействия степени $n$ мы можем взять $p=n /(n-1)=n^{\prime}$.

Пусть $\mathscr{E}=L_{2}\left(\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right), d \mu\right)$. Пространство $\mathscr{E}$ есть замыкание множества векторов (6.1.6) по норме скалярного произведения в $\left.L_{2}(d \mu)^{1}\right)$. Это еще не квантовомеханическое гильбертово пространство $\mathscr{H}$. Оно больше напоминает пространство квантовых траекторий. Из свойства положительности при отражениях вытекает положительность скалярного произведения в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$, в котором действуют операторы квантового поля в пространстве Минковского. Определение скалярного произведения (6.18) в пространстве $\mathscr{H}$ с помощью обращения времени можно
1) Чтобы в этом убедиться, заметим, что цилиндрические функции из $L_{2}$ плотны в пространстве $L_{2}\left(\mathscr{D}^{\prime}, d \mu\right)$, поэтому можно ограничиться фиксированным конечномерным подпространством $\mathscr{D}$. Преобразование Фурье $(F d \mu)^{\sim}$ функінонала $F(\varphi)$, ортогонального всем функционалам вида (6.1.6), тождественно равно нулю. Поэтому $F d \mu$ ортогонально всем непрерывным функциям с компактным носителем. Последние плотны в пространстве $L_{2}(d v)$ для любой меры Радона $d v$, следовательно, функционал $F$ как элемент $L_{2}$ равен 0 .

истолковать как аналитическое продолжение эрмитова сопряжения $\left(e^{-i t H}\right)^{*}=b^{i t H}$ в область вещественных значений времени $t$.

Формально можно так перевести введенные здесь понятия на язык, принятый в гл. 3:
$\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)=$ пространство траекторий,
$d \mu=$ мера Фейнмана – Каца на пространстве траекторий,
$\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d-1}\right)=$ конфигурационное пространство,
$t \rightarrow \varphi(\mathbf{x}, \cdot)=$ траекторџя со значениями с $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d-1}\right)$,
$\mathscr{H}=L_{2}\left(\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d-1}\right), d v\right.$ ) (шредингерово представление).

Здесь $d v$-мера, определенная основным состоянием гамильтониана $H$; она совпадает с ограничением меры $d \mu$ на подпространство обобщенных функций $\varphi(x, 0) \in \mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d-1}\right)(t=0)$. IIредингерово представление (при $d>1$ ) построено лишь в частных случаях.

Мы не будем буквально следовать этим формальным соотношениям, а определим пространство $\mathscr{H}$ непосредственно. Пусть $\mathscr{E}_{+}-$ линейная оболочка в пространстве $\mathscr{E}$ векторов $A$ из множества $\mathscr{A}_{+}$. Зададим на $\mathscr{E}_{+} \times \mathscr{E}_{+}$билинейную форму $b$ формулой
\[
b(A, B)=\langle\theta A, B\rangle_{L_{2}}=\int \overline{\theta A} B d \mu=\langle\theta A, B\rangle_{\mathscr{E}} .
\]

В силу соотношения (6.1.8), форма $b$ положительна. Назовем подпространство $\mathscr{E}+\subset \mathscr{E}$ подпространством будущего. Пусть $\mathscr{P}-$ множество векторов из $\mathscr{E}_{+}$, для которых скалярңе произведение (6.1.11) обращается в нуль. Теперь можно определить $\mathscr{H}$ как пополнение множества классов эквивалентности $\mathscr{E}_{t} / \mathscr{P}^{P}$ в метрике, определенной формулой (6.1.11) ${ }^{1}$ ).
Предложение 6.1.1. Пусть $d \mu$-вероятностная мера на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$, для которой выполнена аксиома (OS 3 ). Тогда множество $\mathscr{P}^{\circ}$ является линейным пространством, а форма (6.1.11) задает на пространстве $\mathscr{E}+/ \mathscr{P}$ скалярное произведение, которое мы обозначим $\langle\cdot, \cdot\rangle_{\text {эв }}$.
Доказательство. Надо показать, что если $A, B \in \mathscr{E}_{+}$, а $n \in \mathscr{P}$, то $b(A+n, B)=$ $=b(A, B)$. Это следует из неравенства Шварца, которое справедливо для неотрицательной билинейной формы $b$ :
\[
|b(A, B)| \boxminus\left|\int \overline{\theta A} B d \mu\right| \leqslant b(A, A)^{1 / 2} b(B, B)^{1 / 2} .
\]

Для того чтобы отличать векторы $A \in \mathscr{E}_{+}$от соответствующих классов эквивалентности $A+\mathscr{P} \in \mathscr{H}$, обозначим через ${ }^{\wedge}: \mathscr{E}_{+} \rightarrow \mathscr{H}$ каноническое вложение $\hat{A}=A+\mathscr{P}$, где $A \in \mathscr{E}_{+}$. Используя вло-
1) Заметим, что это определение пространства $\mathscr{H}$ согласуется с теоретиковероятностным понятием условного среднего функции из $\mathscr{E}+$ относительно $\mathscr{\mathscr { E }}-\boxminus \mathscr{E}_{+}$. (То есть $\sigma$-алгебры в $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$, порожденной подпространством $\mathscr{E}_{-}$.Ped.)

жение ^, мы можем по оператору $S$, действующему в пространстве $\mathscr{E}_{+}$, построить оператор $\hat{\mathcal{S}}$, который будет действовать уже в пространстве $\mathscr{H}$. Естественно определить оператор $\hat{S}$ формулой
\[
\hat{S} \hat{A}=(S A)^{\hat{n}} .
\]

Это определение можно пояснить диаграммой

Одновременно с произведением
\[
\langle\hat{A}, \hat{B}\rangle_{\mathscr{H}}=\langle\theta A, B\rangle_{\mathscr{E}}
\]

определим билинейную форму
\[
\langle\hat{A}, \hat{S} \hat{B}\rangle_{\mathscr{C}}=\langle\theta A, S B\rangle_{\mathscr{C}} .
\]

Определения (6.1.12) имеют смысл только в том случае, если оператор $\hat{S}$ задан на классах эквивалентности. Другими словами, требуется, чтобы
\[
S: \mathscr{D}(S) \cap \mathscr{E}_{+} \rightarrow \mathscr{E}_{+} \quad \text { и } \quad S: \mathscr{D}(S) \cap \mathscr{N}^{\prime} \rightarrow \mathscr{N}^{,}
\]

где $\mathscr{D}(S)$ – область определения оператора $S$ (возможно, неограниченного).
Предложение 6.1.2. Пусть $d \mu$-вероятностная мера на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}$, обладающая свойствами положительности и инвариантности при отражениях. Тогда отображение – является сжатием,

Доказательство. По определению для любых двух элемснтов $A, B \in \mathscr{E}+$
\[
\left\langle(A+\mathcal{N})^{\wedge},(B+\mathcal{N})^{\wedge}\right\rangle_{\mathscr{B}}=\langle\theta A, B\rangle,
\]

а в силу неравенства Шварца в пространстве $\mathscr{E}$
\[
\left\|(A+\mathcal{N})^{\wedge}\right\|_{\mathscr{G}}^{2}=\langle\theta A, A\rangle_{\mathscr{G}} \leqslant\|A\|_{\mathscr{G}}\|\theta A\|_{\mathscr{G}}=\|A\|_{\mathscr{G}}^{2} .
\]

Следующий результат позволяет определить гамильтониан, а тем самым аналитическое продолжение поля в пространство Минковского. Пусть $T(E)$ – унитарное представление евклидовой группы движений пространства $\mathscr{E}$, определенное в силу аксиомы инвариантности OS 2. Кроме того, пусть $T(t)$ – подгруппа временны́х сдвигов.
Теорема 6.1.3 (Реконструкция квантовой механики). Пусть вероят ностная мера du на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}$ удовлетворяет свойствам положительности при отражения и инвариантости при отражениях и временнь́х сдвигах. Тогда при $t \geqslant 0$ для полугруппь операторое $T(t)$ выполнены соотношения (6.1.13) и $T(t)^{\wedge}=e^{-t н}$. Здесь

$0 \leqslant H=H^{*}$, а для вектора $\Omega=\hat{\imath}$ верно равенство $H \Omega=0$. Другими словами, $Н$-положительный самосопряженный оператор, для которого вектор $\Omega$ является основным состоянием.
Доказательство. Очевидно, что $T(t): \mathscr{E}_{+} \rightarrow \mathscr{E}_{+}$. Если $A \in \mathscr{P}$, то, пользуясь унитарностью операторов $T$, получим, что
\[
\begin{array}{l}
\langle\theta T(t) A, T(t) A\rangle_{\mathscr{G}}=\langle T(-t) \theta A, T(t) A\rangle_{G}=\langle\theta A, T(2 t) A\rangle_{\mathscr{G}} \leqslant \\
\leqslant\langle\theta A, A\rangle_{\varnothing}^{1 / 2}\langle\theta T(2 t) A, \theta T(2 t) A\rangle_{\zeta}^{1 / 2}=0, \\
\end{array}
\]

где постеднее неравенство вытекает из неравенства Шварца для формы (6.1.11). Отсюда следует, что $\mathcal{T}(t): \mathscr{P} \rightarrow \mathcal{P}$ и, значит, оператор $T(t)^{-}$корректно определен. Для удобства обозначим $R(t)=T(t)^{-}$. Теперь приступим к проверке следующих четырех свойств семейства олераторов $R(t)$ :
(i) полугрупповое свойство: $R(t) R(s)=R(t+s), \mathrm{s}, t \geqslant 0$;
(ii) эрмитовость;
(iii) $R(t)$ – сжатие: $\|R(t)\|_{*} \leqslant 1$,
(iv) сильная непрерывность: $R(t) \rightarrow l$ при $t \rightarrow 0$.

Эти свойства означают, что $R(t)$ – сильно непрерывная полугруппа самосопряженных сжимающих операторов. Следовательно, существует положительный самосопряженный оператор $H$, такой, что $R(t)=e^{-t H}$. Кроме того, $T(t) 1=1$. Поэтому для $\Omega \equiv \hat{1}$ получим, что $e^{-t H} \Omega=(T(t))^{-}=\Omega$, или, что то же самое, $H \Omega=0$.

Свойство (i) следует из полугруппового свойства для семейства $T(t)$; точнее, в силу соотношений (6.1.12), имеем
\[
R(t) R(s)=(T(t) T(s))^{\prime}=T(t+s)^{\prime}=R(t+s) .
\]

Свойство (ii) доказывается следующей шепочкой равенств, верных для любого элемента $A \in \mathscr{E}_{+}$:
\[
\begin{array}{l}
\langle R(t) \hat{A}, \hat{A}\rangle=\left\langle(T(t) A)^{-}, \hat{A}\right\rangle_{\text {并 }}=\langle\theta T(t) A, A\rangle_{\dot{6}}=\langle T(-t) \theta A, A\rangle_{\dot{6}}= \\
=\langle\theta A, T(t) A\rangle_{\hat{\epsilon}}=\left\langle\hat{A},(T(t) A)^{\wedge}\right\rangle_{\text {苦 }}=\langle\hat{A}, R(t) \hat{A}\rangle_{\text {类 }} . \\
\end{array}
\]

Для доказательства свойства (iii) воспользуемся неравенством Швариа и доказанными утверждениями (i), (ii). Их применение к $A \in \mathscr{E}+$ дает
\[
\|R(t) \hat{A}\|_{\mathscr{G}}=\langle R(t) \hat{A}, R(t) \hat{A}\rangle_{j_{\mathscr{C}}}^{1 / 2}=\langle\hat{A}, R(2 t) \hat{A}\rangle_{\mathscr{H}_{\mathscr{G}}}^{1 / 2} \leqslant\|\hat{A}\|_{\mathscr{H}}^{1 / 2}\|R(2 t) \hat{A}\|_{\mathscr{H}}^{1 / 2} .
\]

Продолжая действовать таким же образом. после $n$-кратного применения неравенства Шварца получим, что
\[
\begin{aligned}
\|R(t) \hat{A}\|_{\mathscr{F}} & \leqslant\|\hat{A}\|_{\mathscr{C}}^{1-2^{-n}}\left\|R\left(2^{n} t\right) \hat{A}\right\|_{\mathscr{H}}^{2^{-n}}= \\
& =\|\hat{A}\|_{\mathscr{G}}^{1-2^{-n}}\left\|\left(T\left(2^{n} t\right) A\right)^{-}\right\|_{\mathscr{C}}^{2^{-n}} \leqslant\|\hat{A}\|_{\mathscr{H}}^{1-2^{-n}}\|A\|_{\mathscr{C}}^{2^{-n}} .
\end{aligned}
\]

Здесь мы также воспользовались предложением 6.1 .2 и унитарностью семейства $T(t)$. Полагая $n \rightarrow \infty$, получим, чг $\|R(t) \widehat{A}\|_{\mathscr{H}} \leqslant\|\hat{A}\|_{\mathscr{F}}$ Гак как такие элементы $A$ плотны в пространстве $\mathscr{H}$, свойсгво (iii) доказано.

Для того чтобы доказать свойство (iv), заметим, что семейство $T(t)$ сильно непрерывно на подпространстве $\mathscr{E}+$, а отображение \” является сжатием из $\mathscr{E}$. в $\mathscr{H}$. Следовательно, семейство $R(t)$ сильно непрерьвно на плотном подмножестве в пространстве $\mathscr{H}$, составленном из векторов $A$, где $A \rightarrow \mathscr{E}+$. Поскольку $\|R(t)\| \leqslant 1$, отсюда следует, что семейство $R(t)$ сильно непрерывно и на всем гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$.

Замечание (Трансфер-матрица в статистической физике). В случае решеточных полей, изучаемых в статистической механике, поля $\varphi_{x}$ или $\xi_{x}$ определены на некоторой решетке, например $x \in Z^{d}$. Поэтому аксиомы регулярности и инвариантности следует применять здесь в модифицированном виде. При этом положительность при отражениях используется для определения трансфер-матрицы $K$, которая играет роль оператора $e^{-H}$.

Мы требуем инвариантности меры $d \mu$ относительно группы $T(x)$ сдвигов и отражений решетки, в частности относительно отражения $\theta$ в гиперплоскости $\Pi$, расположенной на равных расстояниях от двух соседних параллельных гипернлоскостей решетки и параллельной им. (В качестве П мы возьмем гиперплоскость $t=0$.) Тогда из приведенного выше доказательства следует, что существует гильбертово пространство состояний $\mathscr{H}$, являющееся пополнением факторпространства $\mathscr{E}_{+} / \mathcal{P}$ по норме, определенной скалярным произведением
\[
\langle A, B\rangle_{\mathscr{H}}=\int \overline{\theta A} B d \mu .
\]

Более того, на пространстве $\mathscr{H}$ существует самосопряженный оператор $K$, такой, что $K^{t}=T(t)^{\wedge}, t \in Z, 0 \leqslant K \leqslant I$, а $\Omega=\hat{1}$ является инвариантным вектором оператора $K: K \Omega=\Omega$.

Аналогично, пространственные сдвиги (в направлении $\mathbf{x}$, ортогональном оси $t$ ) порождают семейство унитарных операторов
\[
U(\mathbf{x})=T(\mathbf{x})^{-}=\prod_{i=1}^{d-1} U_{i}^{x_{i}},
\]

для которых $\Omega$ тоже является собственным вектором: $U(x) \Omega=\Omega$.
Единственность вакуумного вектора $\Omega$ (однократность собственного значения 1 оператора $K$ ) и в этом случае эквивалентна эргодичности меры $d \mu$ под действием временныхх сдвигов. Для решеточной трансфер-матрицы остается открытым вопрос о том, когда существует $\ln K$, или, другими словами, когда нуль не является собственным значением оператора $K$.

Теперь мы снова обратимся к непрерывному случаю и продемонстрируем применение аксиомы регулярности OS 1 при построении евклидова поля $\varphi(f)$.
Предложение 6.1.4. Пусть $d \mu$-вероятностная мера на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}$, удовлетворяющая аксиоме OS 0 . Тогда у этой меры есть моменты любого порядка, причем $n$-й момент обладает ядром $S_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathscr{D}^{\prime}\left(R^{n d}\right)$, т. e.
\[
\int \varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{n}\right) d \mu=\int S_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \prod_{i=1}^{n} f_{i}\left(x_{i}\right) d x .
\]

Если к тому же имеет место аксиома OS 1, то $S_{n} \in L_{1}^{\text {loc }}\left(R^{\text {nd }}\right)$.

Замечание. Ядро $S_{n}$ называется функцией Швингера.
Доказательство. Операторы $U(t)=e^{i t \varphi(t)}, f \in \mathscr{P}_{\text {вещ, образуют }}$ унитарную группу, действующую в пространстве $\mathscr{E}$. Ее инфинитезимальным генератором является оператор умножения $\varphi(t)$. Утверждение о том, что функция 1 принадлежит области определения всех операторов $\varphi(f)^{n}$, эквивалентно существованию у меры $d \mu$ моментов порядка $2 n$. (Моменты нечетного порядка при помощи неравенства Шварца оцениваются четными моментами.) Для того чтобы показать, что 1 принадлежит области определенпя оператора $\varphi(f)^{n}$, воспользуемся определением $n$-го разностного отношения $(\Delta / \Delta t)^{n} U(t)$ оператора $U(t)$. Имеем
\[
\begin{array}{l}
\left\|\left[\left(\frac{\Delta}{\Delta t_{1}}\right)^{n}-\left(\frac{\Delta}{\Delta t_{2}}\right)^{n}\right] U(t) 1\right\|^{2}= \\
=\left.\left[\left(\frac{\Delta}{\Delta t_{1}}\right)^{n}-\left(\frac{\Delta}{\Delta t_{2}}\right)^{n}\right]\left[\left(\frac{\Delta}{\Delta s_{1}}\right)^{n}-\left(\frac{\Delta}{\Delta s_{2}}\right)^{n}\right] S\{(s-t) f\}\right|_{s=t} .
\end{array}
\]

Отсюда видно, что, в силу аналитичности (а значит, и дифференцируемости) функции $S, n$-е разоостное отношение имеет снльый предел. Пусть $f$ принадлежит ограниченному конечномерному подмножеству грространства $\mathscr{D}$. В силу непрерывности, модуль $|S\{f\}|$ ограничен на этом подмножестве. Следовательно, можно применить интегральную формулу Коши
\[
S_{n}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)=\oint S\{g\} \prod_{j=1}^{n}\left(-d \boldsymbol{z}_{j} / 2 \pi z_{j}^{2}\right),
\]

где $g=\sum_{j=1}^{n} z_{j} f_{j}$, а интегрирование ведется по окружностям $\left|z_{j}\right|=1$. Это дает оценку функции $S_{n}$, необходимую для доказательства ее непрерывности па произведении $\mathscr{D} \times \ldots \times \mathscr{D}$. Непрерывное продолжение $S_{n}$ на все пространство $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{n d}\right)$ получается при помощи теоремы о ядре.

В случае когда справедлива аксиома OS1, функция $S_{n}$ продолжается по непрерывности до мультилинейного функционала на $\left(L_{1} \cap L_{p}\right) \times \ldots \times\left(L_{1} \cap L_{p}\right)$. Это означает, в частности, что $S_{n}$ локально интегрируема как функция $n d$ переменных.
(ii) Аксиомы поля в пространстве Минковского
При аналитическом продолжении по переменной времени, $t \rightarrow-i t$, операторы поля для вещественного времени и представление группы Лоренца могут быть определены в пространстве $\mathscr{H}$ так, чтобы выполнялись аксиомы Вайтмана и Хаага – Кастлера. Математическое доказательство этих утверждений слишком технично, поэтому мы отложим его до гл. 19, а здесь только сформулируем результаты.

Пусть $\varphi=\varphi_{E}(\mathbf{x}, t)$ – евклидово поле, рассматриваемое, как и выше, в вещественной евклидовой точке $\mathbf{x}, t$. Аксиомы Вайтмана и Хаага – Кастлера относятся к его аналитическому продолжению на вещественное пространство Минковского, т. е. на чисто мнимое евклидово время. Чтобы различать поля с разными значениями аргументов, будем писать
\[
\varphi_{E}(\mathbf{x}, t)=\varphi_{M}(i t, \mathbf{x}) .
\]

Если же из контекста ясно, о каком поле идет речь, то $\varphi$ может обозначать как $\varphi_{E}$, так и $\varphi_{M}$. Пусть $x=(t, \mathbf{x})$ – вектор пространства-времени Минковского; оператор поля $\varphi_{M}$, отвечающий вещественному времени, формально запишем в виде
\[
\int \varphi_{M}(x) f(x) d x=\varphi_{M}(f) .
\]

Оказывается, что (в смысле операторнозначных обобщенных функций)
\[
\varphi_{M}(\mathbf{x}, t)=e^{i t H} \varphi_{M}(\mathbf{x}, 0) e^{-i t_{H}} .
\]

Как следует из аксиом $\operatorname{OS} 1-3$, оператор поля $\varphi_{M}(f)$ самосопряжен при вещественных $f$. (Этого не требуется в аксиомах Вайтмана, но это свойство означает, что $\varphi_{M}(t)$ есть наблюдаемая величина в смысле постулатов квантовой механики.) Эта величина измеряет напряженность поля $\varphi_{м}$, усредненную с помощью основной функции $f$ по точкам пространства-времени.
Перейдем к формулировке аксиом.

W 1 (Ковариантность). В гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$ состояний квантового поля существует непрерывное унитарное представление неоднородной группы Лоренца $g \rightarrow U(g)$. Спектр генераторов ( $H=P_{0}, \mathbf{P}$ ) подгруппы сдвигов лежит в переднем конусе $p_{0}^{2}-\mathbf{p}^{2} \geqslant 0, p_{0} \geqslant 0$. Существует вакуумный вектор $\Omega \in \mathscr{H}$, инвариантный относительно операторов $U(g)$.
W 2 (Наблюдаемые). Существует семейство операторов поля $\left\{\varphi_{M}(f): f \in \mathscr{P}\left(R^{d}\right)\right\}$, определенных на всюду плотном множестве в пространстве $\mathscr{H}$. Вакуумный вектор $\Omega$ принадлежит области определения любого многочлена от операторов поля $\varphi_{M}(f)$, а линейная оболочка $\mathscr{D}$ векторов вида $\left\{\varphi_{M}\left(f_{1}\right) \ldots \varphi_{M}\left(f_{n}\right) \Omega: 0 \leqslant n\right.$, $\left.f_{i} \in \mathscr{P}\left(R^{d}\right)\right\}$ плотна в пространстве $\mathscr{H}$. Поле $\varphi_{M}(f)$ ковариантно под действием группы Лоренца на $\mathscr{G}$ и линейно зависит от $f$. В частности, $U(g)^{*} \varphi_{M}(f) U(g)=\varphi_{M}\left(f_{g}\right)$.
W 3 (Локальность). Если носители основных функций $f$ и $h$ пространственно-подобно отделены, то $\varphi_{M}(f) \varphi_{M}(h)=\varphi_{M}(h) \varphi_{M}(f)$ на $\mathscr{D}$. (Вектор $(t, \mathbf{x})$ пространственно-подобен, если $|t|<|\mathbf{x}|$.)
W 4. Вакуумный вектор $\Omega$ – единственный (с точностью до числового множителя) вектор в пространстве $\mathscr{H}$, инвариантный относительно группы сдвигов по времени.

Обращение к теореме Шварца о ядре показывает, что операторы поля однозначно определяют моменты ( $n$-точечные функции Вайтмана)
\[
W_{n}=W\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\langle\Omega, \varphi_{M}\left(x_{1}\right) \ldots \varphi_{M}\left(x_{n}\right) \Omega\right\rangle \in \mathscr{P}^{\prime}\left(R^{n d}\right) .
\]

Перечисленные аксиомы могут быть эквивалентным образом переформулированы как свойства функций Вайтмана. Переход от этих функций к операторам поля осуществляется при помощи теоремы

—————————————————————-
0014ru_fiz_kvan_book28_no_photo_page-0117.jpg.txt

116
Гл. 6. Теория поля
реконструкции [Streater, Wightman, 1964]. В силу трансляционной инвариантности, $W_{n}$ можно рассматривать как функции из пространства $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{(n-1) d}\right)$ от $x_{j}-x_{1}$.
Теорема 6.1.5. Пусть для меры ди на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ выполнены аксиомы OS $0-3$. Тогда пале $\varphi_{\text {м }}$, определенное для вещественного времени, удовлетворяет аксиомам W 1-3. Кроме того, аксиома OS 4 верна тогда и только тогда, когда справедлива акснома W 4.
Доказательство. См. гл. 19
Замечание. Функции Швингера и Вайтмана связаны посредством аналитического продолжения. Точным утверждением, которое доказывается в гл. 19, является следующая формула:
\[
\begin{array}{l}
\int \varphi_{E}\left(\mathbf{x}_{1}, t_{1}\right) \varphi_{E}\left(\mathbf{x}_{2}, t_{2}\right) \ldots \varphi_{E}\left(\mathbf{x}_{n}, t_{n}\right) d \mu= \\
\quad=\left\langle\Omega, \varphi_{M}\left(i t_{1}, \mathbf{x}_{1}\right) \varphi_{M}\left(i t_{2}, \mathbf{x}_{2}\right) \ldots \varphi_{M}\left(i t_{n}, \mathbf{x}_{n}\right) \Omega\right\rangle .
\end{array}
\]

Функции Вайтмана на вещественной оси времени являются граничными значениями аналитических функций, которые аналитически продолжаются в евклидову область (за вычетом диагоналей $x_{i}=x_{j}$ при каких-нибудь $i
eq j$ ) так, что выполняется (6.1.17).

Существующие стандартные методы построения квантовых полей естественно приводят к мере $d \mu$, для которой верны аксиомы $\mathrm{OS}$, кроме, быть может, аксиомы OS 4 . Вопрос о том, обладает ли данная мера единственным вакуумным вектором, обычно труден. Он тесно связан с возможностью фазовых переходов и выбором граничных условий в определении меры. Существует общая теория, которая позволяет, оставляя в стороне эти довольно сложные вопросы, построить поле, удовлетворяющее полному набору аксиом OS $0-4$. Идея состоит в том, чтобы, получив какую-нибудь теорию, для которой справедливы аксиомы OS $0-3$, разложить ее на неприводимые компоненты, каждая из которых имеет единственный вакуум и удовлетворяет аксиомам OS $0-4$, а значит, и W 1-4. Пометим эти компоненты параметром $\zeta$. Они соответствуют чистым фазам, определенным каждая в своем гильбертовом пространстве $\mathscr{H}_{\zeta}$, так что $\mathscr{H}=\int \mathscr{H}_{\zeta} d \rho(\xi)$, где $d \rho-$ некоторая вероятностная мера. Кроме того,
\[
\left\langle\Omega, \varphi_{M}\left(f_{1}\right) \ldots \varphi_{M}\left(f_{n}\right) \Omega\right\rangle_{\mathscr{H}}=\int\left\langle\Omega_{\zeta}, \varphi_{\zeta, M}\left(f_{1}\right) \ldots \varphi_{\zeta, M}\left(f_{n}\right) \Omega_{\zeta}\right\rangle_{\mathscr{H}} d \rho(\xi),
\]

и подобное разложение имеет место для меры $d \mu$. Подробнее это построение изложено в $\$ 19.7$.

Аксиомы Хаага – Кастлера касаются скорее алгебрачческой структуры квантовых полей, не зависящей от их явной реализации в том или ином гильбертовом пространстве $\mathscr{C}$. Поэтому они удобны при обсуждении общих свойств полей, не связанных с их реализацией, таких, как построение секторов суперотбора заряда, построение зарядовых операторов и токов с помощью наблюдаемых поля и т. д. Приведем эти аксиомы.
НК 1. Қаждой ограниченной открытой области $B$ пространства-времени поставлена в соответствие $C^{*}$-алгебра $\mathfrak{A}(B)$ с единицей. Полная алгебра $\mathfrak{A}=\bigcup_{B} \mathfrak{A}(B)$ имеет точное неприводимое представление.
НК 2. Если $B_{1} \subset B_{2}$, то $\mathfrak{A}\left(B_{1}\right) \subset \mathfrak{A}\left(B_{2}\right)$.
НК 3 (Локальность). Если множества $B_{1}$ и $B_{2}$ пространственноподобно отделены, то алгебры $\mathfrak{A}\left(B_{1}\right)$ и $\mathfrak{A}\left(B_{2}\right)$ коммутируют.

НК 4 (Лоренц-ковариантность). Пусть $\{a, \Lambda\}$ – элемент неоднородной группы Лоренца. Тогда существует $\%$-автоморфизм $\sigma_{\{a, \Lambda\}}$ алгебры $\mathfrak{A}$, такой, что для любого ограниченного множества $B$
\[
\sigma_{\{a, \Lambda\}}(\mathfrak{A}(B))=\mathfrak{A}(\{a, \Lambda\} B) .
\]

Отображение $\{a, \Lambda\} \rightarrow \sigma_{\{a, \Lambda\}}$ является представлением группы Лоренца.

Мы построим локальные алгебры $\mathfrak{I}(B)$, которые будут слабо замкнутыми (алгебры фон Неймана).
Теорема 6.1.6. Пусть $d \mu-$ мера на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}$, удовлетворяющая аксиомам OS $0-3$. Тогда, если $\mathrm{f}$-вещественная функция, гебры фон Неймана $\mathfrak{A}(B)$, порожденные элементами $\exp \left(i \varphi_{M}(f)^{-}\right)$, где $f$-вещественная функция $c$ supp $f \in B$, удовлетворяют аксиомам $\mathrm{HK} 1-4$.