В этом параграфе вводится решеточная аппроксимация для мер $P(\varphi)_{2}$, рассмотренных в гл. 8. В действительности мы уже пользовались в § 8.7 дискретной аппроксимацией, основанной на приближении суммами Римана. Изучаемая ниже аппроксимация связана с обрезанием рядов Фурье. Хотя обе эти аппроксимации весьма полезны, вторая имеет некоторое преимущество: она сохраняет OS-положительность и ферромагнитные свойства меры. Поэтому решеточную аппроксимацню удобно использовать для доказательства корреляционных неравенств. Можно также доказать сходимость решеточных аппроксимаций для модели $\varphi^{4}$ в размерности $d=3$, но мы не будем здесь этого касаться.

Для простоты, как и в $\S 9.5$, выберем в качестве $\Lambda$ единичный квадрат. Пусть
\[
f(x)=\sum_{k_{\alpha} / \pi \in Z_{+}} \tilde{f}(k) e_{k}(x)
\]

есть разложение Фурье по синусам для функции $f$. Здесь базис $e_{k}(x)$ определен формулой (9.5.2). Пусть $C_{\delta, D}$ есть оператор (9.5.21), действующий в $L_{2}(\Lambda)$. Тогда
\[
\left(C_{\delta, D} f\right)(x)=\sum_{1 \leqslant k_{\alpha} / \pi \leqslant(1 / \delta)-1}\left(\lambda_{k}^{\delta}+m^{2}\right)^{-1} \tilde{f}(k) e_{k}(x) .
\]

Напомним, что отображение $i_{8}: l_{2}\left(\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right) \rightarrow L_{2}(\Lambda)$, определяемое формулой (9.5.17), есть изометрическое вложение, а $i_{8}^{*}: L_{2}(\Lambda) \rightarrow$ $\rightarrow l_{2}\left(\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right) \quad$ определяется обрезанием ряда Фурье с последующим ограничением на узлы решетки.
Если имеется гауссов процесс $\varphi(y)$ с ковариацией $C$, то
\[
\varphi_{\delta}(x) \equiv\left(i_{\delta}^{*} \varphi\right)(x), \quad x \in \operatorname{Int} \Lambda_{\delta},
\]

определяет гауссово поле на решетке с ковариацией
\[
C_{\delta}=i_{\delta}^{*} C i_{\delta}=i_{\delta}^{*} \Pi_{\delta} C i_{8} .
\]

Здесь мы выбираем
\[
C \in \mathscr{C}_{m, \Lambda}
\]

где $\mathscr{C}_{m, \Lambda}$ – выпуклое множество ковариационных операторов, порожденное операторами $C_{\delta, D}$ при $\delta=0$ или $\delta=2^{-v}$ ( $\$ 9.5$ ). Поле $\varphi_{8}$ можно рассматривать как гауссову меру на $R^{\mid \text {Int } \Lambda_{\delta} \mid}$ или на $\mathscr{P}^{\prime}$. Обе меры имеют ковариацию $C_{\delta}$, хотя в первом случае надо считать $C_{\delta}$ оператором в $l_{2}\left(\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right)$, а во втором случае $C_{\delta}$ действует с помощью изометрии $i_{\delta}$ в пространстве $L_{2}(\Lambda)$. Переходя к явным формулам, обозначим $\prod_{x \in \operatorname{Int} \Lambda_{\delta}} d \varphi_{\delta}(x)$ меру Лебега в $R^{\left|\mathrm{Int} \Lambda_{\delta}\right|}$. Тогда $d \varphi_{\delta, D}=\left(\operatorname{det} C_{\delta, D}\right)^{-1 / 2} \pi^{-\left|\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right| / 2} \times$
\[
\begin{aligned}
& \times \exp \left[-\frac{\delta^{2 d}}{2} \sum_{x, y \in \operatorname{Int} \Lambda_{\delta}} \varphi_{\delta}(x) C_{\delta, D}^{-1}(x, y) \varphi_{\delta}(y)\right] \prod_{x} d \varphi_{\delta}(x)= \\
= & \left(\operatorname{det} C_{\delta, D}\right)^{-1 / 2} \pi^{-\left|\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right|^{2}} \times \\
& \times \exp \left[-\frac{1}{2}\left(\left\|
abla \varphi_{\delta}\right\|_{l_{2}}^{2}+m^{2}\left\|\varphi_{\delta}\right\|^{2}\right)\right] \prod_{x} d \varphi_{\delta}(x)
\end{aligned}
\]

есть гауссова мера в $R^{\left|\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right|}$ с ковариацией $C_{\delta, D}$.
Для изучения сходимости при $\delta \rightarrow 0$ удобно рассматривать $d \varphi_{\delta, D}$ как меру в $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ с ковариацией $C_{\delta, D}$. Сходимость гауссовых мер в смысле сходимости моментов и производящих функций есть прямое следствие сходимости ковариационных операторов; она вытекает из формулы (6.2.2), выражающей производящую функцию с помощью оператора $C_{\delta}$, D.

Решеточная аппроксимация полиномиальных взаимодействий $: P(\varphi, f):(\$ 8.6)$ задается выражением
\[
: P\left(\varphi_{\delta}, f\right):_{c_{\delta, D}}=\delta^{d} \sum_{x \in \Lambda_{\delta}} \sum_{j=0}^{n}: \varphi_{\delta}(x)^{t}:_{c_{\delta, D}} f_{f}(x) .
\]

В этом параграфе мы ограничимся функциями $f_{j}$, удовлетворяющими условиям (8.6.4) и имеющими вид: гладкая функция, умноженная на характеристическую функцию прямоугольника. Для сходимости решеточных аппроксимаций существенно, чтобы функции $f_{j}$ были интегрируемы по Риману. Для краткости введем обозначение
\[
: P_{\diamond}: c=: P\left(\varphi_{\diamond}, f\right): c
\]

и рассмотрим пределы при $\delta \rightarrow 0$ мер
\[
d \mu_{\delta, D}=\frac{\exp \left(-: P_{\delta} c_{\delta, D}\right)^{d \varphi_{\delta, D}}}{\int \exp \left(-: P_{\delta} c_{\delta, D}\right) d \varphi_{\delta, D}} .
\]

Сходимость мер (9.6.8) не вытекает из сходимости операторов $C_{\delta, D}$, поэтому необходимо доказать решеточный аналог теоремы 8.6.2. Положим
\[
\begin{array}{l}
C(t)=t C_{D}+(1-t) C_{\delta, D}, \\
d \mu_{\delta, D, t}=\frac{\exp \left(-: P_{\delta}:_{C(t)}\right) d \varphi_{C(t)}}{\int \exp \left(-: P_{\delta}:_{C(t)}\right) d \varphi_{C(t)}} . \\
\end{array}
\]

Предложение 9.6.1. Пусть $d=2$, и пусть $Q\left(\varphi_{\delta^{\prime}}\right)$ – полином от поля $\varphi_{\delta^{\prime}}$. Тогда при $\delta \rightarrow 0$
\[
\left|\int Q\left(\varphi_{\delta^{\prime}}\right) d \mu_{\delta, D .1}-\int Q\left(\varphi_{\delta^{\prime}}\right) d \mu_{\delta, D, 0}\right| \leqslant O(\delta) .
\]

Замечание. Мы переходим к пределу при $\delta \rightarrow 0$ в два этапа. Вначале рассматриваем предел при $\delta \rightarrow 0$ ковариации меры $d \varphi \delta, D$ и викова упорядочения полинома $P$, а затем изучаем сходимость поля $\varphi_{\delta}$ и дискретной суммы $\sum_{x \in \operatorname{Int} \Lambda_{\delta}}$ в $P$.
Доказательство. Воспользуемся решеточным вариантом формулы изменения ковариации (9.1.34), В лействительности конечномерное представление (9.6.6) меры $d \varphi_{\delta, D}$ позволяет свести формулу (9.1.34) к обычным правилам вычисления производных. Так как, согласно предложению 9.5.5, $\|\dot{C}\|=\left\|C_{\delta, D}-C_{D}\right\|=$ $=O\left(\delta^{2}\right)$, матричный оператор
\[
\dot{C}_{\delta} \equiv i_{\delta}^{*} \dot{C}_{\delta}: l_{2}\left(\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right) \rightarrow l_{2}\left(\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right)
\]

сходится с той же скоростью. С помоцью неравенства Шварца отделим в интегр але по $d \varphi_{c(t)}$ полиномиальный множитель $Q$ и множитель, отвечающий экспоненте:
\[
\left|\int Q e^{-: P_{\delta}} C(t) d \varphi_{C(t)}\right| \leqslant\left(\int|Q|^{2} d \varphi_{C(t)}\right)^{1 / 2}\left(\int e^{-2: P_{\delta} C(t)} d \varphi_{C(t)}\right)^{1 / 2} .
\]

Первый множитель в правой части сходится как $O\left(\delta^{2}\right)$, поскольку $\left\|C_{\delta}\right\| \leqslant O\left(\delta^{2}\right)$. Для завершения первого этапа доказательства осталось показать, что экспоненциальный множитель ограничен равномерно по $\delta$ и $t$. Равномерная оценка установлена в следующей лемме, доказательство которой аналогично доказательству теоремы 8.6.2.
Лемма 9.6.2. Допустим, что $d=2$ и $0 \leqslant t \leqslant 1$. Тогда интеграл $\int e^{-; P_{\delta} C_{(t)}} d \varphi_{C(t)}$ ограничен и отделен от нуля равномерно по $\delta u t$.
Набросок доказательства. Вместо $x^{-1}$, т. е. обратного ультрафиолетового обрезания, возьмем $\delta_{1} \geqslant \delta$. Имеются две важные оценки. Во-первых, в силу предложения 9.5.6, полином $: P_{\delta_{1}}: c_{(t)}$ ограничен снизу величиной $O\left(\ln \delta_{1} \mid+1\right)^{(\operatorname{deg} P) / 2}$.

Во-вторых, справедлива оценка, аналогичная теореме 8.5.3:

Множитель $O\left(\delta_{1}^{j \varepsilon}\right)$ связан с оценками из предложения 9.5.7. Оценка сверху доказывается теперь так же, как и в теореме 8.6.2. Оценка снизу вытекает из равномерной оценки сверху интеграла $\int: P_{\delta}:_{C(t)}^{2} d \varphi_{C(t)}$.
Переходя ко второму этапу доказательства сходимости при $\delta \rightarrow 0$, положим
\[
\begin{array}{l}
P(t)=t: P_{\delta=0} 0^{\circ} C_{D}+(1-t): P_{\delta}:_{C_{D}}, \\
d \mu_{t}=e^{-P(t)} d \varphi_{C_{D}} / \int e^{-P(t)} d \varphi_{C_{D}} .
\end{array}
\]

Предложение 9.6.3. Пусть $d=2$ и $Q\left(\varphi_{\delta^{\prime}}\right)$ – полином от поля $\varphi_{\delta^{\prime}} \cdot$ Тогда при фиксированном $\delta^{\prime} u \delta \rightarrow 0$
\[
\left|\int Q\left(\varphi_{\delta^{\prime}}\right) d \mu_{1}-\int Q\left(\varphi_{\delta^{\prime}}\right) d \mu_{0}\right| \leqslant O\left(\delta^{\varepsilon}\right) .
\]

Доказательство. Гауссова мера считается теперь определенной на $\mathscr{S}^{\prime}\left(R^{2}\right)$. Оцениваемая разность ограничена величиной
\[
\sup _{t}\left|\int Q\left(\varphi_{\delta^{\prime}}\right) \frac{d}{d t} d \mu_{t}\right| .
\]

Вновь выделяем полнномиальный и экспоненциалыный множители. Применяя неравенство Шварца второй раз, выделяем экспоненциальные множители, отвечающие соответственно $: P_{\delta=0}:$ и $: P_{\delta}:$. Множитель, содержаший $\exp \left(-: P_{\delta=0}: c_{D}\right)$, был оценен в $\S 8.6$, и, поскольку он не зависит от $\delta$, оценка равномерна по $\delta$. Множитель, отвечающий : $P_{\delta}:$, ограничен согласно лемме 9.6 .2 .

Наконец, рассмотрим полиномиальные множители, ограничивающие (9.6.10). Они содержат гауссов интеграл $\int Q^{2}(d P(t) / d t)^{2} d \mu_{C_{D}}$, который стремится к нулю, как в теореме 8.5.3.

Объединим два предложения в одну теорему, из которой вытекает сходимость решеточных мер $P(\varphi)_{2}$ к соответствующим непрерывным мерам.

Теорема 9.6.4. Пусть $d=2$ и $Q\left(\delta^{\prime}\right)$ – полином от поля $\varphi_{\delta^{\prime}}$. Тогда при фиксированном $\delta^{\prime}$
\[
\lim _{\delta \rightarrow 0} \int Q\left(\delta^{\prime}\right) d \mu_{\delta, D}=\int Q\left(\delta^{\prime}\right) d \mu_{D} .
\]

Замечание. Аналогично доказываются соответствующие результаты для граничных условий $B=\varnothing, P, N$.