Единственная калибровочная теория, которая рассматривалась в этой книге, — это электродинамика. В калибровочных теориях имеются три вопроса, изучаемых обычно с математической точки зрения: классическое и квазиклассическое приближение, формулировка аксиом и построение простейших непрерывных моделей в пределе, когда шаг решетки $\delta$ стремится к нулю.

В качестве действия в чистой калибровочной теории берется $\mathscr{A}=\|F\|^{2} / 4$, где величина
\[
F_{i j}=\partial_{i} A_{j}-\partial_{j} A_{i}+\left[A_{i}, A_{i}\right]
\]

принимает значения в алгебре Ли калибровочной группы $G$. Классические евклидовы уравнения Янга — Миллса
\[
\sum D_{\mu} F_{\mu
u}=0=\sum\left(\partial_{\mu} F_{\mu
u}+\left[A_{\mu}, F_{\mu
u}\right]\right)
\]

имеют решения, для которых действие конечно, — так называемые инстантоны [Белавин, Поляков, Шварц, Тюпкин, 1976]:
\[
A_{\mu}=\frac{x^{2}}{x^{2}+\lambda} g \partial_{\mu} g^{-1},
\]

где $g(x)=x_{0} I+\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\sigma}$-матрицы Паули. Инстантон обладает свойством $F=* F$. Фактически построены все классические решения, удовлетворяющие условию $F= \pm \approx F$ и обладающие конечным действием ([Atiyah, Drinfeld, Hitchin, Manin, 1978]). Инстантоны оказались полезны и для формального понимания квазиклассического приближения в квантовых калибровочных теориях; см. [Cоleman, 1977, 1979]. Аксиомы для калибровочных полей сформулированы в работе [Strocchi, 1978].

Строгое математическое построение квантовых калибровочных полей только начинается. При этом полезна решеточная модель с обрезанием [Wilson, 1974]. Компонента связности $A_{i}$ в направлении координаты $i$, принимающая значения в алгебре Ли, заменяется в решеточной теории элементом группы $\exp \left(\delta A_{i}\right)=\gamma_{b}$, сопоставленным каждому ребру $b$. Остервальдер и Зайлер [1978] сформулировали и доказали аксиому о положительности при отражениях для этой модели с действием вида
\[
\mathscr{A}=\sum_{p} \operatorname{tr}\left(\gamma_{b_{1}} \cdots \gamma_{b_{4}}\right)
\]

где $b_{1}, \ldots, b_{4}$ — ребра, ограничивающие элементарную ячейку решетки $p$. Для анализа предельного перехода к бесконечному объему использовались кластерные разложения. Для калибровочных теорий с группой $G=Z_{2}$ справедлива теорема Ли-Янга [Dunlop, 1981]. Фазовые переходы в калибровочной $Z_{2}$-теории исследовались в работе [Balian, Drouffe, Itzykson, 1975]. По поводу калибровочных теорий с группой $Z_{n}$ см. [Greutz, Jacobs, Rebbi, 1979], [Drouffe, 1980] и [Greutz, 1980a]. Неабелевы модели рассмотрены в работах [Мигдал, 1976], [Kadanoff, 1977], [‘t Hooft, 1978, 1980, 1981], [Glimm, Jaffe, 1979], [Greutz, 1980b], [Fröhlich, 1980-1981], [Itzykson, 1980], [Mack, 1980], [Wilson, 1980], [Seiler, 1981].

Предел решеточной модели при переходе к непрерывному пространству изучался только в размерности $d=2$. Соответствующая чистая калибровочная теория тривиальна, а модель Хиггса с калибровочной группой $U(1)$ и действием
\[
\mathscr{A}=\frac{1}{4}\|F\|^{2}+\frac{1}{2}\|D \varphi\|^{2}+\frac{\lambda}{8}\left\|\left(|\varphi|^{2}-1\right)\right\|^{2}
\]

построена в работах [Brydges, Fröhlich, Seiler, 1979, 1980a,b]. В них проверены аксиомы Остервальдера — Шрадера для калибровочно-инвариантных величин, но никакой подробной информации о соответствующих спектрах до сих пор нет.

Поскольку ультрафиолетовое поведение калибровочных моделей (особенно их перенормируемость при $d \leqslant 4$ ) существенно зависит от калибровочной инвариантности действия, то очень важно, чтобы ультрафиолетовое обрезание ее сохраняло. В качестве альтернативы к ковариантному решеточному обрезанию калибровочных моделей по Вильсону в работе [Singer, 1977] предложена математическая конструкция, в которой использована обычная калибровочная ковариантность в непрерывном пространстве и введена калибровочно-ковариантная функция регуляризации $\zeta$. Такой подход использовался при анализе грибовской неопределенности [Singer, 1978], состоящей в том, что, вообще говоря, определение калибровочной меры $d \mu$ вида 6.6.5 по теории возмущений может формально оказаться неполным. В работе [Asorey, Mitter, 1981] положено начало определению меры $d \mu$, не использующему теории возмущений: доказано существование соответствующей регуляризованной меры; при регуляризации используются степени ковариантного пространственного лапласиана. См. также [Narasimhan, Ramadas, 1979].