Рассмотрим классический магнит $m$, помещенный во внешнее однородное магнитное поле В. Такое поле не создает силы, действующей на $m$ (т. е. центр масс остается неподвижным), однако магнит будет стремиться повернуться вдоль направления вектора В. Вращающий момент, действующий на $m$, линейно зависит от В (предполагается, что В не изменяет намагниченности $m$ ). Таким образом,
\[
\text { вращающий момент }=\boldsymbol{\mu} \times \mathbf{B},
\]

где $\mu$-вектор, направленный вдоль оси $m$. Вектор $\mu$ является магнитным моментом магнита $m$. Уравнение (15.1.1) эквивалентно утверждению о том, что потенциальная энергия магнита $m$ в магнитном поле В равна – $\boldsymbol{\mu} \cdot$ B. Энергия достигает минимума при совпадении направлений векторов $\boldsymbol{\mu}$ и В.

Простой пример, когда возникает магнитный момент, – это классический контур с током. Пусть $l$ обозначает круговой контур радиуса $r$, по которому течет ток $\mathbf{J}$ (его размерность: заряд/время), см. рис. 15.1. Предстаконтур с током $l$. вим себе ток $\mathbf{J}$ в виде плотности заряда $\rho$ (заряд/см), движущейся по контуру $l$ со скоростью $\mathbf{v}$ (см/с), т. е.
\[
\mathbf{J}=\rho \mathbf{v} .
\]

Определим момент $\mu$ тока $\mathbf{J}$ относительно центра контура:
\[
\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2 c} \int_{l} \mathbf{r} \times \mathbf{J}=\frac{\rho v}{c}\left(\pi r^{2}\right) \mathbf{n}=\frac{1}{c} \text { (ток) (площадь) } \mathbf{n} .
\]

Здесь $c$-скорость света, а $\mathbf{n}$ – единичный вектор нормали к плоскости контура (ориентация определяется направлением тока).

В общем случае магнитный момент плоского (но не обязательно кругового) контура равен
\[
\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2 c} \int_{l} \mathbf{r} \times \mathbf{J}=\frac{1}{c} \text { (ток) (площадь) } \mathbf{n},
\]

где $\mathbf{n}$– нормаль к плоскости контура.
Для оправдания такого определения магнитного момента $\mu$ покажем, что вращающий момент, действующий на круговой контур, определяется выражением (15.1.1). Силу $\mathbf{F}$, действующую на единичный заряд, можно найти по формуле Лоренца (при нулевом электрическом поле)
\[
\mathbf{F}=\frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B} .
\]

По определению, вращающий момент $\mathbf{T}$ равен
\[
\mathbf{T}=\int_{l} \mathbf{r} \times \mathbf{F}=\int \mathbf{r} \times \frac{\rho}{c}(\mathbf{v} \times \mathbf{B}) .
\]
Введем в качестве параметра на контуре угол $\theta \in[0,2 \pi)$, причем углу $\theta=0$ пусть отвечает направление вектора $\mathbf{B}_{t}$ – проекции В на плоскость контура $l$. Поскольку $\mathbf{r} \cdot \mathbf{v}=0$,
\[
\mathbf{T}=\frac{\rho}{c} \int_{0}^{2 \pi} \mathbf{r} \times(\mathbf{v} \times \mathbf{B}) r d \theta=\frac{\rho}{c} \int_{0}^{2 \pi} \mathbf{v}\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{B}_{l}\right) r d \theta .
\]

Пусть 1 и 2 обозначают направления в плоскости контура, соответственно параллельное и перпендикулярное к $B_{l}$. Тогда
\[
v_{1}=-v \sin \theta, \quad v_{2}=v \cos \theta, \quad \mathbf{r} \cdot \mathbf{B}_{l}=r B_{l} \cos \theta .
\]

В силу тождества $\int \cos \theta \sin \theta d \theta=0$, мы получаем, что $T_{1}=0$ и
\[
\mathbf{T}=\left(0,\left(c^{-1} \rho v\right)\left(\pi r^{2}\right) B_{l}, 0\right)=\mu \times \mathbf{B} .
\]

Таким образом, справедлива формула (15.1.1).
Предположим далее, что плотность заряда $\rho$ пропорциональна плотности массы, т. е.
\[
\rho=(e / m) \rho_{\text {mass }},
\]

где $e / m$ – фиксированное отношение заряда к массе. Тогда
\[
\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2 c} \int \mathbf{r} \times \rho \mathbf{v}=\frac{e}{2 m c} \int \mathbf{r} \times \rho_{\text {mass }} \mathbf{v}=\left(\frac{e}{2 m c}\right) \mathbf{L}=g \mu_{B} \mathbf{L},
\]

где $\mathbf{L}$ обозначает угловой момент зарядов в контуре с током. Қоэффициент пропорциональности между магнитным моментом распределения зарядов и.их угловым моментом называется гиромагнитным отношением и обозначается $g$. Единицей магнитного момента является магнетон Бора ${ }^{1}$ ), равный, по определению,
\[
\mu_{B}=e / 2 m c,
\]

где $e / m$ – отношение заряда электрона к его массе.
Магнитный момент электрона равен $g \mu_{B}$. Согласно классическому подсчету, приведенному выше, $g=1$. Для диракова электрона, рассматриваемого в $\S 15.3, g=2$. Аномальный магнитный момент электрона, учитывающий полевые эффекты, приводит к значению $g=2,002 ;$ см. $\S 15.4$.