Теорема 19.6.1. Предположим, что выполнены аксиомы OS 0-3, Тогда имеет место свойство локальности, которое может быть выражено следующими тремя способами:
(i) $\left[e^{i \varphi_{M}(f)}, e^{i\left(M^{\prime} g\right.}\right]=0$;
(ii) $\left[\varphi_{M}(f), \varphi_{M}(g)\right] \mathscr{D}=0$;
(iii) $W_{n+2}\left(f_{1}, \ldots, f, g, \ldots, f_{n}\right)=W_{n+2}\left(f_{1}, \ldots, g, f, \ldots, f_{n}\right)$ для всех п и всех $f_{j} \in \mathscr{S}$.
Рассмотрим $T>0$ и $\mathbf{z}
eq 0, \mathbf{z} \in R^{d-1}$. Обозначим $B=B(T, \mathbf{z})$ подмножество $R^{d}$, для точек $(t, \mathbf{x})$ которого $t \geqslant T, \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} \geqslant \mathbf{z}^{2}$. Геометрически $B$ представляет собой бесконечный «брус», сечением которого является положительный квадрант в плоскости $t$, z и который неограниченно продолжен по двум другим координатам, ортогональным к $z$. Положим
\[
\mathscr{D}_{B}=\text { линейная оболочка }\left\{\left(\varphi(f)^{n}\right)^{\wedge}: f \in \mathscr{S}(B)\right\} .
\]

Предложение 19.6.2. Множество $\mathscr{D}_{B}$ является существенной областью для оператора $H$, состоящей из $C^{\infty}$-векторов.
Доказательство. Любой вектор из области $\mathscr{D}_{B}$ принадлежит образу оператора $e^{-\tau H}$ и, кроме того, $e^{-t H} \mathscr{D}_{B} \subset \mathscr{D}_{B}$. Поэтому достаточно показать, что множество $\mathscr{D}_{\text {в }}$ всюду плотно. Возьмем $\chi \perp \mathscr{D}_{\text {в }}$ и определим
\[
F(t, \mathbf{x})=\left\langle\chi, e^{-t H+i \mathbf{x} \cdot \mathbf{P}} \varphi(g)^{n}\right\rangle \equiv\langle\chi, \psi\rangle,
\]

где $g \in \mathscr{S}+\cap C_{0}^{\infty}$. Для достаточно больших $t$ и х.z функция $\psi$ лежит в $\mathscr{D}_{B}$ и $F(t, \mathbf{x})=0$. Очевидно, что $F$ вещественно аналитична по $t$ при $t>0$, а из следствия 19.5.4 вытекает, что $F$ к тому же вещественно аналитична по х. Поэтому $F \equiv 0$ и, в частности, $F(0,0)=0$. В силу оценки (19.1.1), можно просуммировать ряд для экспоненты $\left(e^{\varphi(g)}\right)^{-}$, а это значит, что $\chi \perp\left(e^{\varphi(g)}\right)^{-}$.

Так как эти векторы порождают пространство $\mathscr{C}$, то $\chi=0$ и, следовательно, $\mathscr{D}_{\text {в }}$ всюду плотно.
Предложение 19.6.3. Пусть функции $f, g \in C_{0}^{\infty}$ имеют пространственно-подобные носители. Тогда для определенного выше множества В верно равенство $\left[\varphi_{M}(f), \varphi_{M}(g)\right] \mathscr{D}_{B}=0$.
Zказательство. Рассмотрим функции Швингера
\[
S_{n+2}\left(\theta f_{1}, \ldots, \theta f_{r}, x, y, f_{r+1}, \ldots, f_{n}\right)=S_{n+2}\left(\theta f_{1}, \ldots, \theta f_{r}, y, x, f_{r+1}, \ldots, f_{n}\right),
\]

где носители функций $f_{j}$ лежат в множестве $B(T, \mathbf{z})$. Выберем $\mathbf{z}$ достаточно большим и таким, что ни одна точка множества $B \cup \theta B$ не лежит в полосе, ограни๒нной двумя гиперплоскостями, перпендикулярными к разности $\mathbf{x}-\mathbf{y}$ и проходящими соответственно через точки $x$ и $y$. Тогда применимо предложение 19.5 .7 i, значит, функция Швингера (19.6.1) аналитична по $x-y$ для вещественных $\mathrm{x}-\mathrm{y}$ и $\left|x_{0}-y_{0}\right|<|\mathbf{x}-\mathrm{y}|$. Рассмотрим (19.6.1) при чисто мнимых значениях $x_{0}=i t, y_{0}=i$ s. (Заметим, что можно выбрать одно и то же множество $B$ для всех $x \in \operatorname{supp} f, y \in \operatorname{supp} g$.) Умножим это равенство на $f(x) g(y)$ и проннтегрируем по $x$ и $y$. После этого, аналитически продолжив равенство (19.6.1), получим, что для любых векторов $\theta_{1}, \theta_{2} \in \mathscr{D}_{B}$ справедливо соотношение
\[
\left\langle\theta_{1},\left[\varphi_{M}(f), \varphi_{M}(g)\right] \theta_{2}\right\rangle_{\mathscr{O}}=0 .
\]

Заметим, что ограничение $|t-s|<|\mathbf{x}-\mathbf{y}|$ и есть условне того, что носители функций $f$ и $g$ пространственно-подобны.
Доказательство теоремы 19.6.1. Согласно предложению 19.6 .2 и теоремам 19.4.1, $19.4 .3, \mathscr{D}_{B}$ является существенной областью операторов $\varphi_{M}(f), \varphi_{M}(g)$ и принадлежит области определения их произведения. Возьмем $f, g \in C_{0}^{\infty}$ вещ и примеиим предложение 19.6.3. По теореме 19.4.4 (в которой $\mathscr{D}_{B}$ рассматривается в качестве области определения) верно утверждение (i) теоремы 19.6.1. Так как элементы $\mathscr{D}$ – это $C^{\infty}$-векторы для любых произведений полевых операторов, то утверждения (ii) и (iii), верные для функций $f, g \in C_{0}^{\infty}$, продолжаются по непрерывности на случай функций $f, g \in \mathscr{P}$. Еще раз применяя теорему 19.4 .4 , получим свойство (i).

Заметим теперь, что к этому моменту мы доказали теоремы $6.1 .5-6$, за исключением утверждений о единственности вакуума (аксиомы Вайтмана) и неприводимости (аксиомы Хаaга-Kастлера). Эти свойства анализируются ниже.