Тщательное экспериментальное измерение, проведенное Кушем (Kusch) в 1947 г., показало, что в действительности $g$ отличается, хотя и очень мало, от 2 , а именно $x \equiv(g-2) / 2=0,001$. Величина $x=x_{э л}$, характеризующая разность между истинным значением $g$ и значением, предсказываемым теорией Дирака, называется аномалией магнитного момента. В настоящее время величина этой аномалии, полученная в результате вычислений, совпадает с измеренной величиной вплоть до 8-го десятичного знака у $x$ и 11 -го y g. Такое блестящее совпадение заслуживает специального обсуждения. В экспериментах Демелта и его сотрудников [van Dyke
et al., 1979] изучался изолированный электрон в «магнитной бутылке» и было измерено значение аномалии:
\[
\chi_{\text {эксп }}=0,001159652200(40) .
\]

Число в скобках указывает возможную неточность в последних разрядах.

В действительности каждая элементарная диракова частица (т. е. частица с волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Дирака), у которой удается достаточно точно измерить величину $g$, обнаруживает собственную аномалию. Аномалия для мюонов согласуется с вычислениями почти так же хорошо, как и электронная аномалия $\chi_{э л}$. Протон имеет намного большую аномалию, примерно 1,8 , и нет надежного теоретического подсчета для этого значения. Даже нейтрон имеет магнитный момент (примерно равный аномальному магнитному моменту протона, взятому с обратным знаком) ${ }^{1}$ ). Аномальные моменты отражают сложную внутреннюю структуру этих элементарных частиц.

При построении теории, объясняющей аномалию $\chi_{э л}$, необходимо вместо теории Дирака, описывающей отдельный свободный электрон, рассматривать квантовое поле. В § 15.3 мы нашли значение $g$, изучая решения (линейного) уравнения Дирака для волновой функции $\psi$ и отвечающего ей тока $J_{\mu}$ в случае электрона, помешенного во внешнее электромагнитное поле с потенциалом $A_{\mu}$. Можно считать, что аномалия $x$ связана с тем, что выражение для тока $J_{\mu}$ изменяется вследствие взаимодействия с электромагнитным полем. Таким образом, нужно рассматривать нелинейную систему уравнений Максвелла-Дирака, в которой $A_{\mu}$ и $\psi$ считаются неизвестными.

Так как предыдущие вычисления с фиксированным $A_{\mu}$ дают значение $g$ с точностью до $0,1 \%$, ямеет смысл вычислять $g$ в предположении, что
\[
A_{\mu}=A_{\mu}^{\text {внеш }}+\delta A_{\mu},
\]

где $A_{\mu}^{\text {внеш }}$ фиксировано, как и ранее, а $\delta A_{\mu}$ – поправка. При этом поправка $x$ к $g=2$ разлагается в ряд по степеням $\delta A_{\mu}$. Поскольку нелинейность системы уравнений Максвелла – Дирака связана со взаимодействием $J_{\mu} A_{\mu}=O(e)$, ряды теории возмущений для $x$ являются рядами по степеням электрического заряда $e$. Фактически в разложение входят только степени $e^{2}$, поэтому обычно эти ряды выражают через постоянную тонкой структуры $\alpha$. Хотя ожидается, что ряды расходятся, первые члены принимают малые значения и дают для $x$ значение, близкое к (15.4.1).

На самом деле в настоящее время нет полной ясности даже в вопросе о том, являются ли эти ряды теории возмущений асимп-
1) Имеется в виду величина магнитного момента, выраженная в ядерных магнетонах $\mu_{l}=e \hbar /\left(2 m_{p} c\right)$, где $m_{p}$ – масса протона.-Прим. перев.
тотическими рядами точной теории (как это было в ч. II для рядов $\lambda P(\varphi)$-моделей, которые являются асимптотическими, но не сходятся вблизи $\lambda=0$ ). Таким образом, остается пока загадкой, существует или нет электродинамика как математическая теория, например в том же смысле, что для моделей теории поля в размерности $d<4$, построенных в гл. $7-12$, или, другими словами, является ли электродинамика сама по себе (без учета сильных, а возможно, и слабых взаимодействий) самосогласованной теорией. Подобные трудности не возникают в неабелевых калибровочных теориях, поэтому теория электронов и протонов, рассматриваемых вместе с кварками и глюонами, стоит на более прочном фундаменте, чем теория электронов и протонов, изолированных от остальной материи.

Возвращаясь к аномалии, отметим, что Швингер вычислил $x$ в первом порядке по $\alpha$ в 1947 г. и нашел значение $\quad x=\frac{1}{2}(\alpha / \pi)=$ $=0,001159$. Сейчас лучшее теоретическое значение $x$ найдено в третьем порядке по $\alpha$ ([Levine, Roskies, 1976], [Kinoshita, 1979]):
\[
x_{\text {reop }}=\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)+0,328478966\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{2}+1,1835(61)\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{3} .
\]

Здесь неопределенность в последних знаках связана с неточностью численного интегрирования. Использование $\alpha^{-1}=137,035963$ (15) [Williams, Olsen, 1979] дает
\[
x_{\text {теор }}=0,001159652566 .
\]

Различие между $x_{\text {теор }}$ и $\chi_{\text {эксп }}$ может быть связано с (еще не найденными) поправками порядка $O\left(\alpha^{4}\right)$. (Это различие не снимается рассмотрением эффектов сильного взаимодействия.)

Рис. 15.3. Диаграммы, отвечающие вычислению $g=2(1+O(\alpha))$.
Выражение для $g$ содержит среднее от плотности энергии взаимодействия $J_{\mu}(x) A^{\mu}(x)$ по одноэлектронному состоянию, разложенное в ряд по степеням электрического заряда $e$. Как и в (15.3.4-6), мы можем выделить член, пропорциональный магнитному моменту и имеющий вид $\left\langle\frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{B}\right\rangle$. Значение соответствую. щего коэффициента, взятое при нулевом импульсе, определяет изучаемую величину $g e \hbar / 2 m c=$ $=g \mu_{B}$. Таким образом, $g$ выражается в виде ряда по степеням $e$, полученного из $\langle\mathbf{J} \cdot \mathbf{A}\rangle$ с помощью последовательного интегрирования по частям, т. е. с помощью теории возмущений, аналогичной той, которая рассмотрена в гл. 8 для бозонных моделей.

Вычисления сводятся к суммированию фейнмановых диаграмм. При этом необходимо различать фермионные линии (обозначаемые сплошными линями со стрелками) и фотонные (волнистые) линии. При вычислении $g$ вплоть до первого порядка по $\alpha$ ненулевой вклад вносят лишь две диаграммы, изображенные на рис. 15.3.

Диаграмма (a) дает значение $g=2$; cм. §15.3. Диаграмма (b) вносит вклад $g=\alpha / \pi$, и обе диаграммы вместе приводят к указанной ранее величине $x=\frac{1}{2}(\alpha / \pi)$. См. [Scadron, 1979].