Тщательное экспериментальное измерение, проведенное Кушем (Kusch) в 1947 г., показало, что в действительности $g$ отличается, хотя и очень мало, от 2 , а именно $x\equiv (g-2)/2=0,001$. Величина $x=x_{эл}$, характеризующая разность между истинным значением $g$ и значением, предсказываемым теорией Дирака, называется аномалией магнитного момента. В настоящее время величина этой аномалии, полученная в результате вычислений, совпадает с измеренной величиной вплоть до 8-го десятичного знака у $x$ и 11 -го y g. Такое блестящее совпадение заслуживает специального обсуждения. В экспериментах Демелта и его сотрудников [van Dyke
et al., 1979] изучался изолированный электрон в «магнитной бутылке» и было измерено значение аномалии:
$${\chi }_{\text{эксп }}=0,001159652200(40).$$

Число в скобках указывает возможную неточность в последних разрядах.

В действительности каждая элементарная диракова частица (т. е. частица с волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Дирака), у которой удается достаточно точно измерить величину $g$, обнаруживает собственную аномалию. Аномалия для мюонов согласуется с вычислениями почти так же хорошо, как и электронная аномалия ${\chi }_{эл}$. Протон имеет намного большую аномалию, примерно 1,8 , и нет надежного теоретического подсчета для этого значения. Даже нейтрон имеет магнитный момент (примерно равный аномальному магнитному моменту протона, взятому с обратным знаком) ${}^1$ ). Аномальные моменты отражают сложную внутреннюю структуру этих элементарных частиц.

При построении теории, объясняющей аномалию ${\chi }_{эл}$, необходимо вместо теории Дирака, описывающей отдельный свободный электрон, рассматривать квантовое поле. В § 15.3 мы нашли значение $g$, изучая решения (линейного) уравнения Дирака для волновой функции $\psi$ и отвечающего ей тока $J_{\mu }$ в случае электрона, помешенного во внешнее электромагнитное поле с потенциалом $A_{\mu }$. Можно считать, что аномалия $x$ связана с тем, что выражение для тока $J_{\mu }$ изменяется вследствие взаимодействия с электромагнитным полем. Таким образом, нужно рассматривать нелинейную систему уравнений Максвелла-Дирака, в которой $A_{\mu }$ и $\psi$ считаются неизвестными.

Так как предыдущие вычисления с фиксированным $A_{\mu }$ дают значение $g$ с точностью до $0,1\mathrm{\%}$, ямеет смысл вычислять $g$ в предположении, что
$$A_{\mu }=A_{\mu }^{\text{внеш }}+\delta A_{\mu },$$

где $A_{\mu }^{\text{внеш }}$ фиксировано, как и ранее, а $\delta A_{\mu }$ — поправка. При этом поправка $x$ к $g=2$ разлагается в ряд по степеням $\delta A_{\mu }$. Поскольку нелинейность системы уравнений Максвелла — Дирака связана со взаимодействием $J_{\mu }{A}_{\mu }=O(e)$, ряды теории возмущений для $x$ являются рядами по степеням электрического заряда $e$. Фактически в разложение входят только степени $e^2$, поэтому обычно эти ряды выражают через постоянную тонкой структуры $\alpha$. Хотя ожидается, что ряды расходятся, первые члены принимают малые значения и дают для $x$ значение, близкое к (15.4.1).

На самом деле в настоящее время нет полной ясности даже в вопросе о том, являются ли эти ряды теории возмущений асимп-
1) Имеется в виду величина магнитного момента, выраженная в ядерных магнетонах ${\mu }_l=e\hslash /\left(2m_{p}c\right)$, где $m_p$ — масса протона.-Прим. перев.
тотическими рядами точной теории (как это было в ч. II для рядов $\lambda P(\phi )$-моделей, которые являются асимптотическими, но не сходятся вблизи $\lambda =0$ ). Таким образом, остается пока загадкой, существует или нет электродинамика как математическая теория, например в том же смысле, что для моделей теории поля в размерности $d<4$, построенных в гл. $7-12$, или, другими словами, является ли электродинамика сама по себе (без учета сильных, а возможно, и слабых взаимодействий) самосогласованной теорией. Подобные трудности не возникают в неабелевых калибровочных теориях, поэтому теория электронов и протонов, рассматриваемых вместе с кварками и глюонами, стоит на более прочном фундаменте, чем теория электронов и протонов, изолированных от остальной материи.

Возвращаясь к аномалии, отметим, что Швингер вычислил $x$ в первом порядке по $\alpha$ в 1947 г. и нашел значение $x=\frac{1}{2}(\alpha /\pi )=$ $=0,001159$. Сейчас лучшее теоретическое значение $x$ найдено в третьем порядке по $\alpha$ ([Levine, Roskies, 1976], [Kinoshita, 1979]):
$$x_{\text{reop }}=\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)+0,328478966{\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}^2+1,1835(61){\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}^3.$$

Здесь неопределенность в последних знаках связана с неточностью численного интегрирования. Использование ${\alpha }^{-1}=137,035963$ (15) [Williams, Olsen, 1979] дает
$$x_{\text{теор }}=0,001159652566.$$

Различие между $x_{\text{теор }}$ и ${\chi }_{\text{эксп }}$ может быть связано с (еще не найденными) поправками порядка $O\left({\alpha }^4\right)$. (Это различие не снимается рассмотрением эффектов сильного взаимодействия.)

Рис. 15.3. Диаграммы, отвечающие вычислению $g=2(1+O(\alpha ))$.
Выражение для $g$ содержит среднее от плотности энергии взаимодействия $J_{\mu }(x)A^{\mu }(x)$ по одноэлектронному состоянию, разложенное в ряд по степеням электрического заряда $e$. Как и в (15.3.4-6), мы можем выделить член, пропорциональный магнитному моменту и имеющий вид $⟨\frac{1}{2}\mathit{\sigma }\cdot \mathbf{B}⟩$. Значение соответствую. щего коэффициента, взятое при нулевом импульсе, определяет изучаемую величину $ge\hslash /2mc=$ $=g{\mu }_B$. Таким образом, $g$ выражается в виде ряда по степеням $e$, полученного из $⟨\mathbf{J}\cdot \mathbf{A}⟩$ с помощью последовательного интегрирования по частям, т. е. с помощью теории возмущений, аналогичной той, которая рассмотрена в гл. 8 для бозонных моделей.

Вычисления сводятся к суммированию фейнмановых диаграмм. При этом необходимо различать фермионные линии (обозначаемые сплошными линями со стрелками) и фотонные (волнистые) линии. При вычислении $g$ вплоть до первого порядка по $\alpha$ ненулевой вклад вносят лишь две диаграммы, изображенные на рис. 15.3.

Диаграмма (a) дает значение $g=2$; cм. §15.3. Диаграмма (b) вносит вклад $g=\alpha /\pi$, и обе диаграммы вместе приводят к указанной ранее величине $x=\frac{1}{2}(\alpha /\pi )$. См. [Scadron, 1979].