Рассмотрим периодические граничны условия с периодом $L \equiv$ $\equiv\left(L_{1}, \ldots, L_{d}\right), L_{j} \in Z_{+}$. Тогда функции $f$ из области определения оператора Лапласа $\Delta_{p}$ удовлетворяют равенству $f(x)=f\left(x+n_{L}\right)$, где $n_{L}=\left\{n_{j} L_{j}: j=1,2, \ldots, d\right\} \in Z^{d}$. В случае $d=2$, например, граничные условия задаются на совокупности $\Gamma$ ребер решетки, лежащих на границе конгруэнтных прямоугольников $L_{1} \times L_{2}$, которые образуют «паркетное» покрытие плоскости $R^{2}$.
Предложение 7.3.1. При $m>0$ для ковариации, отвечающей периодическим граничным условиям, справедлива формула
\[
C_{p}(x, y)=\sum_{n_{L} \in Z^{d}} C\left(x-y+n_{L}\right) .
\]

Бесконечный период $L_{j}=\infty$ означает отсутствие граничных условий в направлении $j$-й координатной оси. Ряд (7.3.1) расходится при $m=0$, а основанные на нем оценки неравномерны при $m L_{j} \rightarrow 0$. По этой причине мы предполагаем, что $m L_{j}$ отделено от нуля. То же ограничение вводится при рассмотрении ковариационных операторов с граничными условиями Дирихле и Неймана.
Доказательство. Ряд сходится экспоненциально в силу оценки (7.2.3). Қак видно из (7.3.1), сумма $C_{p}$ является периодической функцией. Каждый куб укрупненной решетки (т. е. вымощенной кубами с ребром $L$ ) содсржит единственный вектор $n_{L}$. Поэтому ( $\left.-\Delta+m^{2}\right) C_{p}=\sum_{n_{L}} \delta\left(x-y+n_{L}\right)$. Следовательно, в силу единственности решения линейной граничной задачи, $C_{p}$ является периодической ковариацией.
Следствие 7.3.2. Периодическая ковариация $C_{p}$ обладает следующими свойствами:
(a) $C_{p}$ – положительный оператор в пространстве $\left.L_{2}{ }^{1}\right)$;
(b) $0<C(x, y)<C_{p}(x, y)=C_{p}(y, x)$;
(c) если произведение $m|x-y|$ близко к нулю, то
\[
C_{p}(x, y) \sim\left\{\begin{array}{lll}
|x-y|^{-d+2} & \text { пр } & d \geqslant 3, \\
-\ln (m|x-y|) & \text { при } & d=2 .
\end{array}\right.
\]

Доказательство. Свойство положительности оператора $C_{p}$ в пространстве $L$ следует из того, что после преобразования Фурье оператор $C_{p}$ становится оператором умножения на ( $\left.p^{2}+m^{2}\right)^{-1} \geqslant 0$. Свойства (b) и (c) вытекают из формулы (7.3.1) и предложения 7.2.1
1) Этот оператор следует рассматривать в пространстве функций, определенных на кубе. — Прим. ред.