Корреляционные неравенства и теорема Ли-Янга обобщаются на случай векторнозначных спинов. Мы приведем простейшие результаты, относящиеся к системе с двухкомпонентными спинами $\xi_{i}=\left(\xi_{i}, \xi_{i}^{2}\right)$. Пусть $\xi_{i} \cdot \xi_{j}=\sum_{a=1}^{2} \xi_{i}^{a} \cdot \xi_{j}^{a}$. Рассмотрим систему с гамильтонианом
\[
H=-\sum_{i, j} J_{i j} \xi_{i} \xi_{j}-\sum_{i} \mathbf{h}_{i} \cdot \xi_{i},
\]
где $0 \leqslant J_{i j}, h_{i}^{a}$. В случае $\mathbf{h}_{i}=0$ взаимодействие (4.7.1) инвариантно относительно одновременного $S O(2)$-поворота всех спиновых векторов $\xi_{i}$. В качестве распределения отдельного спина выберем $S O(2)$-инвариантную меру
\[
d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)=e^{-P_{i}\left(\xi_{i}\right)} d \xi_{i}^{1} d \xi_{i}^{2}
\]
где
\[
P_{i}\left(\xi_{i}\right)=\lambda_{i}\left(\xi_{i} \cdot \xi_{i}\right)^{2}+\sigma_{i}\left(\xi_{i} \cdot \xi_{i}\right), \quad \lambda_{i}>0 \text { или } \lambda_{i}=0, \quad \sigma_{i}>0 .
\]
Предельным случаем является модель ротаторов с мерой
\[
d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)=\delta\left(\left|\xi_{i}\right|^{2}-1\right) d \xi_{i}^{1} d \xi_{i}^{2} .
\]
Введем переменные
\[
t_{i}=\xi_{i}^{1}, \quad q_{i}=\xi_{i}^{2}
\]
и, как и раньше, $t^{A}=\prod_{i \in A} t_{i}$ и т. д.
Теорема 4.7.1. Для системы с гамильтонианом вида (4.7.1) и распределением отдельного спина (4.7.2-3) верны неравенства:
\[
\begin{array}{r}
\left\langle t^{A} q^{B}\right\rangle \geqslant 0, \\
\left\langle t^{A} t^{B}\right\rangle-\left\langle t^{A}\right\rangle\left\langle t^{B}\right\rangle \geqslant 0, \\
\left\langle q^{A} q^{B}\right\rangle-\left\langle q^{A}\right\rangle\left\langle q^{B}\right\rangle \geqslant 0, \\
\left\langle t^{A}\right\rangle\left\langle q^{B}\right\rangle-\left\langle t^{A} q^{B}\right\rangle \geqslant 0 .
\end{array}
\]
Докавательство. В переменных $t, q$
\[
\begin{array}{c}
H=-\sum_{i, j} J_{i j}\left(t_{i} t_{j}+q_{i} q_{j}\right)-\sum_{i}\left(h_{i}^{1} t_{i}+h_{i}^{2} q_{i}\right), \\
P\left(\xi_{i}\right)=\lambda_{i}\left(t_{i}^{2}+q_{i}^{2}\right)^{2}+\sigma\left(t_{i}^{2}+q_{i}^{2}\right)=\lambda_{i}\left(t_{i}^{4}+q_{i}^{4}+2 t_{i}^{2} q_{i}^{2}\right)+\sigma\left(t_{i}^{2}+q_{i}^{2}\right) .
\end{array}
\]
Неравенство (4.7.5) доказывается, как и неравенства Гриффитса, с помощью разложения $e^{-H}$ в степенной ряд. Для доказательства (4.7.6–8) введем переменные $\xi_{i}^{\prime}$, дополнительные к $\xi_{i}$, или, другими словами, переменные $t_{i}^{\prime}, q_{i}^{\prime}$, дополнительные к $t_{l}, q_{l}$. Определим $\alpha_{l}, \beta_{l}, \gamma_{i}, \delta_{i}$ формулами (4.3.2). Тогда, как и для (4.3.5), гамильтониан
\[
H(\mathbf{\xi})+H\left(\xi^{\prime}\right)=-\sum J_{t_{j}}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}+\ldots+\delta_{i} \delta_{j}\right)-2^{1 / 2} \sum\left(h_{i}^{1} \alpha_{i}+h_{i}^{2} \gamma_{i}\right)
\]
является ферромагнитным по переменным $\alpha, \beta, \gamma, \delta$. Используя (4.7.10), получаем, что
\[
P(\boldsymbol{\xi})+P\left(\boldsymbol{\xi}^{\prime}\right)=\text { четный полином }-4 \lambda \alpha \beta \gamma \delta,
\]
т. е. нмеет вид четного полинома с ферромагнитной добавкой. Далее доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 4.3.1 и следствия 4.3.2.
Частным случаем доказанных неравенств являются следующие два неравенства.
Следствие 4.7.2. Для системы (4.7.1-3)
\[
\begin{array}{c}
\left\langle\left(\prod_{i \in A} \xi_{i}^{1}\right)\left(\prod_{j \in B} \xi_{j}^{2}\right)\right\rangle \geqslant 0, \\
\left\langle\xi_{i} \cdot \xi_{j}\right\rangle-\left\langle\xi_{i}\right\rangle \cdot\left\langle\xi_{j}\right\rangle \geqslant 0 .
\end{array}
\]
