Мы определим полевые операторы $\Phi(f)$ для вещественных значений времени и установим их свойства как операторов на пространстве $\mathscr{H}$. На множестве $\mathscr{D}\left(H^{1 / 2}\right)$ билинейная форма
\[
\Phi(h, t)=e^{i t H} \Phi(h) e^{-i t H}
\]
непрерывна по $t$, поэтому можно определить так называемое поле Минковского
\[
\varphi_{M}(f)=\int \Phi\left(f^{(t)}, t\right) d t,
\]
где $f^{(t)}(\mathrm{x}) \equiv f(\mathrm{x}, t) \in \mathscr{P}\left(R^{d-1}\right)$ для функции $f \in \mathscr{P}\left(R^{d}\right)$.
Теорема 19.3.1. Предположим, что функционал $S\{f\}$ удовлетворяет аксиомам OS 0-3. Тогда для произвольной функции $f \in$ $\in \mathscr{P}\left(R^{d}\right)_{\text {вещ билинейная форм }}$ фора (19.3.2) однозначно определяет самосопряжнный оператор $\varphi_{M}(f)$ на пространстве $\mathscr{H}$, который, кроме того, существенно-самосопряжен на любой существенной области оператора Н. Более того,
\[
\begin{array}{c}
\left\|(H+I)^{-1 / 2} \varphi_{M}(f)(H+I)^{-1 / 2}\right\| \leqslant \text { const } \int\left\|f^{(t)}\right\| d t, \\
\varphi_{M}(f): \mathscr{D}\left(H^{n}\right) \rightarrow \mathscr{D}\left(H^{n-1}\right), \\
{\left[i H, \varphi_{M}(f)\right]=\varphi_{M}(\partial f / \partial t) \quad \text { на } \mathscr{D}\left(H^{2}\right) .}
\end{array}
\]
Доказательство. Оценка (19.3.3) для $\varphi_{M}(f)$ как билинейной формы вытекает из следствия 19.2.3, соотношение (19.3.5) — из неравенства (19.3.3). Остальные утверждения вытекают из приведенных ниже теорем 19.4.1-3.
Следствие 19.3.2. Функции Вайтмана
\[
W_{n}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right) \equiv\left\langle\Omega, \varphi_{M}\left(f_{1}\right) \ldots \varphi_{M}\left(f_{n}\right) \Omega\right\rangle
\]
существуют и являются обобщенными функциями умеренного роста (т. е. принадлежат пространству $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{\text {nd }}\right)$ ).
Доказательство. Так как $H \Omega=0$, то $\Omega \in \bigcap_{n} \mathscr{D}\left(H^{n}\right)$, т. е. $\Omega$ является $C^{\infty}$-всктором для оператора $H$. В силу соотношения (19.3.4) и индукции по $j$, моном $\varphi_{M}\left(f_{1}\right) \ldots \varphi_{M}\left(f_{i}\right) \Omega$ тоже является $C^{\infty}$-вектором для $H$. В частности, выражение (19.3.6) определено и ограничено произведением норм, как это следует из оценки $(19.3 .3)$.
Пусть $\mathscr{D} \subset \mathscr{H}$ обозначает линейную оболочку векторов вида $\varphi_{M}\left(f_{1}\right) \ldots \varphi_{M}\left(f_{n}\right) \Omega$, где $f_{j} \in \mathscr{S}\left(R^{d}\right)_{\text {вещ. }}$.
Теорема 19.3.3. Множество $\mathscr{D}$ плотно в пространстве $\mathscr{H}$.
Доказательство. Напомним, что пространство $\mathscr{C}$ порождено векторами вида ${ }^{\wedge}\left(e^{i \varphi(f)}\right)=\left(e^{i \varphi(f)}\right)^{\wedge} \Omega, \quad$ где $f \in \mathscr{P}_{+} . \quad$ Используя предложение 19.1.2, можно без ограничения общности рассматривать только функции вида $f=\sum_{j=1}^{n} h_{j} \otimes \alpha_{f}$, где $f_{j}=h_{j} \otimes \alpha_{i} \in \mathscr{P}(0, t)$. Сначала выберем функции $\alpha_{i}$ так, что $t_{j} \in \operatorname{supp} \alpha_{i}$, где $0<t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n}<t$. Для вещественного числа $s$ определим вектор
\[
\begin{array}{l}
\times \varphi_{M}\left(f_{n}\right) \Omega d t_{1} \ldots d t_{n} \in \mathscr{D} . \\
\end{array}
\]
В силу следствия 10.5 .6 и теоремы 19.3.1, $\theta(s)$ совпадает с граничными значениями аналитической функции от $s$, определенной в подпространстве $\operatorname{Im} s>0$. Если функция $\chi$ ортогональна множеству $\mathscr{D}$, то для вещественного $s$ справедливо равенство $\langle\chi, \theta(s)\rangle=0$ и, значит, $\langle\chi, \theta(s=i)\rangle=0$, т. е.
\[
0=\int\left\langle\chi, e^{-t_{1} H_{\varphi}}\left(h_{1}, 0\right)^{\wedge} e^{-\left|t_{1}-t_{2}\right| H_{\varphi}}(h, 0)^{\wedge} \ldots\right\rangle \prod_{j=1}^{n} \alpha_{j}\left(t_{j}\right) d t_{j} .
\]
Как следует из предложения 19.1.2, выражение (19.3.8) непрерывно зависит от $\alpha_{j}$, и, таким образом, равенство (19.3.8) останется справедливым, если мы сдвинем носители функций $\alpha_{i}$ так, что они будут пересекаться. Поэтому $0=$ $\left\langle\chi,\left(\varphi(f)^{n}\right)^{\wedge} \Omega\right\rangle$.
Снова воспользовавшись оценкой (19.1.3), можно просуммировать степенной ряд и получить равенство $\left\langle\chi,\left(e^{i \varphi(f)}\right)^{-} \Omega\right\rangle=0$. Следовательно, $\chi=0$ и множество $\mathscr{D}$ всюду плотно.
Следствие 19.3.4. Оператор $\varphi_{M}$, рассматриваемый на области $\mathscr{D}$, суиественно-самосопряжен.
Доказательство. Теорема утверждает, что $\mathscr{D}$ плотно в $\mathscr{C}$. Заметим, что $e^{i t н}$ : $\mathscr{D} \rightarrow \mathscr{D}$ и, в силу соотношения (19.3.4), $\mathscr{D} \subset\left(\bigcap_{n} \mathscr{D}\left(H^{n}\right)\right)$. Значит, $\mathscr{D}-$ существенная область определения для оператора $H$, а по теореме 19.3 .1 и для оператора $\varphi_{M}(\hat{f})$.
