Наиболее важные физические аспекты квантовой механики — это интерпретация гамильтониана $H$ и предсказание о рассеянии частиц. В противоположность классическому гамильтониану, который всегда принимает непрерывное множество значений, квантовомеханический гамильтониан может иметь как дискретный, так и непрерывный спектр. При этом дискретные собственные значения соответствуют связанным состояниям системы, т. е., грубо говоря, тем, которые описывают движение частиц, постоянно находяцихся в ограниченной области пространства. Непрерывному спектру соответствуют состояния рассеяния, которые описывают неогранченное разлетание частиц.

Рассмотрим простой случай (обсуждаемый подробнее в $\$ 1.6$ и 1.7) одной частицы в поле кулонова потенциала $V=-1 / r$. В соответствии с классической механикой эта частица должна двигаться по эллиптической (в случае отрицательной энергии) или по

—————————————————————-
0014ru_fiz_kvan_book28_no_photo_page-0028.jpg.txt

1.5 Простои гармонический осциллятор
27
гиперболической (если энергия положительна) орбите. Согласно же квантовой механике, спектр гамильтоннана состоит из бесконечного набора дискретных собственных значений $E_{n}=-\alpha / n^{2}$, $n=1,2, \ldots$, где $\alpha$ — некоторая константа, и непрерывной части $[0,+\infty)$.

Дискретные собственные значения соответствуют возможным квантовомеханическим связанным состояниям с энергиями $E_{n}$. Собственный вектор, отвечающий уровню энергии $E_{1}$, называется основным состоянием, а собственные векторы, отвечающие уровням $E_{2}, E_{3}, \ldots$, — соответственно вторым, третьим и т. д. возбужденными состояниями. В отсутствие внешних сил (например, электромагнитного поля) возбужденные состояния устойчивы, а при наличии внешних полей они, вообще говоря, становятся неустойчивыми. В качестве упрощенного примера рассмотрим взаимодействие частицы с внешним полем, в результате которого состояние с собственным значением $E_{m}$ переходит в состояние с собственным значением $E_{n}$. В случае атома, взаимодействующего подобным образом с электромагнитным полем, происходит либо излучение света, т. е. фотона с частотой $v=\left(E_{m}-E_{n}\right) / \hbar$, если $E_{n}<E_{m}$, либо, наоборот, поглощение фотона такой частоты, если $E_{n}>E_{m}$. Наблюдаемые частоты излучения или поглощения всегда пропорциональны разностям уровней энергии в спектре гамильтониана $H$. До создания квантовой механики тот факт, что наблюдаемые спектральные линии могут быть представлены как разности уровней энергии, был известен и назывался принциом Ритца.

Состояния с положительной энергией, или состояния рассеяния, описывают рассеяние квантовомеханической частицы в поле притягивающего потенциала. Под воздействием внешнего возмущения частица может захватываться силовым центром и переходить из состояния с положительной энергией в состояние с энергией $E_{n}<0$. Такой захват частицы сопровождается излучением фотонов, у которых наблюдаемые частоты и энергии заполняют непрерывный диапазон значений.