В этом параграфе мы будем рассматривать статистическую сумму
\[
Z_{B}(\Lambda)=\int \exp \left(-: V:_{C_{B}}\right) d \varphi_{C_{B}}
\]

и свободную энергию
\[
\alpha^{B}(\Lambda)=\left(\ln Z_{B}(\Lambda)\right) /|\Lambda| .
\]

Здесь, как и в гл. $7,8, B=\varnothing, N, \Gamma, D, p$ обозначает граничные условия (соответственно свободные, Неймана, Дирихле или периодические), определяющие ковариационный оператор $C_{B}$, а $V=\int_{\Lambda} P(\varphi(x)) d x$. Мы будем считать, что константы связи удовлетворяют условиям $(8.6,2,4)$. В случаях $N, D$ и $p$ предполагается, что имеется решетка в $R^{2}$ и граничные условия задаются на всех ее линиях, а в случае $\Gamma$, где $\Gamma$-часть этой решетки, только на линиях Г.

Предложение 10.3.1 (Обусловленность). Пусть $\Lambda$ фиксировано $u \Gamma_{1} \subset \Gamma_{2}$. Тогда
\[
Z_{D} \leqslant Z_{\Gamma_{2}} \leqslant Z_{\Gamma_{1}} \leqslant Z_{\emptyset} \leqslant Z_{N}, \quad Z_{D} \leqslant Z_{p} \leqslant Z_{N} .
\]

Доказательство. Мы докажем второе неравенство: первое и третье являются частными случаями второго, а остальные доказываются аналогично. Пусть $C(t)=t C_{\Gamma_{1}}+(1-t) C_{\Gamma_{2}}$ и $Z(t)=\int \exp \left(-: V:_{C(t)}\right) d \varphi_{C(t)}$. Тогда $\dot{C}(t)=C_{\Gamma_{1}}-$ $-C_{\Gamma_{2}} \geqslant 0$ по неравенству (7.7.4), и, следовательно, $d Z(t) / d t \geqslant 0$ в силу (9.1.35).

Заметим, что $Z_{D}$ и $Z_{N}$ представляются в виде произведения, т. е. расщепляются, причем каждый множитель отвечает некоторому квадрату решетки $\Delta \subset \Lambda$ :
\[
\begin{array}{c}
Z_{D}(\Lambda)=\prod_{\Delta \subset \Lambda} Z_{D}(\Delta) . \\
Z_{N}(\Lambda)=\prod_{\Delta \subset \Lambda} Z_{N}(\Delta) .
\end{array}
\]

Следствие 10.3.2. Предположим, что коэффициенты $f$ полинома взаимодействия $P$ на каждом квадрате решетки $\Delta$ имеют конечные нормы $N(f)$ и $M(f)$, определенные в (8.6.5-6). Пусть, кроме того, эти нормы равномерно ограничены по $\Delta$. Тогда
\[
e^{-O(|\Lambda|)} \leqslant Z_{B}(\Lambda) \leqslant e^{O(|\Lambda|)}
\]

и свободная энергия (10.3.1) равномерно ограничена при всех $\Lambda$.
Доказательство. Оценка сверху вытекает из оценки сверху для $Z_{N}$ в тсореме 8.6.2 и из (10.3.4). Пусть $f_{0}$ в (8.6.2) есть константа связи, отвечающая свободному члену полинома $P$. Тогда из (8.6.4) и предположения о равномерной ограниченности норм следует, что $\left|\int f_{0} d x\right| \leqslant$ const $|\Lambda|$. Положим $V_{1}=V-\int f d x$, так что $\int: V_{1}:_{C_{B}} d \varphi_{C_{B}}=0$. Для функции
\[
F_{B}(s)=\int \exp \left(-s \cdot V_{1}: C_{B}\right) d \varphi_{C_{B}}
\]

имеем $F_{B}(0)=1, F_{B}^{\prime}(0)=0, F_{B}^{\prime \prime}(s) \geqslant 0$. Следовательно, $F_{B}(s) \geqslant 1$ и
\[
\exp \left(-\int f_{0} d x\right) \leqslant \exp \left(-\int f_{0} d x\right) F_{D}(1)=Z_{D}(\Lambda) .
\]

Замечание 1. Пусть $: V:_{C_{B}}=\sum_{j=0}^{n}: \varphi^{t}\left(f_{j}\right):_{c_{B}}=: P(\varphi, f):{ }_{C_{B}}$. Из приведенного выше доказательства следует, что
\[
\exp \left(-\int f_{0} d x\right) \leqslant \int \exp \left(-: P(\varphi, f):_{C_{B}}\right) d \varphi_{C_{B}} \equiv Z_{B}(f) .
\]

Замечание 2. Рассмотрим случай, когда оператор $C_{B^{\prime}}$, определяющий виково упорядочение в $P$, отличен от ковариационного оператора меры $d \varphi_{C_{B}}$. Пусть $T$ – преобразование викова переОбозначим $\chi_{\Delta}$ характеристическую функцию квадрата решетки $\Delta$ и положим $f \chi_{\Delta} \equiv\left\{f_{i} \chi_{\Delta}\right\}$. Поскольку преобразование $T$ локально, $T\left(f \chi_{\Delta}\right)=(T f) \chi_{\Delta}$. Қак вытекает из доказанного предложения,
\[
\prod_{\Delta} Z_{D}\left(T f \chi_{\Delta}\right) \leqslant \int \exp \left(-: P(\varphi, f):_{C_{B^{\prime}}}\right) d \varphi_{C_{B}} \leqslant \prod_{\Delta} Z_{N}\left(T f \chi_{\Delta}\right) .
\]

Предположим далее, что $C_{B}, C_{B^{\prime}}$ принадлежит классу $\mathscr{C}_{m}^{M}$, определенному в $\S 7.9$, и что
\[
m+(M / m)+n+\sup _{\Delta} N\left(f \chi_{\Delta}\right)+\sup _{\Delta} M\left(f \chi_{\Delta}\right) \leqslant K .
\]

Тогда
\[
\exp (-\operatorname{const}|\Lambda|) \leqslant \int \exp \left(-: P(\varphi, f): c_{B^{\prime}}\right) d \varphi_{C_{B}} \leqslant \exp (\text { const }|\Lambda|),
\]

причем константы зависят только от $K$.

Гл. 10. Оценки, не зависяцие от размерности
Рассмотрим теперь свободную энергию (10.3.1). Пусть $B=$ $=\partial \Lambda, D$ и $B=\partial \Lambda, N$ – граничные условия Дирихле или Неймана, заданные на границе прямоугольника $\Lambda$.
Предложение 10.3.3. Свободные энергии $P(\varphi)_{2}$-моделей, отвечающих различным граничным условиям (Дирихле, свободным, Неймана) на границе прямоугольника $\Lambda$, удовлетворяют неравенствам
\[
\alpha^{\partial \Lambda, D}(\Lambda) \leqslant \alpha^{\varnothing}(\Lambda) \leqslant \alpha^{\partial \Lambda, N}(\Lambda) .
\]

Кроме того, $\alpha^{\partial \Lambda, D}(\Lambda)$ и $\alpha^{\partial \Lambda, N}(\Lambda)$ сходятся при $\Lambda \uparrow R^{2}$.
Замечание. В действительности указанные пределы совпадают. Для предельных свободных энергий $\alpha^{D}, \alpha^{\varnothing}, \alpha^{N}$ имеет место равенство $\alpha^{D}=\alpha^{\varnothing}=\alpha^{N}$ [Guerra, Rosen, Simon, 1976].
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда $\Lambda_{1}$ есть объединение $n$ непересекающихся областей, полученных сдвигом $\Lambda$. Тогда по неравенству обусловленности (10.3.2)
\[
Z^{\partial \Lambda, D}(\Lambda)^{n}=Z^{\partial \Lambda_{1}, D}\left(\Lambda_{1}\right) \leqslant Z_{\varnothing}\left(\Lambda_{1}\right) \leqslant Z^{\partial \Lambda_{1}, N}\left(\Lambda_{1}\right)=Z^{\partial \Lambda, N}(\Lambda)^{n} .
\]

Прологарифмировав, получаем
\[
\alpha^{\partial \Lambda, D}(\Lambda)=\alpha^{\partial \Lambda_{1}, D}\left(\Lambda_{1}\right) \leqslant \alpha^{\varnothing}\left(\Lambda_{1}\right) \leqslant \alpha^{\partial \Lambda_{1}, N}\left(\Lambda_{1}\right)=\alpha^{\partial \Lambda, N}(\Lambda) .
\]

Перейдем к более общей ситуации. Пусть $\vec{\alpha}=\overline{\lim } \alpha^{\partial \Lambda, D}(\Lambda)$. Для $\varepsilon>0$ выберем $\Lambda$ так, чтобы выполнялось неравенство $\bar{\alpha} \leqslant \alpha^{\partial \Lambda, D}(\Lambda)+\varepsilon$. Если $\Lambda_{1}$ есть объединение $n=n_{x} n_{y}$ непересекающихся сдвигов $\Lambda$ и граничной области, покрываемой $\left(n_{x}+n_{y}+1\right)$ сдвигами, $\Lambda$, то, как и выше,
\[
\alpha^{\partial \Lambda, D}(\Lambda) \leqslant \alpha^{\partial \Lambda_{1}, D}\left(\Lambda_{1}\right)+O(1)\left(n_{x}+n_{y}+1\right) / n_{x} n_{y} .
\]

Пусть $\Lambda$ фиксировано и $\Lambda_{1} R^{2}$. Тогда $n_{x} \rightarrow \infty, n_{y} \rightarrow \infty$ и $\left(n_{x}+n_{y}+1\right) / n_{x} n_{y} \rightarrow 0$. Следовательно,
\[
\tilde{\alpha} \leqslant \alpha^{\partial \Lambda, D}(\Lambda)+\varepsilon \leqslant \alpha^{\partial \Lambda_{1}, D}\left(\Lambda_{1}\right)+2 \varepsilon,
\]

и сходимость доказана. Случай $\alpha^{\partial \Lambda, N}(\Lambda)$ рассматривается аналогично.
10.4 Положительность при отражениях

Мы покажем здесь, что $\theta$-инвариантная мера $\mu$ положительна при отражении $\theta$. Случай неинвариантны мер рассматривается в $\S 10.6$.

Скалярное произведение в гильбертовом пространстве $\mathscr{G}$ определяется билинейной формой
\[
b(A, B)=\langle\theta A, B\rangle_{L_{2}(d \mu)}=\int \overline{\theta A} B d \mu=\langle\widehat{A}, \widehat{B}\rangle_{\mathscr{H}} .
\]

Условие положительности при отражении $\theta$ состоит в том, что

10.4 Положительность при отражениях 221
$b(A, A) \geqslant 0$ для всех $A \in \mathscr{E}_{+}$. В случае квантовых полей $\mathscr{H}$ есть пространство квантовых состояний. В классической статистической механике $\mathscr{H}$ есть пространство, в котором трансфер-матрица действует как самосопряженный оператор. В обоих случаях $\theta$ есть отражение относительно гиперплоскости П. Пространство $\mathscr{E}_{+}$ порождается функционалами $e^{i \varphi(f)}, \quad$ ге $\operatorname{supp} f \subset \Pi_{+} ; \Pi_{ \pm}-$две связные компоненты множества $R^{d} \backslash \Pi$. Мы изучаем здесь $P(\varphi)_{2}$ меры, решеточные поля и модели изингова типа с граничными условиями Дирихле, Неймана или периодическими граничными условиями. Для простоты используются квантовополевые обозначения.

Основным следствием положительности при отражениях является неравенство Шварца:
\[
\begin{aligned}
|b(A, B)| & =\left|\langle\hat{A}, \hat{B}\rangle_{\mathscr{H}}\right| \leqslant\|\hat{A}\|_{\mathscr{H}}\|\hat{B}\|_{\mathscr{H}}= \\
& =b(A, A)^{1 / 2} b(B, B)^{1 / 2},
\end{aligned}
\]

справедливое для всех $A, B \in \mathscr{E}_{+}$.
В гл. 6 было введено преобразование Фурье $S_{\mu}$ меры $d \mu$, заданной на $\mathscr{D}^{\prime}: S_{\mu}\{f\}=\int e^{i \varphi(f)} d \mu(\varphi)$. Отражение $\theta$, как и любой непрерывный изоморфизм $\mathscr{D}^{\prime}$, определяет преобразованную меру $\theta d \mu$ с помощью соотношения
\[
S_{\mu}\left\{\theta^{-1} f\right\}=S_{\theta \mu}\{f\} .
\]

Определение 10.4.1. Мера $d \mu$ называется $\theta$-инвариантной, если
\[
\theta d \mu=d \mu \text {, т. е. } S_{\mu}\{\theta f\}=S_{\mu}\{f\} \text { для всех } f .
\]

Напомним также, что для гауссовой меры со средним нуль и ковариацией $C$ характеристический функционал задается формулой (см. гл. 6)
\[
S_{C}\{f\}=\exp \left(-\frac{1}{2}\langle f, C f\rangle\right)=\int e^{i \varphi(f)} d \varphi_{C}
\]
(в гауссовом случае ковариация однозначно определяет меру). Следовательно, преобразование Фурье новой меры имеет вид
\[
S_{C}\left\{\theta^{-1} f\right\}=\exp \left(-\frac{1}{2}\left\langle\dot{f}, \theta C \theta^{-1} f\right\rangle\right)=S_{\theta C \theta^{-1}}\{f\} .
\]

Таким образом, $\theta d \varphi_{c}$ есть гауссова мера со средним нуль и ковариацией $\theta C \theta^{-1}$, поэтому мера $d \varphi_{C} \theta$-инвариантна тогда и только тогда, когда $[\theta, C]=0$.
Теорема 10.4.2. Пусть мера $d \varphi_{C}$ – $\theta$-инвариантна, а $C=\left(-\Delta_{B}+\right.$ $+I)^{-1}=C_{B}$ – ковариационный оператор с классическими граничными условиями, рассмотренными в § 7.10. Тогда мера $d \varphi$ с удовлетворяет условию положительности относительно отражения $\theta$.
Замечание. Так как оператор $C$ может быть определен на $R^{d}$, на

Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
$T^{d}$ или на $Z^{d}$, то квантовые и решеточные поля, модель Изинга, модель Гейзенберга и т. д. являются частными случаями систем, для которых выполнена теорема 10.4.2.
Доказательство. Из сказанного выше вытекает, что $[\theta, C]=0$. В силу теорем $7.10 .1-3$, ковариационный оператор $C$ положителен при отражении $\theta$. По теореме 6.2 .2 мера $d \varphi$ с также положительна при отражении $\theta$.

Рассмотрим меру $P(\varphi)_{2}$ (или решеточную меру $P(\varphi)_{d}$ ) в конечном объеме с классическими граничными условиямн. Пусть $C_{B}$ – ковариационный оператор с граничными условиями на $\Gamma \supset \partial \Lambda$, где $\Lambda$ – ограниченная область в $R^{2}$, а $\Gamma$, как и в $\$ 7.10$, есть объединение прямолинейных отрезков решетки. Определим следующую меру:
\[
d \mu=d \mu\left(V, \Lambda, C_{B}\right)=Z^{-1} e^{-V(\Lambda)} d \varphi_{C_{B}},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
V(\Lambda)=\int_{\Lambda}: P(\varphi(x)): c_{\varnothing} d x, \\
Z=Z\left(V, \Lambda, C_{B}\right)=\int e^{-V(\Lambda)} d \varphi_{C_{B}} .
\end{array}
\]

Заметим, что $\theta d \mu\left(V, \Lambda, C_{B}\right)=d \mu\left(\theta V, \theta \Lambda, \theta C_{B} \theta^{-1}\right)$. В этом случае $\theta$-инвариантность означает, что выполнены условия $\theta \Lambda=\Lambda$, $\theta V=V$ и $\left[\theta, C_{B}\right]=0$.
Теорема 10.4.3. Если мера $d \mu$, определенная соотношением (10.4.4), $\theta$-инвариантна, то она удовлетворяет условию положительности относительно отражения $\theta$.
Замечание. Так как свойство положительности при отражениях сохраняется после перехода к пределу, то мера в бесконечном объеме $d \mu\left(V, C_{B}\right)$ (в тех случаях, когда она существует) положительна при отражениях.
Доказательство. Перепищем $V(\Lambda)$ в внде $V(\Lambda)=V_{+}+V_{-}$, где
\[
V_{ \pm}=V\left(\Lambda_{ \pm}\right) \quad \text { и } \quad \Lambda_{ \pm}=\Lambda \cap \Pi_{ \pm} .
\]

Таким образом, $\theta V_{ \pm}=V_{\mp}$ и $V=V_{+}+\theta V_{+}$. По теореме 10.4 .2 мера $d \varphi$ с положительна относительно отражения $\theta$. Поэтому и мера $d \mu$ положительна относительно $\theta$, что видно из записи $Z d \mu=\left(\theta e^{-V_{+}}\right) e^{-V_{+}} d \varphi_{C}$.