Мы покажем, что корреляционный радиус обращается в бесконечность при $\sigma \downarrow \sigma_{c}$; мы следуем здесь работе [Baker, 1975]; см. также [J. Rosen, 1980] и [McBryan, J. Rosen, 1976]. Для простоты рассмотрен лишь случай решеточного поля, а величина $m(\sigma)$ (только для нужд этого параграфа) вводится как
\[
m(\sigma)=\lim _{|x-y| \rightarrow \infty}-\frac{\ln \langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle}{|x-y|} .
\]

При $\sigma>\sigma_{c}$ величина $m(\sigma)$ есть масса (наименьшая энергия невакуумного состояния), а при $\sigma \leqslant \sigma_{c}$ она равна нулю.
Теорема 17.5.1. Масса $m(\sigma)$ вида (17.5.1) непрерывна как функция от б. В частности, масса, определенная формулой (17.5.1), стремится к нулю при $\sigma \downarrow \sigma_{c}$.

Определим сначала псевдомассу $\tilde{m}=\tilde{m}(\sigma)$ для параметра $\sigma$, меняющегося в ограниченном интервале, $a \leqslant \sigma \leqslant b$. Пусть $\langle\cdot\rangle_{\alpha, \Lambda}$ обозначает среднее по полю в области $\Lambda \subset R^{d}$. Положим
\[
A=2\left(\sup _{\sigma \Subset[a, b], \Delta \subset R^{d}, x, y \in \Lambda}\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle_{\sigma, \Lambda}\right) .
\]

Верхняя грань конечна и достигается при $\Lambda=R^{d}, \sigma=a, x=y$. Пусть $\tilde{m}=\tilde{m}(x, y, \sigma, \Lambda)$ есть единственное решение уравнения
\[
A \frac{e^{-\tilde{m}|x-y|}}{1+(\tilde{m}|x-y|)^{a}}=\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle_{\sigma, \Lambda^{*}} .
\]

Здесь $\alpha$ – константа, выбранная так, что
\[
d-1 \leqslant \alpha, \quad d / 2<\alpha .
\]

Заметим, что $(d / d x)\left(e^{-x} /(1+|x|)^{\alpha}\right)<0$ при $x>0$, откуда следует, что при $x
eq y$ существует единственное значение $\tilde{m}$. Пусть теперь
\[
\begin{array}{c}
\tilde{m}(\sigma, \Lambda)=\inf _{x
eq y \in \Lambda} \tilde{m}(x, y, \sigma, \Lambda), \\
\tilde{m}(\sigma)=\inf _{\Lambda} \tilde{m}(\sigma, \Lambda)=\lim _{\Lambda \uparrow R^{d}} \tilde{m}(\sigma, \Lambda) .
\end{array}
\]

Лемма 17.5.2. Величина $\tilde{m}(\sigma, \Lambda)$ непрерывна по $\sigma$ и строго положительна для ограниченной связной области $\Lambda$. Кроме того,
\[
\begin{array}{c}
0 \leqslant \tilde{m}(\sigma) \leqslant m(\sigma) \leqslant \text { const } \tilde{m}(\sigma), \\
0=\tilde{m}(\sigma) \quad n p u \quad \sigma<\sigma_{c} .
\end{array}
\]

Доказательство. Величина $\tilde{m}(\sigma, \Lambda)$ строго положительна, поскольку этим свойством обладает $\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle_{\sigma, \Lambda}$. Для того чтобы установить последнее утверждение, разложим в ряд все множители вида $\exp \left[\varphi\left(x_{i}\right) \varphi\left(x_{j}\right)\right]$ в ненормированном среднем $\langle\cdot\rangle_{\sigma, \Lambda}$ (подобное разложение градиентных членов используется также и при кластерных разложениях и при доказательстве неравенств Гриффитса; см. гл. 18). Все члены такого типа неотрицательны, а для связной области $\Lambda$ по крайней мере один из них отличен от нуля.
Оценка $\tilde{m}(\sigma) \leqslant m(\sigma)+\varepsilon$ для произвольного $\varepsilon>0$ вытекает из неравенств
\[
\begin{aligned}
e^{-(m+\varepsilon)|x-y|} & \leqslant(2 A)^{-1}\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle_{\sigma} \leqslant A^{-1}\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle_{\sigma, \Lambda} \leqslant \\
& \leqslant e^{-\tilde{m}|x-y|} /\left[1+(\tilde{m}|x-y|)^{\alpha}\right] \leqslant e^{-\tilde{m}|x-y|} .
\end{aligned}
\]

Здесь $x$ и $y$ выбраны так, чтобы выполнялось первое неравенство; когда $x$ и $y$ заданы, $\Lambda$ выбирается с таким расчетом, чтобы удовлетворялось второе неравенство. Следовательно, $\tilde{m} \leqslant m$. Противоположное неравенство вытекает из того факта, что константа (17.5.1), как следует из вычислений с помощью трансферматрицы, дает экспоненциальную оценку убывания корреляций $\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle$ вида $e^{-m}$ dist, где dist-нанбольшее из расстояний между параллельными гиперплоекостями решетки, разделяющими точки $x$ и $y$ (см. также $\$ 17.1$ ). Итак,
\[
\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle_{\Lambda} \leqslant\langle\varphi(x) \varphi(y)\rangle \leqslant A e^{-m d i s t},
\]

где dist $\geqslant|x-y| \mid \sqrt{d}$.
Гл. 17. Критическая точка в модели $\varphi^{4}$
Доказательство теоремь 17.5.1. Покажем, что функция $\tilde{m}(\sigma, \Lambda)^{2 \alpha+1}$ удовлетворяет условию Липшица по переменной $\sigma$, изменяющейся в конечном интервале $[a, b]$, с константой Липшица, равномерно ограниченной по $\Lambda$. Из этого утверждения следует доказываемая теорема в силу леммы 17.5.2. Поскольку $\tilde{m}(\sigma, \Lambda)^{2 \alpha+1}$ представляет собой нижню грань конечного семейства функций, мы докажем условие Липпица для каждой функци этого семейства в интервале, где она совпадает с $\tilde{m}^{2 a+1}$. Нтак, выберем точки $x_{0}
eq y_{0}$, для которых $\tilde{m}\left(x_{0}, y_{0}, \sigma, \Lambda\right)=\tilde{m}(\sigma, \Lambda)$. Нз определения $\tilde{m}$ вытекаст тождсство
\[
\tilde{m}\left|x_{0}-y_{0}\right|-\ln A+\ln \left(1+\left(\tilde{m}\left|x_{0}-y_{0}\right|\right)^{\alpha}\right)=-\ln \left\langle\varphi\left(x_{0}\right) \varphi\left(y_{0}\right)\right\rangle_{\sigma, \Lambda} .
\]

Дифференцируя по б, приходим к соотношениям
\[
\begin{aligned}
\left|x_{0}-y_{0}\right| \frac{d \tilde{m}}{d \sigma} & \leqslant\left|x_{0}-y_{0}\right| \frac{d \tilde{m}}{d \sigma}\left(1+\frac{\alpha\left(\tilde{m}\left|x_{0}-y_{0}\right|\right)^{\alpha-1}}{1+\left(\tilde{m}\left|x_{0}-y_{0}\right|\right)^{\alpha}}\right)= \\
& =\sum_{z \in \Lambda} \frac{\left\langle\varphi\left(x_{0}\right\rangle \varphi\left(y_{0}\right) \varphi^{2}(z)\right\rangle-\left\langle\varphi\left(x_{0}\right) \varphi\left(y_{0}\right)\right\rangle\left\langle\varphi^{2}(z)\right\rangle}{\left\langle\varphi\left(x_{0}\right) \varphi\left(y_{0}\right)\right\rangle} \leqslant \\
& \leqslant 2 A+2 \sum_{\substack{z \in \Lambda \\
z
eq x_{3}, y_{0}}} \frac{\left\langle\varphi\left(x_{0}\right) \varphi(z)\right\rangle\left\langle\varphi\left(y_{0}\right) \varphi(z)\right\rangle}{\left\langle\varphi\left(x_{0}\right) \varphi\left(y_{0}\right)\right\rangle} .
\end{aligned}
\]

В конце мы воспользовались неравенством Лебовица (следствие 4.3.3) для оценки четырехточечных функций через произведение двухточечных функций и определенисм величины $A$ для оценки двух членов: $z=x_{0}$ и $z=y_{0}$. Заменяя двухточечные функции выражением, включающим $\vec{m}$ (что не уменьшает каждый из сомножителей в числителе и не изменяет знаменатель), и пользуясь неравенством $e^{-a} \leqslant 1$ для $a \geqslant 0$, получаем, что
\[
\begin{aligned}
\left|x_{0}-y_{0}\right| \frac{d \tilde{m}}{d \sigma} & \leqslant 2 A+2 \sum_{\substack{z \in \Lambda \\
z
eq x_{0+} y_{0}}} \frac{1+\left(\tilde{m}\left|x_{0}-y_{0}\right|\right)^{\alpha}}{\left(1+\left(\tilde{m} \mid x_{0}-z\right)^{\alpha}\right)\left(1+\left(\tilde{m} \mid y_{0}-z\right)^{\alpha}\right)} \leqslant \\
& \leqslant 2 A+2 \tilde{m}^{-2 \alpha} \text { const }\left|x_{0}-y_{0}\right|^{\alpha} \sum_{\substack{z \in \Lambda \\
z
eq x_{0}, y_{0}}} \frac{1}{\left|x_{0}-z\right|^{\alpha}\left|y_{0}-z\right|^{\alpha}} \leqslant \\
& \leqslant 2 A+2 \tilde{m}^{-2 \alpha} \text { const }\left|x_{0}-y_{0}\right|^{d-\alpha} .
\end{aligned}
\]

Поскольку $d-\alpha-1 \leqslant 0$, мы заключаем, что $\tilde{m}^{2 \alpha} d \tilde{m} / d \sigma \leqslant$ const.