Мы покажем, что корреляционный радиус обращается в бесконечность при $\sigma \downarrow {\sigma }_c$; мы следуем здесь работе [Baker, 1975]; см. также [J. Rosen, 1980] и [McBryan, J. Rosen, 1976]. Для простоты рассмотрен лишь случай решеточного поля, а величина $m(\sigma )$ (только для нужд этого параграфа) вводится как
$$m(\sigma )=\underset{|x-y|\to \mathrm{\infty }}{lim}-\frac{\ln ⟨\phi (x)\phi (y)⟩}{|x-y|}.$$

При $\sigma >{\sigma }_c$ величина $m(\sigma )$ есть масса (наименьшая энергия невакуумного состояния), а при $\sigma ⩽{\sigma }_c$ она равна нулю.
Теорема 17.5.1. Масса $m(\sigma )$ вида (17.5.1) непрерывна как функция от б. В частности, масса, определенная формулой (17.5.1), стремится к нулю при $\sigma \downarrow {\sigma }_c$.

Определим сначала псевдомассу $\tilde{m}=\tilde{m}(\sigma )$ для параметра $\sigma$, меняющегося в ограниченном интервале, $a⩽\sigma ⩽b$. Пусть $⟨\cdot {⟩}_{\alpha ,\mathrm{\Lambda }}$ обозначает среднее по полю в области $\mathrm{\Lambda }\subset R^d$. Положим
$$A=2(\underset{\sigma ⋐[a,b],\mathrm{\Delta }\subset R^d,x,y\in \mathrm{\Lambda }}{sup}⟨\phi (x)\phi (y){⟩}_{\sigma ,\mathrm{\Lambda }}).$$

Верхняя грань конечна и достигается при $\mathrm{\Lambda }=R^d,\sigma =a,x=y$. Пусть $\tilde{m}=\tilde{m}(x,y,\sigma ,\mathrm{\Lambda })$ есть единственное решение уравнения
$$A\frac{e^{-\tilde{m}|x-y|}}{1+(\tilde{m}|x-y|{)}^a}=⟨\phi (x)\phi (y){⟩}_{\sigma ,{\mathrm{\Lambda }}^{\ast }}.$$

Здесь $\alpha$ — константа, выбранная так, что
$$d-1⩽\alpha ,d/2<\alpha .$$

Заметим, что $(d/dx)(e^{-x}/(1+|x|{)}^{\alpha })<0$ при $x>0$, откуда следует, что при $xeqy$ существует единственное значение $\tilde{m}$. Пусть теперь
$$\begin{array}{c}\tilde{m}(\sigma ,\mathrm{\Lambda })=\underset{xeqy\in \mathrm{\Lambda }}{inf}\tilde{m}(x,y,\sigma ,\mathrm{\Lambda }),\\ \tilde{m}(\sigma )=\underset{\mathrm{\Lambda }}{inf}\tilde{m}(\sigma ,\mathrm{\Lambda })=\underset{\mathrm{\Lambda }\uparrow R^d}{lim}\tilde{m}(\sigma ,\mathrm{\Lambda }).\end{array}$$

Лемма 17.5.2. Величина $\tilde{m}(\sigma ,\mathrm{\Lambda })$ непрерывна по $\sigma$ и строго положительна для ограниченной связной области $\mathrm{\Lambda }$. Кроме того,
$$\begin{array}{c}0⩽\tilde{m}(\sigma )⩽m(\sigma )⩽\text{ const }\tilde{m}(\sigma ),\\ 0=\tilde{m}(\sigma )npu\sigma <{\sigma }_c.\end{array}$$

Доказательство. Величина $\tilde{m}(\sigma ,\mathrm{\Lambda })$ строго положительна, поскольку этим свойством обладает $⟨\phi (x)\phi (y){⟩}_{\sigma ,\mathrm{\Lambda }}$. Для того чтобы установить последнее утверждение, разложим в ряд все множители вида $\exp \left[\phi \left(x_i\right)\phi \left(x_j\right)\right]$ в ненормированном среднем $⟨\cdot {⟩}_{\sigma ,\mathrm{\Lambda }}$ (подобное разложение градиентных членов используется также и при кластерных разложениях и при доказательстве неравенств Гриффитса; см. гл. 18). Все члены такого типа неотрицательны, а для связной области $\mathrm{\Lambda }$ по крайней мере один из них отличен от нуля.
Оценка $\tilde{m}(\sigma )⩽m(\sigma )+\epsilon$ для произвольного $\epsilon >0$ вытекает из неравенств
$$\begin{array}{rl}{e}^{-(m+\epsilon )|x-y|}& ⩽(2A{)}^{-1}⟨\phi (x)\phi (y){⟩}_{\sigma }⩽A^{-1}⟨\phi (x)\phi (y){⟩}_{\sigma ,\mathrm{\Lambda }}⩽\\ & ⩽e^{-\tilde{m}|x-y|}/[1+(\tilde{m}|x-y|{)}^{\alpha }]⩽e^{-\tilde{m}|x-y|}.\end{array}$$

Здесь $x$ и $y$ выбраны так, чтобы выполнялось первое неравенство; когда $x$ и $y$ заданы, $\mathrm{\Lambda }$ выбирается с таким расчетом, чтобы удовлетворялось второе неравенство. Следовательно, $\tilde{m}⩽m$. Противоположное неравенство вытекает из того факта, что константа (17.5.1), как следует из вычислений с помощью трансферматрицы, дает экспоненциальную оценку убывания корреляций $⟨\phi (x)\phi (y)⟩$ вида $e^{-m}$ dist, где dist-нанбольшее из расстояний между параллельными гиперплоекостями решетки, разделяющими точки $x$ и $y$ (см. также $\mathrm{\$}17.1$ ). Итак,
$$⟨\phi (x)\phi (y){⟩}_{\mathrm{\Lambda }}⩽⟨\phi (x)\phi (y)⟩⩽A{e}^{-mdist},$$

где dist $⩾|x-y|\mid \sqrt{d}$.
Гл. 17. Критическая точка в модели ${\phi }^4$
Доказательство теоремь 17.5.1. Покажем, что функция $\tilde{m}(\sigma ,\mathrm{\Lambda }{)}^{2\alpha +1}$ удовлетворяет условию Липшица по переменной $\sigma$, изменяющейся в конечном интервале $[a,b]$, с константой Липшица, равномерно ограниченной по $\mathrm{\Lambda }$. Из этого утверждения следует доказываемая теорема в силу леммы 17.5.2. Поскольку $\tilde{m}(\sigma ,\mathrm{\Lambda }{)}^{2\alpha +1}$ представляет собой нижню грань конечного семейства функций, мы докажем условие Липпица для каждой функци этого семейства в интервале, где она совпадает с ${\tilde{m}}^{2a+1}$. Нтак, выберем точки $x_{0}eq{y}_0$, для которых $\tilde{m}(x_0,y_0,\sigma ,\mathrm{\Lambda })=\tilde{m}(\sigma ,\mathrm{\Lambda })$. Нз определения $\tilde{m}$ вытекаст тождсство
$$\tilde{m}|x_0-y_0|-\ln A+\ln (1+{\left(\tilde{m}|x_0-y_0|\right)}^{\alpha })=-\ln {⟨\phi \left(x_0\right)\phi \left(y_0\right)⟩}_{\sigma ,\mathrm{\Lambda }}.$$

Дифференцируя по б, приходим к соотношениям
$$\begin{array}{rl}|x_0-y_0|\frac{d\tilde{m}}{d\sigma }& ⩽|x_0-y_0|\frac{d\tilde{m}}{d\sigma }(1+\frac{\alpha {\left(\tilde{m}|x_0-y_0|\right)}^{\alpha -1}}{1+{\left(\tilde{m}|x_0-y_0|\right)}^{\alpha }})=\\ & =\sum _{z\in \mathrm{\Lambda }}\frac{⟨\phi (x_0⟩\phi \left(y_0\right){\phi }^2(z)⟩-⟨\phi \left(x_0\right)\phi \left(y_0\right)⟩⟨{\phi }^2(z)⟩}{⟨\phi \left(x_0\right)\phi \left(y_0\right)⟩}⩽\\ & ⩽2A+2\sum _{\begin{array}{c}z\in \mathrm{\Lambda }\\ zeq{x}_3,y_0\end{array}}\frac{⟨\phi \left(x_0\right)\phi (z)⟩⟨\phi \left(y_0\right)\phi (z)⟩}{⟨\phi \left(x_0\right)\phi \left(y_0\right)⟩}.\end{array}$$

В конце мы воспользовались неравенством Лебовица (следствие 4.3.3) для оценки четырехточечных функций через произведение двухточечных функций и определенисм величины $A$ для оценки двух членов: $z=x_0$ и $z=y_0$. Заменяя двухточечные функции выражением, включающим $\overrightarrow{m}$ (что не уменьшает каждый из сомножителей в числителе и не изменяет знаменатель), и пользуясь неравенством $e^{-a}⩽1$ для $a⩾0$, получаем, что
$$\begin{array}{rl}|x_0-y_0|\frac{d\tilde{m}}{d\sigma }& ⩽2A+2\sum _{\begin{array}{c}z\in \mathrm{\Lambda }\\ zeq{x}_{0+}{y}_0\end{array}}\frac{1+{\left(\tilde{m}|x_0-y_0|\right)}^{\alpha }}{(1+{(\tilde{m}\mid x_0-z)}^{\alpha })(1+{(\tilde{m}\mid y_0-z)}^{\alpha })}⩽\\ & ⩽2A+2{\tilde{m}}^{-2\alpha }\text{ const }{|x_0-y_0|}^{\alpha }\sum _{\begin{array}{c}z\in \mathrm{\Lambda }\\ zeq{x}_0,y_0\end{array}}\frac{1}{{|x_0-z|}^{\alpha }{|y_0-z|}^{\alpha }}⩽\\ & ⩽2A+2{\tilde{m}}^{-2\alpha }\text{ const }{|x_0-y_0|}^{d-\alpha }.\end{array}$$

Поскольку $d-\alpha -1⩽0$, мы заключаем, что ${\tilde{m}}^{2\alpha }d\tilde{m}/d\sigma ⩽$ const.