Рассмотрим действующий в пространстве $L_2\left(R^{3n}\right)$ оператор полной энергии
$$H=H_0+V=\sum _{j=1}^n\frac{1}{2m_j}{p}_j^2+\sum _{ieqj}{V}_{ij}(q_i-q_j).$$

Введем кластерное разбиение $\mathcal{D}=\{C_1,\dots ,C_m\}$. По определению это — разбиение множества $\{1,\dots ,n\}$ на непересекающиеся подмножества. Определим полный импульс кластера, его массу, энергию, центр масс и т. д. формулами
$$\begin{array}{c}{P}_k=\sum _{j\in c_k}{p}_j,M_k=\sum _{j\in C_k}{m}_j,\\ H_k=\sum _{j\in C_k}\frac{1}{2m_j}{p}_j^2+\sum _{ieqj\in c_k}{V}_{ij}(q_i-q_j)=H_{0,k}+V_k,\\ H_{\mathcal{D}}=\sum _{k=1}^m{H}_k,Q_k=\frac{\sum _{j\in C_k}{m}_j{q}_j}{M_k}.\end{array}$$

Для того чтобы задать асимптотику, т. e. in/out-состояние рассеяния, необходимо знать:
1) кластерное разбиение $\mathcal{D}$;
2) свободное движение центра масс каждого кластера;
3) движение частиц в каждом кластере.
Чтобы отделить внутреннее движение частиц в кластере от движения центра масс всего кластера, сделаем в каждом кластере замену координат. Переменная $Q_k$ — это координата центра масс кластера $C_k$; пусть $q_k$, ге1 обозначает набор из $\left|C_k\right|-1$ независимых координат, выбранных каким-либо способом из набора величин $\{q_i-q_j;i,j\in C_k\}$.

Линейное преобразование $A:\left\{q_i\right\}\to \{Q_k,q_k$, rel $\}$ индуцирует линейное преобразование $A^{\ast -1}$ набора импульсов $p_i$ в координаты, сопряженные к $\{Q_k,q_k$, ге $\}$. Можно избежать утомительного счета, если заметить, что линейное преобразование $A^{\ast -1}$ определяется
Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
так, что преобразование координат $p$ и $q$ является каноническим, т. е. сохраняет коммутатор или скобки Пуассона. Так как
$$\begin{array}{c}\{Q_k,P_k\}\equiv \sum \frac{\partial Q_k}{\partial q_i}\frac{\partial P_k}{\partial p_i}-\frac{\partial Q_k}{\partial p_i}\frac{\partial P_k}{\partial q_i}=1,\\ \{q_i-q_i,P_k\}=0,\end{array}$$

координата $P_k$ сопряжена координате центра масс $Q_k$. Пусть $p_{k\text{, rе }}$ обозначает набор импульсных переменных, сопряженных набору $q_{k\text{, rel. }}$. Тогда $H_0$ — билинейная форма от переменных $P_k$ и $p_k$, re1, причем член, содержащий $P_k$, можно найти, вычисляя скобки Пуассона в обеих координатных системах $\{Q_k,q_k$, те $\}$ и $\left\{q_i\right\}$. Так как
$$\frac{\partial H_{0,k}}{\partial P_k}=\{Q_k,H_{0,k}\}=\frac{\sum m_i\partial H_{0,k}/\partial p_i}{\sum m_i}=\frac{P_k}{M_k},$$

то
$$H_{0,k}=\frac{1}{2M_k}{P}_k^2+h_{0,k}\left(p_{k,\mathrm{rel}}\right),$$

где $h_{0,k}$ — некоторая квадратичная форма. Последовательно обрабатывая таким образом каждый кластер нашего разложения и выделяя при этом на каждом шаге движение центра масс, мы придем к координатам, известным как координаты Якоби. Итак, мы показали, что в координатах $Q_k,q_k$, ге
$$H_k=\frac{1}{2M_k}{P}_k^2+h_{0,k}\left(p_{k,\text{ rel }}\right)+V_k\left(q_{k,\text{ rel }}\right)$$

и при разложении в тензорное произведение
$${\mathcal{B}}_k=L_2(R^{3\left|C_k\right|},dq)=L_2(R^3,d{Q}_k)\otimes L_2(R^{3\left({\left|C_k\right|}^{-1}\right)},d{q}_{\text{rel }})$$

оператор ${\left(2M_k\right)}^{-1}{P}_k^2$ действует в первом сомножителе, а $h_k\equiv$ $\equiv h_{0,k}+V_k$ — во втором. Определим связанное состояние кластера $C_k$ как собственный вектор ${\phi }_k$ оператора $h_k$ с дискретным собственным значением:
$$h_k{\phi }_k=E_k{\phi }_k.$$

Вектор ${\phi }_k$ определяет внутреннее движение частиц кластера. Если кратность собственного значения $E_k$ больше 1 , то выберем в качестве вектора ${\phi }_k$ любой элемент ортогонального базиса собственного подпространства, соответствующего $E_k$. Разбиение $\mathcal{D}$ на кластеры $C_k$ вместе с набором связанных состояний ${\phi }_k$, выбранных для каждого кластера $C_k$, имеющего не менее двух элементов ${}^1$ ), называется каналом:
$$\alpha =\{\mathcal{D},{\phi }_1,\dots ,{\phi }_m\}.$$

Для каждого канала $\alpha$ определим изометрию
$$U_{\alpha }:{\mathcal{H}}_{\mathcal{D}}\equiv L_2\left(R^{3m}\right)\to L_2\left(R^{3n}\right)$$

формулой $U_{\alpha }f=f(Q_{k_1},\dots ,Q_{k_m})\prod _{k=1}^m{\phi }_k\left(q_{k,\text{ ге }}\right)$. Здесь $f$ определяет состояния центров масс всех кластеров. Оператор $\sum _a{U}_a$ — это довольно грубая аппроксимация волнового оператора, который мы сейчас определим. Пусть
$$W_{\mathcal{D}}(t)=e^{itH}{e}^{-itH}\mathcal{D},W_{\mathcal{D}}^{\pm }=\mathrm{s}.\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{W}_{\mathcal{D}}(t),W^{\pm }=\sum _a{W}_{\mathcal{D}}^{\pm }{U}_a.$$

Теорема 13.2.1. Если все $V_{ij}\in L_2+L_{3-\epsilon }$, то $W^{\pm }$- изометрическое отображение из пространства ${\mathcal{H}}^{\prime }=\sum _{\alpha }\oplus {\mathcal{G}}_D$ в пространство $\mathcal{H}=$ $=L_2(R^{3n},dq)$. В частности, сильный предел, определяючий $W\stackrel{\pm }{\pm }$, существует и образы операторов $W_{\overline{D}}^{\stackrel{\pm }{D}}{U}_a$ при различных а ортогональны.
Лемма 13.2.2. Ядром оператора $e^{-it\mathrm{\Delta }}$ в пространстве $L_2\left(R^i\right)$ служит функция $(-4\pi it{)}^{-d/2}{e}^{-i(x-y{)}^2/4t},x,y\in R^d$.
Доказательство. Достаточно аналитически продолжить решение уравнения теплопроводности, задаваемое оператором $e^{t\mathrm{\Delta }}$.
Лемма 13.2.3. Для оператора $e^{-it{P}^2}$, рассматриваемого как отображение пространства $L_1\left(R^d\right)$ в $L_{\mathrm{\infty }}\left(R^d\right)$, выполнено неравенство $e^{-it{P}^2}\Vert ⩽t^{-d/2}$.
Доказательство. Легко видеть, что $\Vert e^{-it{P}^2}\Vert ={\Vert (-4\pi it{)}^{-d/2}{e}^{-x^2/4it}\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}$.
Лемма 13.2.4. Как оператор в пространстве $L_2\left(R^d\right),e^{-it{P}^2}$ слабо сходится к нулю при $t\to \pm \mathrm{\infty }$.
Доказательство. В силу леммы 13.2.3, для векторов ${\theta }_1,{\theta }_2\in L_1\cap L_2$ имеем $⟨{\theta }_1,e^{-it{P}^2}{\theta }_2⟩\to 0$. Так как оператор $e^{-it{P}^2}$ унитарен, для доказательства слабой сходимости достаточно ее проверить на всюду плотном множестве векторов.
Лемма 13.2.5. Если $\alpha =\{\mathcal{D},\phi \}eq\beta =\{{\mathcal{D}}^{\prime },{\phi }^{\prime }\},$ то $W\stackrel{\rightharpoonup }{\mathcal{D}}{U}_{\alpha }\mathcal{H}\mathcal{D}\perp$ $\perp W^{\pm },U_{\beta }{\mathcal{H}}_{\mathcal{D}}$.
Доказательство. Предположим, что сильный предел $W_{\mathcal{D}}^{\pm }$существует. Пусть ${\psi }_{\alpha }\in {\mathcal{H}}_{\mathcal{D}},{\psi }_{\beta }\in {\mathcal{H}}_{{\mathcal{D}}^{\prime }}$. Если $\mathcal{D}={\mathcal{D}}^{\prime }$, то
$$⟨W_{\mathcal{D}}^{\pm }{U}_{\alpha }{\psi }_{\alpha },W_{\mathcal{D}}^{\pm },U_{\beta }{\psi }_{\beta }⟩=⟨U_{\alpha }{\psi }_{\alpha },U_{\beta }{\psi }_{\beta }⟩=⟨{\psi }_{\alpha },{\psi }_{\beta }⟩⟨\phi ,{\phi }^{\prime }⟩=0,$$
1) Для одноэлементных кластеров $C_k\in \mathcal{D}$ полагают ${\phi }_k=1$. — Прим. ред.
Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
так как в этом случае $\phi$ и ${\phi }^{\prime }$ — ортогональные собственные векторы оператора внутренней энергии, входящего в $H_{\mathcal{D}}$. Если $\mathcal{D}eq{\mathcal{D}}^{\prime }$, то
$$\begin{array}{l}\left|⟨W_{\mathcal{D}}^{\pm }{U}_{\alpha }{\psi }_{\alpha },W_{\mathcal{D}}^{\pm }{U}_{\beta }{\psi }_{\beta }⟩\right|=\\ =\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left|⟨e^{itH}{e}^{-itH}{\mathcal{D}}_{\alpha }{U}_{\alpha },e^{itH}{e}^{-itH}{\mathcal{D}}^{\prime }{U}_{\beta }{\psi }_{\beta }⟩\right|=\\ =\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left|⟨e^{-itH\mathcal{D}}{U}_{\alpha }{\psi }_{\alpha },e^{-itH{\mathcal{D}}^{\prime }}{U}_{\beta }{\psi }_{\beta }⟩\right|=\\ =\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left|⟨e^{-it\sum _k{P}_k^2}{U}_{\alpha }{\psi }_{\alpha },e^{-it\sum _{k^{\prime }}{P}_{k^{\prime }}^2}{U}_{\beta }{\psi }_{\beta }⟩\right|=\\ =\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\left|⟨U_{\alpha }{\psi }_{\alpha },e^{it(\sum _k{p}_k^2-\sum _{k^{\prime }}{P}_{k^{\prime }}^2)}{U}_{\beta }{\psi }_{\beta }⟩\right|.\end{array}$$

Заменой переменных диагонализуем экспоненту, так что
$$\sum _k{P}_k^2-\sum _{k^{\prime }}{P}_{k^{\prime }}^2=\lambda \frac{{\partial }^2}{\partial w_1^2}+\dots ,\lambda eq0.$$

Тогда $e^{(it\sum _k{P}_k^2-\sum _{k^{\prime }}{P}_{k^{\prime }}^2)}=e^{-it\lambda {\partial }^2/\partial {\omega }_1^2}\otimes U_1(t)$, где $U_1(t)-$ унитарный оператор. В силу леммы 13.2.4, предел приведенного выше выражения равен нулю, и доказательство закончено.
Лемма 13.2.6. Пусть все $V_{ij}\in L_2+L_{\mathrm{\infty }}u\theta \in \mathcal{D}(H)$ (где $\mathcal{D}(H)-$ область определения $H$ ). Тогда вектор $W_{\mathcal{D}}(t)\theta$ дифференцируем в сильном смысле и
$$\frac{d}{dt}{W}_{\mathcal{D}}(t)\theta =i{e}^{itH}{V}_{\mathcal{D}}^{\prime }{e}^{-itH}\mathcal{D},$$

где $V_{\mathcal{D}}^{\prime }=H-H_{\mathcal{D}}$ есть оумма всех межкластерных взаимодействий.
Доказательство. Оператор $V$ является возмущением по Като оператора $H_0$, и аналогично $V_{\mathcal{D}}^{\prime }$ — это возмущение по Като операторов $H$ и $H_{\mathcal{D}}$. Поэтому $\mathcal{D}(H)=\mathcal{D}\left(H_{\mathcal{D}}\right)=\mathcal{D}\left(H_0\right)$. Далее доказательство проводится стандартными методами теории операторов.
Лемма 13.2.7. Пусть $\mathcal{M}\subset \mathcal{H}$ обозначает множество состояний $\phi$, для которых при $t\to \pm \mathrm{\infty }$
$$\Vert V_{\mathcal{D}}^{\prime }{e}^{-itH}\mathcal{D}\theta \Vert ⩽O\left(|t{|}^{-3/2}\right).$$

Тогда пересечение $\mathcal{M}\cap \mathcal{D}(H)$ плотно в пространстве $\mathcal{H}$.
Доказательство теоремы 13.2.1. Так как оператор ${\mathbb{W}}_{\mathcal{D}}(t)$ унитарный, то сходимость достаточно доказать для произвольного вектора $\theta$ из плотного множества $\mathcal{M}\cap \mathcal{G}$. Для такого $\theta$ справедливы неравенства
$$\Vert [W_{\mathcal{D}}\left(t_1\right)-W_{\mathcal{D}}\left(t_2\right)]\theta \Vert ⩽{\int }_{t_1}^{t_2}\Vert V^{\prime }{e}^{-it{H}_1}\theta \Vert dt⩽{\int }_{t_1}^{t_2}O\left(|t{|}^{-3/2}\right)dt.$$

Так как последний интеграл стремится к нулю при $t_1,t_2\to \pm \mathrm{\infty }$, теорема доказана.

Доказательство леммь 13.2.7. Для того чтобы упростить доказательство, рассмотрим случай $V_{ij}\in L_2$. Положим
$$\theta (q)=\prod _{k=1}^m{f}_k\left(Q_k\right)g_k\left(q_{k,\mathrm{rel}}\right).$$

Взяв $f_k,g_k\in \mathcal{P}$, мы докажем, что $\theta \in \mathcal{M}$.
Пусть $V_{ll}$, где $j\in C_k,l\in C_{k^{\prime }},keq{k}^{\prime }$, 一отдельный член из суммы $V_{\mathcal{D}}^{\prime }$ Определим
$$Q_{k{k}^{\prime }}=\frac{M_k{Q}_k+M_{k^{\prime }}{Q}_{k^{\prime }}}{M_k+M_{k^{\prime }}},q_{k{k}^{\prime },\mathrm{rel}}=Q_k-Q_{k^{\prime }}$$

Как и выше,
$$\frac{1}{2M_k}{P}_k^2+\frac{1}{2M_{k^{\prime }}}{P}_{k^{\prime }}^2=\frac{1}{2(M_k+M_{k^{\prime }})}\frac{{\partial }^2}{\partial Q_{k{k}^{\prime }}^2}+\frac{1}{2m}\cdot \frac{{\partial }^2}{\partial q_{k{k}^{\prime },\mathrm{rel}}^2},$$

где $m=M_1{M}_2/(M_1+M_2)$,
$$V_{jl}=V_{fl}(q_{k{k}^{\prime },\text{ rel }}+L(q_{k,\text{ rel }},q_{k^{\prime },\text{ rel }})),$$
a $L$ — некоторый линейный функционал. Тогда
$$\begin{array}{l}{V}_{jl}{e}^{-itH}{\mathcal{D}}_{\theta }\Vert {}^2=\mathrm{const}\Vert V_{jl}{e}^{-it(H_k+H_{k^{\prime }})}{f}_k{f}_{k^{\prime }}{g}_k{g}_{k^{\prime }}{\Vert }^2=\\ =\text{ const }\int {\left|V_{jl}\right|}^2{\left|{\psi }_1(Q_{k{k}^{\prime }},q_{k{k}^{\prime },\text{ rel }})\right|}^2{\left|{\psi }_2(q_{k,\text{ rel }},q_{k^{\prime },\text{ rel }})\right|}^{2}dq,\end{array}$$

где константа не зависит от $t$ и

Поэтому, сделав замену переменных и применив неравенство Гёльдера, получим, что
$${\Vert V_{jl}{e}^{-itH}{\mathcal{D}}_{\theta }\Vert }^2⩽\mathrm{const}{\Vert V_{jl}\Vert }_2^2{\Vert {\mathrm{\Psi }}_2\Vert }_2^2{\Vert \underset{q_{k{k}^{\prime },\mathrm{rel}}}{sup}{\mathrm{\Psi }}_1\Vert }_{L_2\left(Q_{k{k}^{\prime }}\right)}^2$$

Так как эволюционный оператор Шредингера, входящий в выражение для ${\psi }_i$, как оператор из $L_1$ в $L_{\mathrm{\infty }}$ имеет норму порядка $t-3/2$, то
$${\Vert \underset{q_{k{k}^{\prime },\mathrm{rel}}}{sup}{\psi }_1\Vert }_{L_2\left(Q_{k{k}^{\prime }}\right)}^2⩽O\left(|t{|}^{-3}\right)\int {[\int \left|\chi (Q_{k{k}^{\prime }},q_{k{k}^{\prime },\mathrm{rel}})\right|d{q}_{k{k}^{\prime },\mathrm{rel}}]}^{2}d{Q}_{k{k}^{\prime }},$$

где $\chi (Q_{k{k}^{\prime }},q_{k{k}^{\prime },\text{ rel }})=f_k\left(q_k\right)f_{k^{\prime }}\left(q_{k^{\prime }}\right)\in \mathcal{J}$.