Рассмотрим действующий в пространстве $L_{2}\left(R^{3 n}\right)$ оператор полной энергии
\[
H=H_{0}+V=\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{2 m_{j}} p_{j}^{2}+\sum_{i
eq j} V_{i j}\left(q_{i}-q_{j}\right) .
\]

Введем кластерное разбиение $\mathscr{D}=\left\{C_{1}, \ldots, C_{m}\right\}$. По определению это – разбиение множества $\{1, \ldots, n\}$ на непересекающиеся подмножества. Определим полный импульс кластера, его массу, энергию, центр масс и т. д. формулами
\[
\begin{array}{c}
P_{k}=\sum_{j \in c_{k}} p_{j}, \quad M_{k}=\sum_{j \in C_{k}} m_{j}, \\
H_{k}=\sum_{j \in C_{k}} \frac{1}{2 m_{j}} p_{j}^{2}+\sum_{i
eq j \in c_{k}} V_{i j}\left(q_{i}-q_{j}\right)=H_{0, k}+V_{k}, \\
H_{\mathscr{D}}=\sum_{k=1}^{m} H_{k}, \quad Q_{k}=\frac{\sum_{j \in C_{k}} m_{j} q_{j}}{M_{k}} .
\end{array}
\]

Для того чтобы задать асимптотику, т. e. in/out-состояние рассеяния, необходимо знать:
1) кластерное разбиение $\mathscr{D}$;
2) свободное движение центра масс каждого кластера;
3) движение частиц в каждом кластере.
Чтобы отделить внутреннее движение частиц в кластере от движения центра масс всего кластера, сделаем в каждом кластере замену координат. Переменная $Q_{k}$ – это координата центра масс кластера $C_{k}$; пусть $q_{k}$, ге1 обозначает набор из $\left|C_{k}\right|-1$ независимых координат, выбранных каким-либо способом из набора величин $\left\{q_{i}-q_{j} ; i, j \in C_{k}\right\}$.

Линейное преобразование $A:\left\{q_{i}\right\} \rightarrow\left\{Q_{k}, q_{k}\right.$, rel $\}$ индуцирует линейное преобразование $A^{*-1}$ набора импульсов $p_{i}$ в координаты, сопряженные к $\left\{Q_{k}, q_{k}\right.$, ге $\}$. Можно избежать утомительного счета, если заметить, что линейное преобразование $A^{*-1}$ определяется
Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
так, что преобразование координат $p$ и $q$ является каноническим, т. е. сохраняет коммутатор или скобки Пуассона. Так как
\[
\begin{array}{c}
\left\{Q_{k}, P_{k}\right\} \equiv \sum \frac{\partial Q_{k}}{\partial q_{i}} \frac{\partial P_{k}}{\partial p_{i}}-\frac{\partial Q_{k}}{\partial p_{i}} \frac{\partial P_{k}}{\partial q_{i}}=1, \\
\left\{q_{i}-q_{i}, P_{k}\right\}=0,
\end{array}
\]

координата $P_{k}$ сопряжена координате центра масс $Q_{k}$. Пусть $p_{k \text {, rе }}$ обозначает набор импульсных переменных, сопряженных набору $q_{k \text {, rel. }}$. Тогда $H_{0}$ – билинейная форма от переменных $P_{k}$ и $p_{k}$, re1, причем член, содержащий $P_{k}$, можно найти, вычисляя скобки Пуассона в обеих координатных системах $\left\{Q_{k}, q_{k}\right.$, те $\}$ и $\left\{q_{i}\right\}$. Так как
\[
\frac{\partial H_{0, k}}{\partial P_{k}}=\left\{Q_{k}, H_{0, k}\right\}=\frac{\sum m_{i} \partial H_{0, k} / \partial p_{i}}{\sum m_{i}}=\frac{P_{k}}{M_{k}},
\]

то
\[
H_{0, k}=\frac{1}{2 M_{k}} P_{k}^{2}+h_{0, k}\left(p_{k, \mathrm{rel}}\right),
\]

где $h_{0, k}$ – некоторая квадратичная форма. Последовательно обрабатывая таким образом каждый кластер нашего разложения и выделяя при этом на каждом шаге движение центра масс, мы придем к координатам, известным как координаты Якоби. Итак, мы показали, что в координатах $Q_{k}, q_{k}$, ге
\[
H_{k}=\frac{1}{2 M_{k}} P_{k}^{2}+h_{0, k}\left(p_{k, \text { rel }}\right)+V_{k}\left(q_{k, \text { rel }}\right)
\]

и при разложении в тензорное произведение
\[
\mathscr{B}_{k}=L_{2}\left(R^{3\left|C_{k}\right|}, d q\right)=L_{2}\left(R^{3}, d Q_{k}\right) \otimes L_{2}\left(R^{3\left(\left|C_{k}\right|^{-1}\right)}, d q_{\text {rel }}\right)
\]

оператор $\left(2 M_{k}\right)^{-1} P_{k}^{2}$ действует в первом сомножителе, а $h_{k} \equiv$ $\equiv h_{0, k}+V_{k}$ – во втором. Определим связанное состояние кластера $C_{k}$ как собственный вектор $\varphi_{k}$ оператора $h_{k}$ с дискретным собственным значением:
\[
h_{k} \varphi_{k}=E_{k} \varphi_{k} .
\]

Вектор $\varphi_{k}$ определяет внутреннее движение частиц кластера. Если кратность собственного значения $E_{k}$ больше 1 , то выберем в качестве вектора $\varphi_{k}$ любой элемент ортогонального базиса собственного подпространства, соответствующего $E_{k}$. Разбиение $\mathscr{D}$ на кластеры $C_{k}$ вместе с набором связанных состояний $\varphi_{k}$, выбранных для каждого кластера $C_{k}$, имеющего не менее двух элементов ${ }^{1}$ ), называется каналом:
\[
\alpha=\left\{\mathscr{D}, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m}\right\} .
\]

Для каждого канала $\alpha$ определим изометрию
\[
U_{\alpha}: \mathscr{H}_{\mathscr{D}} \equiv L_{2}\left(R^{3 m}\right) \rightarrow L_{2}\left(R^{3 n}\right)
\]

формулой $U_{\alpha} f=f\left(Q_{k_{1}}, \ldots, Q_{k_{m}}\right) \prod_{k=1}^{m} \varphi_{k}\left(q_{k, \text { ге }}\right)$. Здесь $f$ определяет состояния центров масс всех кластеров. Оператор $\sum_{a} U_{a}$ – это довольно грубая аппроксимация волнового оператора, который мы сейчас определим. Пусть
\[
W_{\mathscr{D}}(t)=e^{i t H} e^{-i t H} \mathscr{D}, \quad W_{\mathscr{D}}^{ \pm}=\mathrm{s} . \lim _{t \rightarrow \pm \infty} W_{\mathscr{D}}(t), \quad W^{ \pm}=\sum_{a} W_{\mathscr{D}}^{ \pm} U_{a} .
\]

Теорема 13.2.1. Если все $V_{i j} \in L_{2}+L_{3-\varepsilon}$, то $W^{ \pm}$- изометрическое отображение из пространства $\mathscr{H}^{\prime}=\sum_{\alpha} \oplus \mathscr{G}_{D}$ в пространство $\mathscr{H}=$ $=L_{2}\left(R^{3 n}, d q\right)$. В частности, сильный предел, определяючий $W \stackrel{ \pm}{ \pm}$, существует и образы операторов $W_{\bar{D}}^{\stackrel{ \pm}{D}} U_{a}$ при различных а ортогональны.
Лемма 13.2.2. Ядром оператора $e^{-i t \Delta}$ в пространстве $L_{2}\left(R^{i}\right)$ служит функция $(-4 \pi i t)^{-d / 2} e^{-i(x-y)^{2} / 4 t}, x, y \in R^{d}$.
Доказательство. Достаточно аналитически продолжить решение уравнения теплопроводности, задаваемое оператором $e^{t \Delta}$.
Лемма 13.2.3. Для оператора $e^{-i t P^{2}}$, рассматриваемого как отображение пространства $L_{1}\left(R^{d}\right)$ в $L_{\infty}\left(R^{d}\right)$, выполнено неравенство $e^{-i t P^{2}} \| \leqslant t^{-d / 2}$.
Доказательство. Легко видеть, что $\left\|e^{-i t P^{2}}\right\|=\left\|(-4 \pi i t)^{-d / 2} e^{-x^{2} / 4 i t}\right\|_{L_{\infty}}$.
Лемма 13.2.4. Как оператор в пространстве $L_{2}\left(R^{d}\right), e^{-i t P^{2}}$ слабо сходится к нулю при $t \rightarrow \pm \infty$.
Доказательство. В силу леммы 13.2.3, для векторов $\theta_{1}, \theta_{2} \in L_{1} \cap L_{2}$ имеем $\left\langle\theta_{1}, e^{-i t P^{2}} \theta_{2}\right\rangle \rightarrow 0$. Так как оператор $e^{-i t P^{2}}$ унитарен, для доказательства слабой сходимости достаточно ее проверить на всюду плотном множестве векторов.
Лемма 13.2.5. Если $\alpha=\{\mathscr{D}, \varphi\}
eq \beta=\left\{\mathscr{D}^{\prime}, \varphi^{\prime}\right\}, \quad$ то $\quad W \stackrel{\rightharpoonup}{\mathscr{D}} U_{\alpha} \mathscr{H} \mathscr{D} \perp$ $\perp W^{ \pm}, U_{\beta} \mathscr{H}_{\mathscr{D}}$.
Доказательство. Предположим, что сильный предел $W_{\mathscr{D}}^{ \pm}$существует. Пусть $\psi_{\alpha} \in \mathscr{H}_{\mathscr{D}}, \psi_{\beta} \in \mathscr{H}_{\mathscr{D}^{\prime}}$. Если $\mathscr{D}=\mathscr{D}^{\prime}$, то
\[
\left\langle W_{\mathscr{D}}^{ \pm} U_{\alpha} \psi_{\alpha}, W_{\mathscr{D}}^{ \pm}, U_{\beta} \psi_{\beta}\right\rangle=\left\langle U_{\alpha} \psi_{\alpha}, U_{\beta} \psi_{\beta}\right\rangle=\left\langle\psi_{\alpha}, \psi_{\beta}\right\rangle\left\langle\varphi, \varphi^{\prime}\right\rangle=0,
\]
1) Для одноэлементных кластеров $C_{k} \in \mathscr{D}$ полагают $\varphi_{k}=1$. – Прим. ред.
Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
так как в этом случае $\varphi$ и $\varphi^{\prime}$ – ортогональные собственные векторы оператора внутренней энергии, входящего в $H_{\mathscr{D}}$. Если $\mathscr{D}
eq \mathscr{D}^{\prime}$, то
\[
\begin{array}{l}
\left|\left\langle W_{\mathscr{D}}^{ \pm} U_{\alpha} \psi_{\alpha}, W_{\mathscr{D}}^{ \pm} U_{\beta} \psi_{\beta}\right\rangle\right|= \\
=\lim _{t \rightarrow \pm \infty}\left|\left\langle e^{i t H} e^{-i t H} \mathscr{D}_{\alpha} U_{\alpha}, e^{i t H} e^{-i t H} \mathscr{D}^{\prime} U_{\beta} \psi_{\beta}\right\rangle\right|= \\
=\lim _{t \rightarrow \pm \infty}\left|\left\langle e^{-i t H \mathscr{D}} U_{\alpha} \psi_{\alpha}, e^{-i t H \mathscr{D}^{\prime}} U_{\beta} \psi_{\beta}\right\rangle\right|= \\
=\lim _{t \rightarrow \pm \infty}\left|\left\langle e^{-i t \sum_{k} P_{k}^{2}} U_{\alpha} \psi_{\alpha}, e^{-i t \sum_{k^{\prime}} P_{k^{\prime}}^{2}} U_{\beta} \psi_{\beta}\right\rangle\right|= \\
=\lim _{t \rightarrow \pm \infty}\left|\left\langle U_{\alpha} \psi_{\alpha}, e^{i t\left(\sum_{k} p_{k}^{2}-\sum_{k^{\prime}} P_{k^{\prime}}^{2}\right)} U_{\beta} \psi_{\beta}\right\rangle\right| . \\
\end{array}
\]

Заменой переменных диагонализуем экспоненту, так что
\[
\sum_{k} P_{k}^{2}-\sum_{k^{\prime}} P_{k^{\prime}}^{2}=\lambda \frac{\partial^{2}}{\partial w_{1}^{2}}+\ldots, \quad \lambda
eq 0 .
\]

Тогда $e^{\left(i t \sum_{k} P_{k}^{2}-\sum_{k^{\prime}} P_{k^{\prime}}^{2}\right)}=e^{-i t \lambda \partial^{2} / \partial \omega_{1}^{2}} \otimes U_{1}(t)$, где $U_{1}(t)-$ унитарный оператор. В силу леммы 13.2.4, предел приведенного выше выражения равен нулю, и доказательство закончено.
Лемма 13.2.6. Пусть все $V_{i j} \in L_{2}+L_{\infty} u \theta \in \mathscr{D}(H)$ (где $\mathscr{D}(H)-$ область определения $H$ ). Тогда вектор $W_{\mathscr{D}}(t) \theta$ дифференцируем в сильном смысле и
\[
\frac{d}{d t} W_{\mathscr{D}}(t) \theta=i e^{i t H} V_{\mathscr{D}}^{\prime} e^{-i t H} \mathscr{D},
\]

где $V_{\mathscr{D}}^{\prime}=H-H_{\mathscr{D}}$ есть оумма всех межкластерных взаимодействий.
Доказательство. Оператор $V$ является возмущением по Като оператора $H_{0}$, и аналогично $V_{\mathscr{D}}^{\prime}$ – это возмущение по Като операторов $H$ и $H_{\mathscr{D}}$. Поэтому $\mathscr{D}(H)=\mathscr{D}\left(H_{\mathscr{D}}\right)=\mathscr{D}\left(H_{0}\right)$. Далее доказательство проводится стандартными методами теории операторов.
Лемма 13.2.7. Пусть $\mathscr{M} \subset \mathscr{H}$ обозначает множество состояний $\varphi$, для которых при $t \rightarrow \pm \infty$
\[
\left\|V_{\mathscr{D}}^{\prime} e^{-i t H} \mathscr{D} \theta\right\| \leqslant O\left(|t|^{-3 / 2}\right) .
\]

Тогда пересечение $\mathscr{M} \cap \mathscr{D}(H)$ плотно в пространстве $\mathscr{H}$.
Доказательство теоремы 13.2.1. Так как оператор $\mathbb{W}_{\mathscr{D}}(t)$ унитарный, то сходимость достаточно доказать для произвольного вектора $\theta$ из плотного множества $\mathscr{M} \cap \mathscr{G}$. Для такого $\theta$ справедливы неравенства
\[
\left\|\left[W_{\mathscr{D}}\left(t_{1}\right)-W_{\mathscr{D}}\left(t_{2}\right)\right] \theta\right\| \leqslant \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left\|V^{\prime} e^{-i t H_{1}} \theta\right\| d t \leqslant \int_{t_{1}}^{t_{2}} O\left(|t|^{-3 / 2}\right) d t .
\]

Так как последний интеграл стремится к нулю при $t_{1}, t_{2} \rightarrow \pm \infty$, теорема доказана.

Доказательство леммь 13.2.7. Для того чтобы упростить доказательство, рассмотрим случай $V_{i j} \in L_{2}$. Положим
\[
\theta(q)=\prod_{k=1}^{m} f_{k}\left(Q_{k}\right) g_{k}\left(q_{k, \mathrm{rel}}\right) .
\]

Взяв $f_{k}, g_{k} \in \mathscr{P}$, мы докажем, что $\theta \in \mathscr{M}$.
Пусть $V_{l l}$, где $j \in C_{k}, l \in C_{k^{\prime}}, k
eq k^{\prime}$, 一отдельный член из суммы $V_{\mathscr{D}}^{\prime}$ Определим
\[
Q_{k k^{\prime}}=\frac{M_{k} Q_{k}+M_{k^{\prime}} Q_{k^{\prime}}}{M_{k}+M_{k^{\prime}}}, \quad q_{k k^{\prime}, \mathrm{rel}}=Q_{k}-Q_{k^{\prime}}
\]

Как и выше,
\[
\frac{1}{2 M_{k}} P_{k}^{2}+\frac{1}{2 M_{k^{\prime}}} P_{k^{\prime}}^{2}=\frac{1}{2\left(M_{k}+M_{k^{\prime}}\right)} \frac{\partial^{2}}{\partial Q_{k k^{\prime}}^{2}}+\frac{1}{2 m} \cdot \frac{\partial^{2}}{\partial q_{k k^{\prime}, \mathrm{rel}}^{2}},
\]

где $m=M_{1} M_{2} /\left(M_{1}+M_{2}\right)$,
\[
V_{j l}=V_{f l}\left(q_{k k^{\prime}, \text { rel }}+L\left(q_{k, \text { rel }}, q_{k^{\prime}, \text { rel }}\right)\right),
\]
a $L$ – некоторый линейный функционал. Тогда
\[
\begin{array}{l}
V_{j l} e^{-i t H} \mathscr{D}_{\theta}\left\|^{2}=\mathrm{const}\right\| V_{j l} e^{-i t\left(H_{k}+H_{k^{\prime}}\right)} f_{k} f_{k^{\prime}} g_{k} g_{k^{\prime}} \|^{2}= \\
=\text { const } \int\left|V_{j l}\right|^{2}\left|\psi_{1}\left(Q_{k k^{\prime}}, q_{k k^{\prime}, \text { rel }}\right)\right|^{2}\left|\psi_{2}\left(q_{k, \text { rel }}, q_{k^{\prime}, \text { rel }}\right)\right|^{2} d q,
\end{array}
\]

где константа не зависит от $t$ и

Поэтому, сделав замену переменных и применив неравенство Гёльдера, получим, что
\[
\left\|V_{j l} e^{-i t H} \mathscr{D}_{\theta}\right\|^{2} \leqslant \mathrm{const}\left\|V_{j l}\right\|_{2}^{2}\left\|\Psi_{2}\right\|_{2}^{2}\left\|\sup _{q_{k k^{\prime}, \mathrm{rel}}} \Psi_{1}\right\|_{L_{2}\left(Q_{k k^{\prime}}\right)}^{2}
\]

Так как эволюционный оператор Шредингера, входящий в выражение для $\psi_{i}$, как оператор из $L_{1}$ в $L_{\infty}$ имеет норму порядка $t-3 / 2$, то
\[
\left\|\sup _{q_{k k^{\prime}, \mathrm{rel}}} \psi_{1}\right\|_{L_{2}\left(Q_{k k^{\prime}}\right)}^{2} \leqslant O\left(|t|^{-3}\right) \int\left[\int\left|\chi\left(Q_{k k^{\prime}}, q_{k k^{\prime}, \mathrm{rel}}\right)\right| d q_{k k^{\prime}, \mathrm{rel}}\right]^{2} d Q_{k k^{\prime}},
\]

где $\chi\left(Q_{k k^{\prime}}, q_{k k^{\prime}, \text { rel }}\right)=f_{k}\left(q_{k}\right) f_{k^{\prime}}\left(q_{k^{\prime}}\right) \in \mathscr{J}$.