Диаграммы (или графы) Фейнмана — это мнемонический прием, позволяющий сводить гауссовы функциональные интегралы к конечномерным интегралам. Они получаются в результате применения формулы интегрирования по частям из § 6.3:
\[
\int \varphi(f) A(\varphi) d \varphi_{C}=\int\langle C f, \delta A / \delta \varphi\rangle d \varphi_{C} .
\]

После многократного интегрирования по частям интеграл $\int A d \varphi c$ от полинома $A(\varphi)$ сводится к сумме конечномерных интегралов
\[
\int A d \varphi_{C}=\sum_{\{G\}} I(G)
\]

где $G$ пробегает множество диаграмм, $I(G)$ — величины, выражаемые в виде некоторых конечномерных интегралов, приписываемых диаграммам $G$, а $C$ обозначает ковариацию гауссовой меры. (Некоторые авторы определяют диаграммы как классы эквивалентных графов, мы же не делаем различия между словами «диаграмма» и «граф».)

Простейший пример, на который будут опираться наши дальнейшие примеры — это интеграл от произведения $A(\varphi)=$ $=\varphi\left(f_{1}\right) \varphi\left(f_{2}\right) \ldots \varphi\left(f_{r}\right)$. Интеграл $\int A d \varphi_{C}$ есть не что иное, как момент меры $d \varphi c$. В частности, положим
\[
(f, g)_{C}=\int f(x) C(x, y) g(y) d x d y .
\]

Тогда $\int \varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{r}\right) d \varphi_{C}=0$ при нечетном $r$, а при четном $r$
\[
\begin{aligned}
\int A(\varphi) d \varphi_{C} & =\int \varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{r}\right) d \varphi_{C}= \\
& =\sum\left(f_{i_{1}}, f_{i_{2}}\right)_{C} \ldots\left(f_{i_{r-1}}, f_{i_{r}}\right)_{C},
\end{aligned}
\]

где суммирование идет по всем $(r-1)(r-3)(r-5) \ldots 1=(r-1) \|$ различным способам разбиения $r$ элементов на пары $\left\{f_{i}{ }_{i}, f_{i_{i+1}}\right\}$.

Каждому слагаемому суммы (8.2.4) сопоставим некоторую диаграмму Фейнмана $G$, а величину $I(G)$ положим равной самому этому слагаемому. В общем случае мы сформулируем совокупность правил, по которым каждой диаграмме сопоставляется некоторый конечномерный интеграл, а также другой набор правил, сопоставляющий интегралам вида $\int A(\varphi) d \varphi_{C}$ определенные диаграммы.

Под диаграммой понимается набор вершин (представленных точками в пространстве $R^{d}$ ), ребер (представленных отрезками, соединяющими две вершины) и отростков (представленных отрезками, у которых лишь один конец совпадает с некоторой вершиной, а второй свободен). Қаждый отросток отвечает множителю $\varphi(x)$ в подынтегральном выражении, а вершина, из которой он выходит, отвечает аргументу $x$ этого множителя. Формулу интегрирования по частям (8.2.1) можно интерпретировать на языке диаграмм как спаривание (соединение) двух отростков и образование ребра, которое вносит в подынтегральное выражение для $I(G)$ пропагатор $C(x, y)$.

Преимущество диаграммной техники состоит в том, что она позволяет сразу проверить, нет ли среди слагаемых $I(G)$ в сумме (8.2.2) расходящихся интегралов. Как мы увидим в §8.3, при $d=2$ виково упорядочение приводит к тому, что такие бесконечные члены не входят в сумму (8.2.2).
В качестве примера рассмотрим вычисление интеграла
\[
\int \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{6}\right) d \varphi c
\]

Рис. 8.1. Диаграмма для монома $\varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{6}\right)$.

Рис. 8.2. Вид подынтегрального выражения после того, как член $\varphi\left(x_{4}\right)$ проинтегрирован по частям: одна из пяти возможных диаграмм.

Рис. 8.3. Фейнмановская диаграмма, дающая вклад в интеграл $\int \varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{B}\right) d \varphi c$.

Здесь мы взяли предельный случай $f_{j}=\delta_{x_{j}}$. Подынтегральному выражению сопоставим граф, в котором каждой точке $x_{j}$ отвечает вершина, а каждой вершине — отросток, обозначаемый $\delta_{x_{j}}$ (рис. 8.1). Интеграл $\int A d \varphi_{C}$ выражается в виде суммы по диаграммам без свободных отростков (которым соответствует функция на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}$, равная константе). Соответствующие 15 диаграмм (в случае интеграла (8.2.5)) можно получить, соединяя между собой всевозможными способами отростки, изображенные на рис. 8.1. В частности, если мы с помощью формулы (8.2.1) проинтегрируем (8.2.5) по частям, выделив сомножитель $\varphi\left(x_{4}\right)$, то получим в правой части (8.2.4) сумму по тем диаграммам, у которых отросток $x_{4}$ спарен с одним из остальных пяти отростков (рис. 8.2). Диаграмма, изображенная на рис. 8.2, соответствует подынтегральному выражению $\quad C\left(x_{1}, x_{4}\right) \varphi\left(x_{2}\right) \varphi\left(x_{3}\right) \varphi\left(x_{5}\right) \varphi\left(x_{6}\right)$. После трех последовательных интегрирований по частям интеграл от произведения $\varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{6}\right)$ сведется к сумме, каждому слагаемому которой отвечает некоторая диаграмма (рис. 8.3). Диаграмму без отростков мы будем называть полностью спаренной. Мы можем снова вернуться к мно-
Рис. 8.4. Простейший граф для $\int \varphi(f) \varphi(g) d{ }^{\circ}$.

жителям $f\left(x_{1}\right) \ldots f\left(x_{6}\right)$, и тогда интеграл $\int \varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{6}\right) d \varphi с$ представится как сумма величин $I(G)$. Диаграмма, изображенная на рис. 8.4, отвечает величине $I(G)=(f, g)_{c}=\int f(x) C(x, y) \times$ $\times g(y) d x d y$. Полностью спаренному графу $G$, состоящему из связных компонент $G=G_{1} \cup G_{2} \cup \ldots \cup G_{k}$, соответствует величина
\[
I(G)=I\left(G_{1}\right) I\left(G_{2}\right) \ldots I\left(G_{k}\right)=\prod_{\substack{\text { связные } \\ \text { компоненты }}} I\left(G_{j}\right) .
\]

Пусть $G$-граф с ребрами $l$, соединяющими точки пространствавремени $x_{l_{1}}, x_{l_{2}}$. Кроме того, пусть $l_{1}$ — вершина графа $G$, соответствующая точке $x_{l_{1}}$. Вклад такого графа $G$ запишется в виде
\[
I(G)=\int\left(\prod_{\substack{\text { ребра } \\ l \text { в } G}} C\left(x_{l_{1}}, x_{l_{2}}\right)\right) \prod_{\substack{\text { вершины } \\ l_{j} \text { в } G}}\left(f_{j}\left(x_{l_{j}}\right) d x_{l_{j}}\right) .
\]