Этот элементарный пример содержится в каждой книге по квантовой механике. В отличие от большинства квантовомеханических задач задача о гармоническом осцилляторе допускает явное решение в терминах элементарных функций (полиномов Эрмита) и гауссовых интегралов. На его примере некоторые общие принципы можно проиллюстрировать явными вычислениями. Многие свойства гармонического осциллятора переносятся и на другие квантовомеханические задачи, уже не сводящиеся к гауссовым состояниям. Простой гармонический осциллятор играет также важную роль в теории поля, потому что свободное квантовое поле можно представить как совокупность бесконечного числа гармонических осцилляторов. Согласно этой картине, поле со взанмодействием можно представлять как набор ангармонических осцилляторов и рассматривать как ангармоническое возмущение гармонических осцилляторов.

Гамильтониан $H$ простого осциллятора имеет тот же вид, что и энергия классического осциллятора:
$$H_{\mathrm{osc}}=\frac{1}{2m}{p}^2+\frac{1}{2}k{q}^2.$$

Напомним, что в классическом случае частота колебаний осциллятора равна $\mu =(k/m{)}^{1/2}$. Для дальнейнего изложения удобно ввести безразмерные переменные
$$Q=(m\mu /\hslash {)}^{1/2}q,P=(m\mu \hslash {)}^{-1/2}p,H=(\hslash \mu {)}^{-1}{H}_{\mathrm{osc}};$$

в этих переменных
$$H=\frac{1}{2}(P^2+Q^2)$$

и
$$[P,Q]={\hslash }^{-1}[p,q]=-i.$$

Мы рассматриваем шредингерово представление, в котором $P=$ $=-id/dy$, а оператор $Q$ в пространстве $\mathcal{H}=L_2(dy)$ действует как умножение на независимую переменную $y$. В качестве области определения оператора $H$, как и остальных операторов этой главы, берется пространство Шварца $\mathcal{S}$. Го определению $\theta \in \mathcal{S}$, если функция $\theta$ и все ее производные быстро убывают на бесконечности. Bсе операторы, которые мы рассматриваем, например $H,P,Q$, отображают $\mathcal{H}$ в $\mathcal{C}$, так что пространство Шварца $\mathcal{S}$ является для них «инвариантной областью».

В этой главе мы изучим два фундаментальных свойства оператора $H$ : полноту набора его собственных функций и то, что оператор $e^{-tH}$ сохраняет положительность (т. е. переводит положительные функции в положительные). Мы проверим их прямым вычислением. Впоследствии при помощи более абстрактных методов удастся доказать подобные свойства для широкого класса потенциалов. Особенно важную роль играет положительность оператора $e^{-tH}$ : она связана с единственностью основного состояния и интегральным представлением Фейнмана — Қаца (гл. 3).
Теорема 1.5.1. Оператор $H$ существенно-самосопряжен и имеет спектр $\hslash и(n+1/2)$. Резольвента оператора $H_{\text{osc — }}$-компактный оператор.
Доказательство. Определим операторы «рождения» и «уничтожения» $A^{\ast }$ и $A$ формулами
$$A^{\ast }=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q-iP),A=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q+iP);$$

при этом
$$[A,A^{\ast }]=1\text{. }$$

Простые вычисления показывают, что
$$H=\frac{1}{2}(P^2+Q^2)=A^{\ast }A+\frac{1}{2}.$$

Далтеe,
$$[H,A]=-A,[H,A^{\ast }]=A^{\ast }.$$

Из (1.5.5) видно, что еслн вектор ${\mathrm{\Omega }}_0$ удовлетворяет уравнению $A{\mathrm{\Omega }}_0=0$, то ${\mathrm{\Omega }}_0-$ собственный вектор оператора $H$, а именно $H{\mathrm{\Omega }}_0=\frac{1}{2}{\mathrm{\Omega }}_0$. В шредингеровом представлении уравнение $A{\mathrm{\Omega }}_0=0$ записывается в внде
$$d{\mathrm{\Omega }}_0/dy=-y{\mathrm{\Omega }}_0.$$

Отсюда мы заключаем, что ${\mathrm{\Omega }}_{\Downarrow }$ — это известное гауссово распределенис:
$${\mathrm{\Omega }}_0(y)=\text{ const }{e}^{-y^2/2}={\pi }^{-1/4}{e}^{-y^2/2},$$

где константа подобрана так, что $\Vert {\mathrm{\Omega }}_0\Vert =1$.
Из (1.5.6) следует, что, если ${\mathrm{\Omega }}_0$— собственный вектор гамильтониана $H$, таков и вектор $A^{\ast n}{\mathrm{\Omega }}_0$, причем
$$H{A}^{\ast n}{\mathrm{\Omega }}_0=A^{\ast n}H{\mathrm{\Omega }}_0+[H,{A^{\ast n}|}_0=(\frac{1}{2}+n)A^{\ast n}{\mathrm{\Omega }}_0.$$

Значит, спектр оператора $H$ содержит точки $(\frac{1}{2}+n),n=0,1,2,\dots$.
Чтобы закончить доказательство теоремы, осталось доказать полноту в пространстве $L_2$ найденного набора собственных функций $\left\{A^{\ast n}{\mathrm{\Omega }}_0\right\}$. Ниже, в предпожении 1.5.7, мы дадим элементарнсе доказательство этого хорошо известного факта. Заметим, что найденные собственные функции — элементы пространства $\mathcal{P}$. Следовательно, оператор $H$ существенно-самосопряжен на ${\mathcal{P}}^1$ ). Другимн словами, существует единственный самосопряженный оператор (обозначим его тоже $H$ ), который совпадает с $H$ на его области определения $\mathcal{P}$.

Перейдем теперь к изучению некоторых свойств собственных функций. Их нормировка определяется из следующей цепочки равенств:
$$\begin{array}{rl}⟨{\mathrm{\Omega }}_0,A^n{A}^{\ast n}{\mathrm{\Omega }}_0⟩& =⟨{\mathrm{\Omega }}_0,A^{n-1}[A,A^{\ast n}]{\mathrm{\Omega }}_0⟩=\\ & =n⟨{\mathrm{\Omega }}_0,A^{n-1}{A}^{\ast n-1}{\mathrm{\Omega }}_0⟩=\dots =n!\end{array}$$

так что
$${\mathrm{\Omega }}_n=(n!{)}^{-1/2}{A}^{\ast n}{\mathrm{\Omega }}_0$$
— нормированные собственные функции. Мы будем называть состояние ${\mathrm{\Omega }}_n$ осциллятора $n$-частичным или $n$-квантовым состоянием,
1) Симметрический оператор $H$, определенный на плотном множестве $\mathcal{D}$, называется существенно-самосоіряженным, если $H^{\ast \ast }=H$. Это условие эквивалентно тому, что числа $\pm i$ не являются собственными значениями оператора $H^{\ast }$ или что образ $\mathrm{Im}(H\pm i)$ является плотным. Если оператор $H$ нмеет плотное множество собственных функций ${\mathrm{\Omega }}_n\in \mathcal{D}$, то он существенно-самосопряжен. В самом деле, пусть функция $\chi$ из области определения оператора $H^{\ast }$ является решением уравнения $H^{\ast }\chi =i\chi$; тогда
$$0=⟨(H^{\ast }-i)\chi ,{\mathrm{\Omega }}_n⟩=⟨\chi ,(H+i){\mathrm{\Omega }}_n⟩=⟨\chi ,{\mathrm{\Omega }}_n⟩(E_n+i).$$

Итак, $⟨\chi ,{\mathrm{\Omega }}_n⟩=0$ для всех $n$, и, в силу полноты множества собственных функ. ций ${\mathrm{\Omega }}_n$, получаем, что $\chi =0$.
считая, что каждый квант энергии равен $\hslash \mu$. Соотношения
$$A^{\ast }{\mathrm{\Omega }}_n=\sqrt{n+1}{\mathrm{\Omega }}_{n+1},A{\mathrm{\Omega }}_n=\sqrt{n}{\mathrm{\Omega }}_{n-1},A^{\ast }A{\mathrm{\Omega }}_n=n{\mathrm{\Omega }}_n$$

можно интерпретировать следующим образом. Оператор $A^{\ast }$, действуя на состояние ${\mathrm{\Omega }}_n$, добавляет к нему одну частицу, или один квант, и тем самым увеличивает энергию состояния на величину $\hslash \mu$. Сопряженный оператор $A$, наоборот, поглощает или уничтожает квант. Полная энергия равна $\hslash \mu /2+\hslash \mu \cdot n$, где $n$ — число квантов. Для произвольного состояния $\theta$ имеем $\theta =\sum c_n{\mathrm{\Omega }}_n$, где ${\left|c_n\right|}^2-$ вероятность наличия $n$ квантов и $⟨\theta ,A^{\ast }A\theta ⟩=\sum n{\left|c_n\right|}^2-$ среднее число квантов в состоянии $\theta$. Поэтому оператор $A^{\ast }A$ называется оператором числа частиц.

В шредингеровом представлении волновые функции ${\mathrm{\Omega }}_n(y)$, как мы увидим ниже, совпадают с нормированными полиномами Эрмита. Пусть $P_n(x)$ обозначает $n$-й полином Эрмита, т. е.
$$P_n(x)=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^j{c}_{n,j}{x}^{n-2j}$$

где $[n]$ — целая часть числа и
$$c_{n,j}=n![(n-2j)!2^{j}j!].$$

Лемма 1.5.2. $(x-d/dx)P_n=P_{n+1}$.
Доказательство. Левая часть равна
$$\sum _{j=0}^{[n/2\}}(-1{)}^j{c}_{n,j}[x^{n+1-2j}-(n-2j)x^{n+1-2(j+1)}].$$

Заметим, что
$$c_{n,j}=(1-\frac{2j}{n+1})c_{n+1,j}=\frac{2(j+1)}{(n+1)(n-2j)}{c}_{n+1,j+1}.$$

Подставим эти тождества в разложенке (1.5.14). Переобозначив индексы, получим представление (1.5.12) полинома $P_{n+1}$.
Лемма 1.5.3. Обращением (1.5.12) служит формула
$$x^n=\sum _{j=0}^{[n/2]}{c}_{n,j}{P}_{n-2j}(x).$$

Доказательство. Воспользуемся индукцией. При $n=0$ лемма верна. Предположим, что утверждение доказано при $n⩽r$. Тогда, в силу леммы 1.5.2,
$$x^{r+1}=\sum _{j=0}^{\{r/2\}}{c}_{r,j}x\cdot P_{r-2\}}(x)=\sum _{j=0}^{\{r/2\}}{c}_{r,j}(P_{r+1-2j}(x)+\frac{d}{dx}{P}_{r-2\}}(x)).$$

Воспользовавшись предположением індукции, получим сначала, что члены с производной в сумме дают одночлен $r{x}^{\prime -1}$, который можно разложить по полиномам

Эрмита вновь с учетом предположения индукции. В результате получим
$$x^{r+1}=\sum _{j=0}^{\lfloor r/2\rfloor }{c}_{r,j}{P}_{r+1-2\rfloor }(x)+\sum _{j=1}^{|(r+1)/2|}r{c}_{r-1,j-1}{P}_{r+1-2j}(x).$$

Заметим, что $c_{r+1,j}=c_{r,j}+r{c}_{r-1,j-1}$ при $j⩽[r/2]$, и если $r$ нечетно, а $j=$ $=(r+1)/2$, то $c_{r+1,j}=r{c}_{r-1,i-1}$. Поэтому $x^{r+1}=\sum _{j=0}^{\mid \{r+1,j2\mid }{c}_{r+1,j}{P}_{r+1-2j}(x)$.
Предложение 1.5.4. $\left(A^{\ast n}{\mathrm{\Omega }}_0\right)(y)=P_n(\sqrt{2}y){\mathrm{\Omega }}_0(y)$,
$${\mathrm{\Omega }}_n(y)=n{!}^{-1/2}{P}_n(\sqrt{2}y){\mathrm{\Omega }}_0(y).$$

Доказательство. Опять воспользуемся индукцией. При $n=0$ утверждение верно. Пусть оно доказано для некоторого фикснрованного $n$. Используя (1.5.10), нолучим
$${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=(n+1{)}^{-1/2}{A}^{\ast }{\mathrm{\Omega }}_n=(n+1){!}^{-1/2}{A}^{\ast }{P}_n(\sqrt{2}y){\mathrm{\Omega }}_0(y).$$

В силу (1.5.3), $A^{\ast }=2^{-1/2}(y-d/dy)$, поэтому
$${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=(n+1){!}^{-1/2}[2^{1/2}y{P}_n(\sqrt{2}y)-2^{-1/2}\frac{d{P}_n(\sqrt{2}y)}{dy}]{\mathrm{\Omega }}_0(y).$$

Из леммы 1.5.2 следует, что ${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=(n+1){!}^{-1/2}{P}_{n+1}(\sqrt{2}y){\mathrm{\Omega }}_0$. Тем самым индукция завершена.

Оператор $P_n(\sqrt{2}Q)=\sum (-1{)}^t{c}_{n,j}(\sqrt{2}Q{)}^{n-2j}$ в шредингеровом представлении в пространстве $\mathcal{H}=L_2(dy)$ является оператором умножекия на функцию $P_n(\sqrt{2}y)$.

Теперь определим «упорядоченные мономы Вика» от переменной $Q$ формулами
$$\begin{array}{rl}:Q^n:=2^{-n/2}{P}_n(\sqrt{2}Q)& =Q^n+\text{ полином степени }(n-2)=\\ & =\sum _{j=0}^{[n/2]}(-1{)}^j{c}_{n\cdot f^2}{2}^{-j}{Q}^{n-2j}.\end{array}$$

На полиномы от $Q$ это определение распространяется по линейности. Мономы Вика : $Q^n$ : — это полиномы степени n. Они ортогональны при интегрировании по гауссовой мере
$$d\phi ={\mathrm{\Omega }}_0^{2}dy={\pi }^{-1/2}{e}^{-y^2}dy.$$

Иначе говоря,
$$\begin{array}{rl}\int :Q^n::Q^m:d\phi & =⟨{\mathrm{\Omega }}_0,:Q^n::Q^m:{\mathrm{\Omega }}_0⟩=\\ & =2^{-(n+m)/2}⟨A^{\ast n}{\mathrm{\Omega }}_0,A^{\ast m}{\mathrm{\Omega }}_0⟩=2^{-n}n!{\delta }_{nm}.\end{array}$$

Предложение 1.5.5. На области, являющейся линейной оболочкой соботвенных функций ${\mathrm{\Omega }}_n$, имеет место равенство
$$:Q^n:=2^{-n/2}\sum _{j=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right)A^{\ast i}{A}^{n-1}.$$

Замечание. Эта формула есть не что пное, как биномиальное разложенне для $Q^n=2^{-n/2}{(A^{\ast }+A)}^n$, лереписанное так, что каждый оператор рождения $A^{\ast }$ стоит слева от оператора уничтожения $A$ (т. е. в виковом упорядочении). Можно проанализировать эти формулы на языке диаграмм. При этом оказывается, что коэффициент $c_{n,j}$ равен числу способов выбора $j$ неупорядоченных пар из элементов.
Доказательство. Обозначим правую часть равенства (1.5.18) через $L$. На пространстве $\mathcal{P}$
$$[Q,L]=2^{-(n+1)/2}\sum _{j=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right)\{j{A}^{\ast j-1}{A}^{n-j}-(n-j)A^{\ast j}{A}^{n-j-1}\}=0.$$

Поэтому $[P_r(\sqrt{2}Q),L]=0$. Воспользовавинсь определением (1.5.16) и предложеннем 1.54 , нонучасм
$$0=\{:Q^n:-L\}{\mathrm{\Omega }}_0=r{!}^{-1/2}{P}_r(\sqrt{2}Q)\{:Q^n:-L\}{\mathrm{\Omega }}_0=\{:Q^n:-L\}{\mathrm{\Omega }}_r.$$

Предложение 1.5.6. Векторы ${\chi }_v=e^{ivQ}{\mathrm{\Omega }}_0$, где $v$ вещественно, порождают пространство $L_2$.
Доказательство. Предположим, что вектор $\theta \in L_2$ ортогонален ${\chi }_v$. Тогда
$$0=⟨\theta ,{\chi }_v⟩={\left(\theta e^{-Q^2/2}\right)}^2(v).$$

Так как преобразование Фурье — унитарный оператор в $L_2$, то $\theta e^{-Q^{2/2}}=0$. Следовательно, $\theta =0$ и, значит, ${\chi }_u$ порождают $L_2$.
Предложение 1.5.7. Нормированные полиномы Эрмита ${\mathrm{\Omega }}_n(y)$ образуют полное ортонормированное множество в пространстве $L_2$.

Доказательство. Покажем, что векторы $\chi$ принадлежат линейной оболочке векторов ${\mathrm{\Omega }}_n$. После этого утверждение будет вытекать из предложения 1.5.6. Обращение формулы (1.5.16) получается с помощью (1.5.15):
$$Q^n=\sum _{j=0}^{\lceil n/2]}{c}_{n,f^2}:Q^{n-2\}}:$$

поэтому $Q^n{\mathrm{\Omega }}_0$ лежит в линейной оболочке векторов ${\mathrm{\Omega }}_n$, а именно
$${Q^n{\mathrm{\Omega }}_0=\sum _{j=0}^{[n/2]}{c}_{n,j}{2}^{-n/2}(n-2j)]}^{\mathrm{I}/2}{\mathrm{\Omega }}_{n-2j}.$$

Далее,
$${\Vert Q^n{\mathrm{\Omega }}_0\Vert }^2=\sum _{j=0}^{[n/2]}{c}_{n,j}^2{2}^{-n}(n-2j)!=\sum _{j=0}^{[n/2]}\frac{(n!{)}^2}{(n-2j)!(j!{)}^2{2}^{2j+n}}⩽O(1)n!,$$

поэтому ряд ${\chi }_v=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(ivQ{)}^n(n!{)}^{-1}{\mathrm{\Omega }}_0$ сходится в $L_2$.
Предложение 1.5.8. Для любого комплексного v ряды, определяю. щие экспоненту, сходятся, и имеет место равенство
$$e^{vQ}{\mathrm{\Omega }}_r=e^{v^2/4}{e}^{v{A}^{\ast }/{\sqrt{}}^2}{e}^{vA/\sqrt{}{}^2{\mathrm{\Omega }}_r}.$$

Доказательство. Сходимость рядов при $r=0$ следует из (1.5.20). В силу равенств (1.5.16) и (1.5.19),
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(vQ{)}^{n}n{!}^{-1}{\mathrm{\Omega }}_0& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{[n/2]}{v}^{n}n{!}^{-1}{c}_{n,j^2}{}^{-n/2}{A}^{\ast n-2j}{\mathrm{\Omega }}_0=\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{[n/2]}\frac{v^{2j}\cdot v^{n-2j}}{2^{2j}j!(n-2j)!2^{(n-2j)2}}{A}^{\ast n-2j}{\mathrm{\Omega }}_0=\\ & =e^{v^2/4}{e}^{v{A}^{\ast }/\sqrt{2}}{\mathrm{\Omega }}_0=e^{v^2/4}{e}^{v{A}^{\ast }/\sqrt{2}}{e}^{vA/\sqrt{2}}{\mathrm{\Omega }}_0.\end{array}$$

Далее, $f(v)\equiv e^{v{A}^{\ast }}A{e}^{-v{A}^{\ast }}=f(0)+v{f}^{\prime }(0)=A-v$, поскольку $f^{(n)}(v)=0$ при $n⩾2$. Отсюда получаем, что $e^{v{A}^{\ast }}A=(A-v)e^{v{A}^{\ast }}{}_{11}[Q,e^{v{A}^{\ast }}{e}^{vA}]{\mathrm{\Omega }}_0=0$. Умножение на $(r!{)}^{-1/2}{P}_r(\sqrt{2}Q)$ завершает доказательство сходнмости ряда для экспоненты при $req0$ и дает формулу (1.5.21).
Заметим, что равенство (1.5.21) — это формула типа
$$e^{R+S}=e^R{e}^S{e}^{-[R,S]/2},[R,S]=\alpha I,$$

справедливая во всяком случае для ограниченных операторов $R$ и $S$, таких, что их коммутатор кратен единичному оператору. Чтобы не заботиться об областях определения рассматриваемых операторов, мы дали прямое доказательство равенства (1.5.21). А вообще говоря, оно следует из того, что функция
$$f(\lambda )=e^{\lambda (R+S)}{e}^{-\lambda S}{e}^{-\lambda R}{e}^{{\lambda }^2[R,S]/2}$$

удовлетворяет уравнению первого порядка $f^{\prime }(\lambda )=0,f(0)=I$, единственным решением которого служит $f(\lambda )\equiv I$.

Выше мы уже отмечали, что если доказана полнота некоторого данного семейства собственных функций, то при доказательстве полноты такого семейства у широкого класса гамильтонианов можно использовать некоторые абстрактные критерии. В частности, можно показать, что у гамильтонианов $H_1$ более общего вида, чем гамильтониан $H_{\text{osс }}$ гармонического осциллятора, возможны лишь дискретные собственные значения. Это верно, например, в случае гамильтониана ангармонического осциллятора
$$H_1=H_{\text{osc }}+\lambda q^4-\mu q+\text{ const. }$$

Теорема 1.5.9. Пусть $Н$ и $H_1$-самосопряженные операторы и
$$0⩽H⩽\text{ const }\cdot H_1.$$

Тогда оператор $H_1$ имеет компактную резольвенту и полное множество собственных функций, при условии что этими свойствами обладает оператор $H$.
Доказательство. Из (1.5.22) следует, что оператор $B=H^{1/2}{H}_1^{-1/2}$ ограничен. Поэтому оператор $H_1^{-1/2}=H^{-1/2}B$ есть произведение ограниченного и компактного операторов и, следовательно, тоже компактен. Отсюда вытекает компактность резольвенты и полнота системы собственных функций.

—————————————————————-
0014ru_fiz_kvan_book28_no_photo_page-0035.jpg.txt

34
Гл. 1. Квантовая теория
Эта теорема иллюстрирует важность апрнорной оценки (1.5.22) при сравнении двух операторов: более сложного оператора $H_1$, про который ничего не известно, с простым конкретным оператором $H_{\text{osc }}$.

Перейдем теперь ко второму важному свойству оператора $H$, состоящему в том, что в шредингеровом представлении $e^{-th}$ является интегральным оператором с положительным ядром $p_t(y,y^{\prime })$ :
$$\left(e^{-tH}\theta \right)(y)=\int p_t(y,y^{\prime })\theta \left(y^{\prime }\right)d{y}^{\prime }.$$

Для того чтобы это ядро сохраняло гауссово вероятностное расіределение (см. ниже формулу (1.5.22)), необходимо перенормировать оператор $H$, задаваемый равенством (1.5.2), и положить $H=\frac{1}{2}(P^2+Q^2)-\frac{1}{2}=A^{\ast }A$.
Теорема 1.5.10. Ядро оператора $e^{-\text{-tн }}$ обладает свойствами
$$\begin{array}{c}{p}_t(y,y^{\prime })=p_t(y^{\prime },y)>0,\\ \int p_t(y,y^{\prime })\exp \left\{\frac{1}{2}(y^2-y^{\prime 2})\right\}d{y}^{\prime }=1.\end{array}$$

В частности, явное выражение для него дается формулой Мелера
$$p_t(y,y^{\prime })={\pi }^{-1/2}{(1-e^{-2t})}^{-1/2}\exp (-\frac{y^2-y^{\prime 2}}{2}-\frac{{(e^{-t}y-y^{\prime })}^2}{1-e^{-2t}}).$$

Доказательство. Симметричность ядра — следствие определения (1.5.23) и симметричности оператора $H$ (кроме того, она вытекает из (1.5.26)). Свойство (1.5.25) означает, что $e^{-t{H}_{{\mathrm{\Omega }}_0}}={\mathrm{\Omega }}_0$, поэтому для его доказательства достаточно показать, что $H{\mathrm{\Omega }}_0=0$. Последнее равенство верно в силу сделанной перенормировки гамильтониана. Положительность ядра $p_t$ следует из формулы Мелера, к доказательству которой мы сейчас перейдем. Воспользовавшись (1.5.21), получаем, что
$$\begin{array}{rl}{e}^{-tH}{\chi }_u& =e^{-tH}{e}^{ivQ}{\mathrm{\Omega }}_0=e^{-tH}{e}^{-v^2/4}{e}^{iv{A}^{\ast }/\sqrt{2}}{\mathrm{\Omega }}_0=\\ & =e^{-v^2/4}{e}^{iv{e}^{-t}{A}^{\ast }/\sqrt{2}}{\mathrm{\Omega }}_0=\exp [-v^2(1-e^{-2t})/4]\exp \left[iv{e}^{-t}Q\right]{\mathrm{\Omega }}_0\end{array}$$

Поэтому, в силу определения ядра (1.5.23), имеем
$$\int p_t(y,y^{\prime })e^{-y^{\prime 2}/2}{e}^{iv{y}^{\prime }}d{y}^{\prime }=\exp (-v^2\frac{1-e^{-2t}}{4}+iv{e}^{-t}y-\frac{y^2}{2}).$$

Теперь для того, чтобы закончить доказательство, надо сделать обратное преобразование Фурье по переменной $v$. После умножения на $(2\pi {)}^{-1}{e}^{-iv{y}^{\prime }}$ правую vасть последнего равенства можно представить в виде
$$\frac{1}{2\pi }\exp [{(\frac{e^{-t}y-y^{\prime }}{\sqrt{1-e^{-2t}}}+iv\frac{\sqrt{1-e^{-2t}}}{2})}^2-\frac{{(e^{-t}y-y^{\prime })}^2}{1-e^{-2t}}]\exp (-\frac{y^2}{2})\text{. }$$

Сдвинув вещественную прямую (контур интегрирования) на комплексное число, перейдем к интегралу вида $\int e^{-a{v}^2/2}dv=(2\pi {)}^{1/2}{a}^{-1/2}$. В результате получим формулу (1.5.26).

В общем случае обычно переходят к представлению $\mathcal{H}=L_2(d\phi (y))$, где $d\phi (y)={\mathrm{\Omega }}_0^{2}dy$ (см. (1.5.17)), в котором основному состоянию соответствует функция, тождественно равная 1. Тогда остальные состояния будут представлены функцией ${\mathrm{\Omega }}_0(y{)}^{-1}\approx$ $={\pi }^{1/4}{e}^{y^{9/2}}$, умноженной на их шредингерово представление. В этом представлении ядро оператора $e^{-tH}$ определяется формулой
$$\left(e^{-tH}\theta \right)(y)=\int {\mathcal{K}}_t(y,y^{\prime })\theta \left(y^{\prime }\right)d\phi \left(y^{\prime }\right),$$

где
$$\begin{array}{rl}{\mathcal{K}}_t(y,y^{\prime })& ={\mathrm{\Omega }}_0(y{)}^{-1}{p}_t(y,y^{\prime }){\mathrm{\Omega }}_0{\left(y^{\prime }\right)}^{-1}=\\ & ={(1-e^{-2t})}^{-1/2}\exp (y^{\prime 2}-\frac{{(e^{-t}y-y^{\prime })}^2}{1-e^{-2t}}).\end{array}$$