Этот элементарный пример содержится в каждой книге по квантовой механике. В отличие от большинства квантовомеханических задач задача о гармоническом осцилляторе допускает явное решение в терминах элементарных функций (полиномов Эрмита) и гауссовых интегралов. На его примере некоторые общие принципы можно проиллюстрировать явными вычислениями. Многие свойства гармонического осциллятора переносятся и на другие квантовомеханические задачи, уже не сводящиеся к гауссовым состояниям. Простой гармонический осциллятор играет также важную роль в теории поля, потому что свободное квантовое поле можно представить как совокупность бесконечного числа гармонических осцилляторов. Согласно этой картине, поле со взанмодействием можно представлять как набор ангармонических осцилляторов и рассматривать как ангармоническое возмущение гармонических осцилляторов.

Гамильтониан $H$ простого осциллятора имеет тот же вид, что и энергия классического осциллятора:
\[
H_{\mathrm{osc}}=\frac{1}{2 m} p^{2}+\frac{1}{2} k q^{2} .
\]

Напомним, что в классическом случае частота колебаний осциллятора равна $\mu=(k / m)^{1 / 2}$. Для дальнейнего изложения удобно ввести безразмерные переменные
\[
Q=(m \mu / \hbar)^{1 / 2} q, \quad P=(m \mu \hbar)^{-1 / 2} p, \quad H=(\hbar \mu)^{-1} H_{\mathrm{osc}} ;
\]

в этих переменных
\[
H=\frac{1}{2}\left(P^{2}+Q^{2}\right)
\]

и
\[
[P, Q]=\hbar^{-1}[p, q]=-i .
\]

Мы рассматриваем шредингерово представление, в котором $P=$ $=-i d / d y$, а оператор $Q$ в пространстве $\mathscr{H}=L_{2}(d y)$ действует как умножение на независимую переменную $y$. В качестве области определения оператора $H$, как и остальных операторов этой главы, берется пространство Шварца $\mathscr{S}$. Го определению $\theta \in \mathscr{S}$, если функция $\theta$ и все ее производные быстро убывают на бесконечности. Bсе операторы, которые мы рассматриваем, например $H, P, Q$, отображают $\mathscr{H}$ в $\mathscr{C}$, так что пространство Шварца $\mathscr{S}$ является для них «инвариантной областью».

В этой главе мы изучим два фундаментальных свойства оператора $H$ : полноту набора его собственных функций и то, что оператор $e^{-t H}$ сохраняет положительность (т. е. переводит положительные функции в положительные). Мы проверим их прямым вычислением. Впоследствии при помощи более абстрактных методов удастся доказать подобные свойства для широкого класса потенциалов. Особенно важную роль играет положительность оператора $e^{-t H}$ : она связана с единственностью основного состояния и интегральным представлением Фейнмана — Қаца (гл. 3).
Теорема 1.5.1. Оператор $H$ существенно-самосопряжен и имеет спектр $\hbar и(n+1 / 2)$. Резольвента оператора $H_{\text {osc — }}$-компактный оператор.
Доказательство. Определим операторы «рождения» и «уничтожения» $A^{*}$ и $A$ формулами
\[
A^{*}=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q-i P), \quad A=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q+i P) ;
\]

при этом
\[
\left[A, A^{*}\right]=1 \text {. }
\]

Простые вычисления показывают, что
\[
H=\frac{1}{2}\left(P^{2}+Q^{2}\right)=A^{*} A+\frac{1}{2} .
\]

Далтеe,
\[
[H, A]=-A, \quad\left[H, A^{*}\right]=A^{*} .
\]

Из (1.5.5) видно, что еслн вектор $\Omega_{0}$ удовлетворяет уравнению $A \Omega_{0}=0$, то $\Omega_{0}-$ собственный вектор оператора $H$, а именно $H \Omega_{0}=\frac{1}{2} \Omega_{0}$. В шредингеровом представлении уравнение $A \Omega_{0}=0$ записывается в внде
\[
d \Omega_{0} / d y=-y \Omega_{0} .
\]

Отсюда мы заключаем, что $\Omega_{\Downarrow}$ — это известное гауссово распределенис:
\[
\Omega_{0}(y)=\text { const } e^{-y^{2} / 2}=\pi^{-1 / 4} e^{-y^{2} / 2},
\]

где константа подобрана так, что $\left\|\Omega_{0}\right\|=1$.
Из (1.5.6) следует, что, если $\Omega_{0}$— собственный вектор гамильтониана $H$, таков и вектор $A^{* n} \Omega_{0}$, причем
\[
H A^{* n} \Omega_{0}=A^{* n} H \Omega_{0}+\left[H,\left.A^{* n}\right|_{0}=\left(\frac{1}{2}+n\right) A^{* n} \Omega_{0} .\right.
\]

Значит, спектр оператора $H$ содержит точки $\left(\frac{1}{2}+n\right), n=0,1,2, \ldots$.
Чтобы закончить доказательство теоремы, осталось доказать полноту в пространстве $L_{2}$ найденного набора собственных функций $\left\{A^{* n} \Omega_{0}\right\}$. Ниже, в предпожении 1.5.7, мы дадим элементарнсе доказательство этого хорошо известного факта. Заметим, что найденные собственные функции — элементы пространства $\mathscr{P}$. Следовательно, оператор $H$ существенно-самосопряжен на $\mathscr{P}^{1}$ ). Другимн словами, существует единственный самосопряженный оператор (обозначим его тоже $H$ ), который совпадает с $H$ на его области определения $\mathscr{P}$.

Перейдем теперь к изучению некоторых свойств собственных функций. Их нормировка определяется из следующей цепочки равенств:
\[
\begin{aligned}
\left\langle\Omega_{0}, A^{n} A^{* n} \Omega_{0}\right\rangle & =\left\langle\Omega_{0}, A^{n-1}\left[A, A^{* n}\right] \Omega_{0}\right\rangle= \\
& =n\left\langle\Omega_{0}, A^{n-1} A^{* n-1} \Omega_{0}\right\rangle=\ldots=n !
\end{aligned}
\]

так что
\[
\Omega_{n}=(n !)^{-1 / 2} A^{* n} \Omega_{0}
\]
— нормированные собственные функции. Мы будем называть состояние $\Omega_{n}$ осциллятора $n$-частичным или $n$-квантовым состоянием,
1) Симметрический оператор $H$, определенный на плотном множестве $\mathscr{D}$, называется существенно-самосоіряженным, если $H^{* *}=H$. Это условие эквивалентно тому, что числа $\pm i$ не являются собственными значениями оператора $H^{*}$ или что образ $\operatorname{Im}(H \pm i)$ является плотным. Если оператор $H$ нмеет плотное множество собственных функций $\Omega_{n} \in \mathscr{D}$, то он существенно-самосопряжен. В самом деле, пусть функция $\chi$ из области определения оператора $H^{*}$ является решением уравнения $H^{*} \chi=i \chi$; тогда
\[
0=\left\langle\left(H^{*}-i\right) \chi, \Omega_{n}\right\rangle=\left\langle\chi,(H+i) \Omega_{n}\right\rangle=\left\langle\chi, \Omega_{n}\right\rangle\left(E_{n}+i\right) .
\]

Итак, $\left\langle\chi, \Omega_{n}\right\rangle=0$ для всех $n$, и, в силу полноты множества собственных функ. ций $\Omega_{n}$, получаем, что $\chi=0$.
считая, что каждый квант энергии равен $\hbar \mu$. Соотношения
\[
A^{*} \Omega_{n}=\sqrt{n+1} \Omega_{n+1}, \quad A \Omega_{n}=\sqrt{n} \Omega_{n-1}, \quad A^{*} A \Omega_{n}=n \Omega_{n}
\]

можно интерпретировать следующим образом. Оператор $A^{*}$, действуя на состояние $\Omega_{n}$, добавляет к нему одну частицу, или один квант, и тем самым увеличивает энергию состояния на величину $\hbar \mu$. Сопряженный оператор $A$, наоборот, поглощает или уничтожает квант. Полная энергия равна $\hbar \mu / 2+\hbar \mu \cdot n$, где $n$ — число квантов. Для произвольного состояния $\theta$ имеем $\theta=\sum c_{n} \Omega_{n}$, где $\left|c_{n}\right|^{2}-$ вероятность наличия $n$ квантов и $\left\langle\theta, A^{*} A \theta\right\rangle=\sum n\left|c_{n}\right|^{2}-$ среднее число квантов в состоянии $\theta$. Поэтому оператор $A^{*} A$ называется оператором числа частиц.

В шредингеровом представлении волновые функции $\Omega_{n}(y)$, как мы увидим ниже, совпадают с нормированными полиномами Эрмита. Пусть $P_{n}(x)$ обозначает $n$-й полином Эрмита, т. е.
\[
P_{n}(x)=\sum_{j=0}^{\lfloor n / 2\rfloor}(-1)^{j} c_{n, j} x^{n-2 j}
\]

где $[n]$ — целая часть числа и
\[
c_{n, j}=n !\left[(n-2 j) ! 2^{j} j !\right] .
\]

Лемма 1.5.2. $(x-d / d x) P_{n}=P_{n+1}$.
Доказательство. Левая часть равна
\[
\sum_{j=0}^{[n / 2\}}(-1)^{j} c_{n, j}\left[x^{n+1-2 j}-(n-2 j) x^{n+1-2(j+1)}\right] .
\]

Заметим, что
\[
c_{n, j}=\left(1-\frac{2 j}{n+1}\right) c_{n+1, j}=\frac{2(j+1)}{(n+1)(n-2 j)} c_{n+1, j+1} .
\]

Подставим эти тождества в разложенке (1.5.14). Переобозначив индексы, получим представление (1.5.12) полинома $P_{n+1}$.
Лемма 1.5.3. Обращением (1.5.12) служит формула
\[
x^{n}=\sum_{j=0}^{[n / 2]} c_{n, j} P_{n-2 j}(x) .
\]

Доказательство. Воспользуемся индукцией. При $n=0$ лемма верна. Предположим, что утверждение доказано при $n \leqslant r$. Тогда, в силу леммы 1.5.2,
\[
x^{r+1}=\sum_{j=0}^{\{r / 2\}} c_{r, j} x \cdot P_{r-2\}}(x)=\sum_{j=0}^{\{r / 2\}} c_{r, j}\left(P_{r+1-2 j}(x)+\frac{d}{d x} P_{r-2\}}(x)\right) .
\]

Воспользовавшись предположением індукции, получим сначала, что члены с производной в сумме дают одночлен $r x^{\prime-1}$, который можно разложить по полиномам

Эрмита вновь с учетом предположения индукции. В результате получим
\[
x^{r+1}=\sum_{j=0}^{\lfloor r / 2\rfloor} c_{r, j} P_{r+1-2\rfloor}(x)+\sum_{j=1}^{|(r+1) / 2|} r c_{r-1, j-1} P_{r+1-2 j}(x) .
\]

Заметим, что $c_{r+1, j}=c_{r, j}+r c_{r-1, j-1}$ при $j \leqslant[r / 2]$, и если $r$ нечетно, а $j=$ $=(r+1) / 2$, то $c_{r+1, j}=r c_{r-1, i-1}$. Поэтому $x^{r+1}=\sum_{j=0}^{\mid\{r+1, j 2 \mid} c_{r+1, j} P_{r+1-2 j}(x)$.
Предложение 1.5.4. $\left(A^{* n} \Omega_{0}\right)(y)=P_{n}(\sqrt{2} y) \Omega_{0}(y)$,
\[
\Omega_{n}(y)=n !^{-1 / 2} P_{n}(\sqrt{2} y) \Omega_{0}(y) .
\]

Доказательство. Опять воспользуемся индукцией. При $n=0$ утверждение верно. Пусть оно доказано для некоторого фикснрованного $n$. Используя (1.5.10), нолучим
\[
\Omega_{n+1}=(n+1)^{-1 / 2} A^{*} \Omega_{n}=(n+1) !^{-1 / 2} A^{*} P_{n}(\sqrt{2} y) \Omega_{0}(y) .
\]

В силу (1.5.3), $A^{*}=2^{-1 / 2}(y-d / d y)$, поэтому
\[
\Omega_{n+1}=(n+1) !^{-1 / 2}\left[2^{1 / 2} y P_{n}(\sqrt{2} y)-2^{-1 / 2} \frac{d P_{n}(\sqrt{2} y)}{d y}\right] \Omega_{0}(y) .
\]

Из леммы 1.5.2 следует, что $\Omega_{n+1}=(n+1) !^{-1 / 2} P_{n+1}(\sqrt{2} y) \Omega_{0}$. Тем самым индукция завершена.

Оператор $P_{n}(\sqrt{2} Q)=\sum(-1)^{t} c_{n, j}(\sqrt{2} Q)^{n-2 j}$ в шредингеровом представлении в пространстве $\mathscr{H}=L_{2}(d y)$ является оператором умножекия на функцию $P_{n}(\sqrt{2} y)$.

Теперь определим «упорядоченные мономы Вика» от переменной $Q$ формулами
\[
\begin{aligned}
: Q^{n}:=2^{-n / 2} P_{n}(\sqrt{2} Q) & =Q^{n}+\text { полином степени }(n-2)= \\
& =\sum_{j=0}^{[n / 2]}(-1)^{j} c_{n \cdot f^{2}} 2^{-j} Q^{n-2 j} .
\end{aligned}
\]

На полиномы от $Q$ это определение распространяется по линейности. Мономы Вика : $Q^{n}$ : — это полиномы степени n. Они ортогональны при интегрировании по гауссовой мере
\[
d \varphi=\Omega_{0}^{2} d y=\pi^{-1 / 2} e^{-y^{2}} d y .
\]

Иначе говоря,
\[
\begin{aligned}
\int: Q^{n}:: Q^{m}: d \varphi & =\left\langle\Omega_{0},: Q^{n}:: Q^{m}: \Omega_{0}\right\rangle= \\
& =2^{-(n+m) / 2}\left\langle A^{* n} \Omega_{0}, \quad A^{* m} \Omega_{0}\right\rangle=2^{-n} n ! \delta_{n m} .
\end{aligned}
\]

Предложение 1.5.5. На области, являющейся линейной оболочкой соботвенных функций $\Omega_{n}$, имеет место равенство
\[
: Q^{n}:=2^{-n / 2} \sum_{j=0}^{n}\left(\begin{array}{c}
n \\
j
\end{array}\right) A^{* i} A^{n-1} .
\]

Замечание. Эта формула есть не что пное, как биномиальное разложенне для $Q^{n}=2^{-n / 2}\left(A^{*}+A\right)^{n}$, лереписанное так, что каждый оператор рождения $A^{*}$ стоит слева от оператора уничтожения $A$ (т. е. в виковом упорядочении). Можно проанализировать эти формулы на языке диаграмм. При этом оказывается, что коэффициент $c_{n, j}$ равен числу способов выбора $j$ неупорядоченных пар из элементов.
Доказательство. Обозначим правую часть равенства (1.5.18) через $L$. На пространстве $\mathscr{P}$
\[
[Q, L]=2^{-(n+1) / 2} \sum_{j=0}^{n}\left(\begin{array}{c}
n \\
j
\end{array}\right)\left\{j A^{* j-1} A^{n-j}-(n-j) A^{* j} A^{n-j-1}\right\}=0 .
\]

Поэтому $\left[P_{r}(\sqrt{2} Q), L\right]=0$. Воспользовавинсь определением (1.5.16) и предложеннем 1.54 , нонучасм
\[
0=\left\{: Q^{n}:-L\right\} \Omega_{0}=r !^{-1 / 2} P_{r}(\sqrt{2} Q)\left\{: Q^{n}:-L\right\} \Omega_{0}=\left\{: Q^{n}:-L\right\} \Omega_{r} .
\]

Предложение 1.5.6. Векторы $\chi_{v}=e^{i v Q} \Omega_{0}$, где $v$ вещественно, порождают пространство $L_{2}$.
Доказательство. Предположим, что вектор $\theta \in L_{2}$ ортогонален $\chi_{v}$. Тогда
\[
0=\left\langle\theta, \chi_{v}\right\rangle=\left(\theta e^{-Q^{2} / 2}\right)^{2}(v) .
\]

Так как преобразование Фурье — унитарный оператор в $L_{2}$, то $\theta e^{-Q^{2 / 2}}=0$. Следовательно, $\theta=0$ и, значит, $\chi_{
u}$ порождают $L_{2}$.
Предложение 1.5.7. Нормированные полиномы Эрмита $\Omega_{n}(y)$ образуют полное ортонормированное множество в пространстве $L_{2}$.

Доказательство. Покажем, что векторы $\chi$ принадлежат линейной оболочке векторов $\Omega_{n}$. После этого утверждение будет вытекать из предложения 1.5.6. Обращение формулы (1.5.16) получается с помощью (1.5.15):
\[
Q^{n}=\sum_{j=0}^{\lceil n / 2]} c_{n, f^{2}}: Q^{n-2\}}:
\]

поэтому $Q^{n} \Omega_{0}$ лежит в линейной оболочке векторов $\Omega_{n}$, а именно
\[
\left.Q^{n} \Omega_{0}=\sum_{j=0}^{[n / 2]} c_{n, j} 2^{-n / 2}(n-2 j)\right]^{\mathrm{I} / 2} \Omega_{n-2 j} .
\]

Далее,
\[
\left\|Q^{n} \Omega_{0}\right\|^{2}=\sum_{j=0}^{[n / 2]} c_{n, j}^{2} 2^{-n}(n-2 j) !=\sum_{j=0}^{[n / 2]} \frac{(n !)^{2}}{(n-2 j) !(j !)^{2} 2^{2 j+n}} \leqslant O(1) n !,
\]

поэтому ряд $\chi_{v}=\sum_{n=0}^{\infty}(i v Q)^{n}(n !)^{-1} \Omega_{0}$ сходится в $L_{2}$.
Предложение 1.5.8. Для любого комплексного v ряды, определяю. щие экспоненту, сходятся, и имеет место равенство
\[
e^{v Q} \Omega_{r}=e^{v^{2} / 4} e^{v A^{*} / \sqrt{ }^{2}} e^{v A / \sqrt{ }{ }^{2} \Omega_{r}} .
\]

Доказательство. Сходимость рядов при $r=0$ следует из (1.5.20). В силу равенств (1.5.16) и (1.5.19),
\[
\begin{aligned}
\sum_{n=0}^{\infty}(v Q)^{n} n !^{-1} \Omega_{0} & =\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{[n / 2]} v^{n} n !^{-1} c_{n, j^{2}}{ }^{-n / 2} A^{* n-2 j} \Omega_{0}= \\
& =\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{[n / 2]} \frac{v^{2 j} \cdot v^{n-2 j}}{2^{2 j} j !(n-2 j) ! 2^{(n-2 j) 2}} A^{* n-2 j} \Omega_{0}= \\
& =e^{v^{2} / 4} e^{v A^{*} / \sqrt{2}} \Omega_{0}=e^{v^{2} / 4} e^{v A^{*} / \sqrt{2}} e^{v A / \sqrt{2}} \Omega_{0} .
\end{aligned}
\]

Далее, $f(v) \equiv e^{v A^{*}} A e^{-v A^{*}}=f(0)+v f^{\prime}(0)=A-v$, поскольку $f^{(n)}(v)=0$ при $n \geqslant 2$. Отсюда получаем, что $e^{v A^{*}} A=(A-v) e^{v A^{*}}{ }_{11}\left[Q, e^{v A^{*}} e^{v A}\right] \Omega_{0}=0$. Умножение на $(r !)^{-1 / 2} P_{r}(\sqrt{2} Q)$ завершает доказательство сходнмости ряда для экспоненты при $r
eq 0$ и дает формулу (1.5.21).
Заметим, что равенство (1.5.21) — это формула типа
\[
e^{R+S}=e^{R} e^{S} e^{-[R, S] / 2}, \quad[R, S]=\alpha I,
\]

справедливая во всяком случае для ограниченных операторов $R$ и $S$, таких, что их коммутатор кратен единичному оператору. Чтобы не заботиться об областях определения рассматриваемых операторов, мы дали прямое доказательство равенства (1.5.21). А вообще говоря, оно следует из того, что функция
\[
f(\lambda)=e^{\lambda(R+S)} e^{-\lambda S} e^{-\lambda R} e^{\lambda^{2}[R, S] / 2}
\]

удовлетворяет уравнению первого порядка $f^{\prime}(\lambda)=0, f(0)=I$, единственным решением которого служит $f(\lambda) \equiv I$.

Выше мы уже отмечали, что если доказана полнота некоторого данного семейства собственных функций, то при доказательстве полноты такого семейства у широкого класса гамильтонианов можно использовать некоторые абстрактные критерии. В частности, можно показать, что у гамильтонианов $H_{1}$ более общего вида, чем гамильтониан $H_{\text {osс }}$ гармонического осциллятора, возможны лишь дискретные собственные значения. Это верно, например, в случае гамильтониана ангармонического осциллятора
\[
H_{1}=H_{\text {osc }}+\lambda q^{4}-\mu q+\text { const. }
\]

Теорема 1.5.9. Пусть $Н$ и $H_{1}$-самосопряженные операторы и
\[
0 \leqslant H \leqslant \text { const } \cdot H_{1} .
\]

Тогда оператор $H_{1}$ имеет компактную резольвенту и полное множество собственных функций, при условии что этими свойствами обладает оператор $H$.
Доказательство. Из (1.5.22) следует, что оператор $B=H^{1 / 2} H_{1}^{-1 / 2}$ ограничен. Поэтому оператор $H_{1}^{-1 / 2}=H^{-1 / 2} B$ есть произведение ограниченного и компактного операторов и, следовательно, тоже компактен. Отсюда вытекает компактность резольвенты и полнота системы собственных функций.

—————————————————————-
0014ru_fiz_kvan_book28_no_photo_page-0035.jpg.txt

34
Гл. 1. Квантовая теория
Эта теорема иллюстрирует важность апрнорной оценки (1.5.22) при сравнении двух операторов: более сложного оператора $H_{1}$, про который ничего не известно, с простым конкретным оператором $H_{\text {osc }}$.

Перейдем теперь ко второму важному свойству оператора $H$, состоящему в том, что в шредингеровом представлении $e^{-t h}$ является интегральным оператором с положительным ядром $p_{t}\left(y, y^{\prime}\right)$ :
\[
\left(e^{-t H} \theta\right)(y)=\int p_{t}\left(y, y^{\prime}\right) \theta\left(y^{\prime}\right) d y^{\prime} .
\]

Для того чтобы это ядро сохраняло гауссово вероятностное расіределение (см. ниже формулу (1.5.22)), необходимо перенормировать оператор $H$, задаваемый равенством (1.5.2), и положить $H=\frac{1}{2}\left(P^{2}+Q^{2}\right)-\frac{1}{2}=A^{*} A$.
Теорема 1.5.10. Ядро оператора $e^{- \text {-tн }}$ обладает свойствами
\[
\begin{array}{c}
p_{t}\left(y, y^{\prime}\right)=p_{t}\left(y^{\prime}, y\right)>0, \\
\int p_{t}\left(y, y^{\prime}\right) \exp \left\{\frac{1}{2}\left(y^{2}-y^{\prime 2}\right)\right\} d y^{\prime}=1 .
\end{array}
\]

В частности, явное выражение для него дается формулой Мелера
\[
p_{t}\left(y, y^{\prime}\right)=\pi^{-1 / 2}\left(1-e^{-2 t}\right)^{-1 / 2} \exp \left(-\frac{y^{2}-y^{\prime 2}}{2}-\frac{\left(e^{-t} y-y^{\prime}\right)^{2}}{1-e^{-2 t}}\right) .
\]

Доказательство. Симметричность ядра — следствие определения (1.5.23) и симметричности оператора $H$ (кроме того, она вытекает из (1.5.26)). Свойство (1.5.25) означает, что $e^{-t H_{\Omega_{0}}}=\Omega_{0}$, поэтому для его доказательства достаточно показать, что $H \Omega_{0}=0$. Последнее равенство верно в силу сделанной перенормировки гамильтониана. Положительность ядра $p_{t}$ следует из формулы Мелера, к доказательству которой мы сейчас перейдем. Воспользовавшись (1.5.21), получаем, что
\[
\begin{aligned}
e^{-t H} \chi_{
u} & =e^{-t H} e^{i v Q} \Omega_{0}=e^{-t H} e^{-v^{2} / 4} e^{i v A^{*} / \sqrt{2}} \Omega_{0}= \\
& =e^{-v^{2} / 4} e^{i v e^{-t} A^{*} / \sqrt{2}} \Omega_{0}=\exp \left[-v^{2}\left(1-e^{-2 t}\right) / 4\right] \exp \left[i v e^{-t} Q\right] \Omega_{0}
\end{aligned}
\]

Поэтому, в силу определения ядра (1.5.23), имеем
\[
\int p_{t}\left(y, y^{\prime}\right) e^{-y^{\prime 2} / 2} e^{i v y^{\prime}} d y^{\prime}=\exp \left(-v^{2} \frac{1-e^{-2 t}}{4}+i v e^{-t} y-\frac{y^{2}}{2}\right) .
\]

Теперь для того, чтобы закончить доказательство, надо сделать обратное преобразование Фурье по переменной $v$. После умножения на $(2 \pi)^{-1} e^{-i v y^{\prime}}$ правую vасть последнего равенства можно представить в виде
\[
\frac{1}{2 \pi} \exp \left[\left(\frac{e^{-t} y-y^{\prime}}{\sqrt{1-e^{-2 t}}}+i v \frac{\sqrt{1-e^{-2 t}}}{2}\right)^{2}-\frac{\left(e^{-t} y-y^{\prime}\right)^{2}}{1-e^{-2 t}}\right] \exp \left(-\frac{y^{2}}{2}\right) \text {. }
\]

Сдвинув вещественную прямую (контур интегрирования) на комплексное число, перейдем к интегралу вида $\int e^{-a v^{2} / 2} d v=(2 \pi)^{1 / 2} a^{-1 / 2}$. В результате получим формулу (1.5.26).

В общем случае обычно переходят к представлению $\mathscr{H}=L_{2}(d \varphi(y))$, где $d \varphi(y)=\Omega_{0}^{2} d y$ (см. (1.5.17)), в котором основному состоянию соответствует функция, тождественно равная 1. Тогда остальные состояния будут представлены функцией $\Omega_{0}(y)^{-1} \approx$ $=\pi^{1 / 4} e^{y^{9 / 2}}$, умноженной на их шредингерово представление. В этом представлении ядро оператора $e^{-t H}$ определяется формулой
\[
\left(e^{-t H} \theta\right)(y)=\int \mathscr{K}_{t}\left(y, y^{\prime}\right) \theta\left(y^{\prime}\right) d \varphi\left(y^{\prime}\right),
\]

где
\[
\begin{aligned}
\mathscr{K}_{t}\left(y, y^{\prime}\right) & =\Omega_{0}(y)^{-1} p_{t}\left(y, y^{\prime}\right) \Omega_{0}\left(y^{\prime}\right)^{-1}= \\
& =\left(1-e^{-2 t}\right)^{-1 / 2} \exp \left(y^{\prime 2}-\frac{\left(e^{-t} y-y^{\prime}\right)^{2}}{1-e^{-2 t}}\right) .
\end{aligned}
\]