Простейший ковариационный оператор – это так называемый голый евклидов пропагатор или свободный ковариационный оператор $C=C_{\varnothing}$. Он совпадает с функцией Грина уравнения (7.1.1) и может быть определен с помощью преобразования Фурье
\[
C(x, y)=C(x-y)=(2 \pi)^{-d} \int e^{-i p(x-y)}\left(p^{2}+m^{2}\right)^{-1} d p .
\]

Зависимость $C$ от $m$ видна из равенства
\[
\begin{aligned}
C(m ; x-y) & =m^{d-2} C(1 ; m(x-y))= \\
& =(2 \pi)^{-d / 2}\left(\frac{m}{|x-y|}\right)^{(d-2) / 2} K_{(d-2) / 2}(m|x-y|) .
\end{aligned}
\]

Здесь $K_{v}(x)>0$ – модифицированная функция Бесселя; с точностью до множителя она совпадает с функцией Ганкеля от мнимого аргумента (см. [Erdélyi et al., 1953]). При $d=3$
\[
C(x-y)=\frac{1}{4 \pi|x-y|} e^{-m|x-y|} .
\]

Многие свойства ковариационных операторов могут быть выведены из (7.2.2) и известных свойств бесселевых функций, таких, как характер особенности при $|x-y| \rightarrow 0$, экспоненциальное убывание при $m|x-y| \rightarrow \infty$ (см. (7.1.2-3)) и т. д. Однако мы предложим прямые доказательства, основанные на методах, которые имеют широкое применение.
Предложение 7.2.1. Свободная ковариация $C(m ; x-y)=C(x, y)=$ $=C(x-y)$ обладает следующими свойствами:
(a) $C(x, y)$ является ядром положительного оператора, действующего в пространстве $L_{2}$;
(b) $C(x, y)>0$;
(c) если произведение $m|x-y|$ отделено от нуля, то
\[
C(x, y) \leqslant O(1) m^{(d-3) / 2}|x-y|^{-(d-1) / 2} \exp (-m|x-y|) ;
\]
(d) если $d \geqslant 3$, а произведение $m|x-y|$ близко к нулю, то
\[
C(x, y) \sim|x-y|^{-d+2}
\]
(е) если $d=2$, а произведение $m|x-y|$ близко к нулю, то
\[
C(x, y) \sim-\ln (m|x-y|) .
\]

Доказательство. В силу (7.2.2), мы можем считать, что $m=1$. Свойство (а) доказывается с помощью преобразования Фурье: $\langle f, C f\rangle_{L_{2}}=\int_{R^{d}}\left(p^{2}+1\right)^{-1}|\tilde{f}(p)|^{2} d p$
Определим $g(t)$ формулой
\[
0<g(t) \equiv \int_{R^{d-1}} e^{-t \mu} \mu^{-1} d \mathbf{p}=\int d \omega \int_{0}^{\infty} e^{-t \mu} \mu^{-1} k^{d-2} d k .
\]

Здесь $\mathrm{p} \in R^{d-1},|\mathrm{p}|=k \in R, \mu=\mu(k)=\left(k^{2}+1\right)^{1 / 2}$, а $d \omega$ означает интегрирование по переменной $\mathrm{p} / k$ по ( $d-2$ )-мерной единичной сфере (т. е. интегрирование по угловой переменной). Применяя интегральную формулу Коши для частичного вычисления обратного преобразования Фурье (7.2.1) (т.е. интегрируя вдоль вектора $x-y)$, получим равенство $C(x, y)=(2 \pi)^{-d+1} 2^{-1} g(|x-y|)$, из которого следует (b).

Оценки (c) – (е) можно установить следующим образом. Для достаточно малого $\varepsilon>0$ справедливо неравенство
\[
\mu(k) \geqslant\left\{\begin{array}{lll}
1+\varepsilon|k|^{2} & \text { при } & |k| \leqslant 1, \\
1+\varepsilon|k| & \text { при } & |k| \geqslant 1 .
\end{array}\right.
\]

Поэтому
\[
\begin{aligned}
g(t) & \leqslant \text { const } e^{-t}\left(\int_{0}^{1} e^{-t \varepsilon k^{2} k^{d-2}} d k+\int_{1}^{\infty} e^{-t \varepsilon k} k^{d-2} d k\right) \leqslant \\
& \leqslant \text { const } e^{-t}\left(t^{-(d-1) / 2}+t^{-(d-1)}\right) .
\end{aligned}
\]

Для значений $t$, отделенных от нуля, имеем
\[
g(t) \leqslant \text { const } e^{-t} t-(d-1) / 2,
\]

откуда и вытекает утверждение (с).
Для изучения локальных особенностей функции $g$ произведем замену $k^{2}=$ $=s^{2} t^{-2}$, так что
\[
t^{d-2} g(t)=\left|s^{d-2}\right| \int_{0}^{\infty} \exp \left[-s\left(1+t^{2} s^{-2}\right)^{1 / 2}\right] s^{d-3}\left(1+t^{2} s^{-2}\right)^{-1 / 2} d s
\]

В случае $d \geqslant 3$ интеграл (7.2.10) ограничен своим значением при $t=0$ и $t^{d-2} g(t)$ монотонно сходится при $t \rightarrow 0$ к этому ненулевому пределу. Поэтому $g(t) \sim t^{-d+2}$ при $t \rightarrow 0$, и свойство (d) установлено. Если же $d \simeq 2$, то, написав $s=t \mu$, получим, что при $t \rightarrow 0$
\[
g(t)=\int_{t}^{\infty} e^{-s}\left(s^{2}-t^{2}\right)^{-1 / 2} d s \sim-\ln t,
\]

и этим завершается доказательство предложения. (В самом дел, иснользуя соотношение $\left|S^{n-1}\right|=2 \pi^{n / 2} / \Gamma(n / 2)$, получим значение постоянной $\alpha$ в (7.1.2) при $d \geqslant 3$, а в случае $d=2$ значенне $\alpha=1 / 2 \pi$ получается из (7.2.11). Постоянная в (7.1.3) находится совершенно аналогично путем анализа констант в соотношениях (7.2.8-9).)