В этой книге одна тема, но она адресована трем различным категориям читателей.

Тема эта-математическая структура современной физики: статистической физики, квантовой механики и квантовой теории поля. В том, что различные разделы физики имеют единую математическую структуру, нет ничего удивительного. В классической физике это объясняется, например, общностью математического формализма, связанного с волновым уравнением и уравнением Лапласа. В современной физике единство более сложной математической структуры отражает также общность основных физических явлений в различных ее частях. Так, специалисты по физике элементарных частиц, ядерной физике и физике твердого тела изучают аналогичные научные проблемы с разных точек зрения.

Рассматриваемая здесь математическая структура может быть описана в разных терминах: при помощи дифференциальных уравнений с частными производными для функций бесконечного числа независимых переменных, при помощи линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, или теории вероятностей и анализа в функциональных пространствах. Математическая структура квантования обобщает теорию дифференциальных уравнений с частными производными в том же смысле, в каком последние служат обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений. Центральной темой этой книги является квантование нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными и изучение физических систем с бесконечным числом степеней свободы.

Математики, физики-теоретики и специалисты по математической физике – вот те категории читателей, которым адресована эта книга.

Қаждая из трех частей книги имеет собственные научные цели. Первая часть является введением в современную физику. Она задумана как замкнутое изложение физики для математически настроенных читателей. Сюда входят квантовая теория, статистическая механика и квантовая теория поля. Поскольку эта часть обращена в первую очередь к математикам, в ней основное внимание уделяется концептуальной стороне теории: определению понятий, постановкам задач и осмыслению полученных результатов.
При этом технические вопросы решения той или иной задачи отступают на второй план. Такой способ изложения отличается от обычного стиля физических учебников, и поэтому студентыфнзики могут найти в первой части полезные дополнения к общепринятым руководствам. В частности, приведенное здесь построение квантовой механики с помощью формулы Фейнмана-Каца и функциональных интегралов может послужить для физиков введением в эти методы.

Во второй части рассматрнваются квантовые поля. А именно, строятся бозонные поля с полиномиальным самодействием в двумерном пространстве-времени-так называемые $P(\varphi)_{2}$-модели. Изложение в этой части математически полно и замкнуто, хотя и предполагает некоторые знания об операторах в гильбертовом пространстве и о функциональных интегралах. Первоначальная конструкция $P(\varphi)_{2}$-полей, предложенная в ранних работах авторов, значительно усовершенствована и упрощена в этой книге благодаря достижениям, накопленным за последнее десятилетие усилиями небольшой группы энтузиастов по конструктивной теории поля, включая Ю. Фрёлиха, Ф. Гуэрру, Э. Нельсона, К. Остервальдера, Л. Розена, Р. Шрадера, Б. Саймона, Т. Спенсера, К. Симанзика и наконец самих авторов. Эта часть может служить для физиков полезным дополнением к обычным книгам по теории поля, поскольку в ней развит математический аппарат, как правило, отсутствующий в таких книгах.

Во второй части разрешен давний научный спор. На протяжении многих лет математики и физики задавались вопросом: согласована ли нелинейная теория поля с релятивистской квантовой механикой? Может ли квантование, основанное на перенормированной теории возмущений, быть определено математически точно? Математически полное построение $P(\varphi)_{2}$-полей, выполненное в ряда других, которые можно найти в литературе, дают положительное решение этой проблемы. Главный итог этой работы осмысление перенормировок вне рамок теории возмущений. Математической основой такого анализа является теория перенормировок функциональных интегралов. С математической точки зрения реализация этих идей повлекла за собой создание новой области математики.

Неизвестно, согласованы ли математические уравнения теории поля в случае четырехмерного пространства-времени. По некоторым соображениям, например, уравнения для взаимодействующих фотонов и электронов (в отсутствие взанмодействия с другими частицами) могут быть несовместными, но включение взаимодействия с кварковым полем может дать согласованное множество уравнений. Подробное обсуждение этих вопросов выходит за рамки нашей книги, хотя о них и упоминается в гл, 6 и 17.
В третьей части рассматриваются взанмодействия частиц, их рассеяние и связанные состояня, фазовые переходы и критическис точки. Здесь мы выводим следствня из построений второй части и устанавливаем их связь с общими вопросами физики. Эта часть книги рассчитана на более продвинутый уровень и адресована в ссновном специалистам по теоретической и математической физике. Изложение здесь не является ни замкнутым, ни полным п имеет целью осветить основные иден, дать объяснение важнейшим результатам математического характера и служить введением в литературу.

Обсуждение фазовых переходов и критических явлений может быть полезно для специалистов по физике твердого тела и жидкости. Главным приемом здесь служат разложения в ряды и корреляционные неравенства. Эти методы находят применение в самых различных областях. Мы приводим подробное объяснение (при помощи аналитического продолжения) связи между теорией квантовых полей и классической статистической физикой. Физики-профессионалы могут начать чтение книги прямо с третьей части, обращаясь к предыдущим главам лишь по мере надобности.

Читателей, интересующихся историческим развитием конструктивной квантовой теории поля, мы отсылаем к различным обзорным статьям, написанным как нами, так и другими авторами. Количество ссылок на статьи, посвященные узкоспециальным вопросам, сведено здесь к минимуму. Особенно это относится к первой и второй частям, написанным достаточно полно и замкнуто. Список литературы получился очень большим; мы приносим извинения за неизбежные пропуски.

Появление этой книги стало возможным благодаря помощи большого числа коллег, учеников и друзей. Значительную помощь нам оказали Р. Д’Арканджело, Р. Бранденбергер, Б. Драушке, Ж.-П. Экман, Х. Гонсалес, У. Минти, К. Петерсон, П. Петти, сотрудники издательства Springer и особенно наши жены Адель и Hoра. Мы благодарим ETH, IHES, Марсельский университет и CEN (Сакле) за гостеприимство, а также фонд Гуггенхейма и NSF за финансовую поддержку.