Қак правило, у гамильтонианов вида $H=-\Delta+V$ основное состояние, или, иначе, вакуумный вектор, единственно. Эта единственность связана с теоремой Перрона – Фробениуса для матриц со строго положительными элементами или для интегральных операторов со строго положительными ядрами и будет доказана в этом параграфе. В случае когда задача нахождения собственных значений оператора $H$ рассматривается в конечной области $\mathscr{B}^{1}$ ), у основного состояния $\Omega$ во внутренности $\mathscr{B}$ нет нулей, и, следовательно, оно может быть выбрано положительным. Для существования вакуумного вектора в случае неограниченной области $\mathscr{8}$ (например, $\mathscr{B}=R^{3}$ ) нужны дополнительные условия на функцию $V$; см. теорему 1.5.9.
Определение 3.3.1. Пусть $A$ – оператор в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}=L_{2}(X, d v)$, где $X$ – некоторое пространство с мерой, а $d v$ – мера на нем. Мы считаем, что оператор $A$ имеет строго положительное ядро, если для любой неотрицательной функции $\theta \in \mathscr{B}$, $\|\theta\|
eq 0$,
\[
A \theta>0 \text { почти всюду. }
\]

Такой оператор обладает следующим свойством: для любых положительных векторов $\theta, \psi$, тождественно не равных нулю, $\langle\theta, A \psi\rangle>0$.
Замечание. Оператор $A=e^{-t H_{0}}$, рассмотренный в теореме 1.5.10, имеет строго положительное ядро. Ниже мы увидим, что при соответствующих ограничениях на $V$ то же самое верно для $A=e^{-t H}$. Заметим, что вакуумным вектором $H$ является собственный вектор оператора $e^{-t H}$, соответствующий его наибольшему собственному значению.
Теорема 3.3.2. Пусть оператор А имеет строго положительное ядро u $\|A\|=\lambda$ – собственное значение $A$. Тогда $\lambda$ имеет кратность 1 , а соответствующий собственный вектор $\Omega$ может быть выбран строго положительным.
1) Например, при нулевых условиях на границе $\mathscr{B}$. Прим. ред.
Доказательство. Так как $A$ отображает вещественные функции в вещественные, мы можем считать $\Omega$ также вещественным. В силу положительности ядра оператора $A$,
\[
\lambda\|\Omega\|^{2}=\langle A \Omega, \Omega\rangle \leqslant\langle A|\Omega|,|\Omega|\rangle \leqslant\|A\|\|\Omega\|^{2}=\lambda\|\Omega\|^{2} .
\]

Поэтому
\[
\langle A \Omega, \Omega\rangle=\langle A|\Omega|,|\Omega|\rangle .
\]

Запишем $\Omega=\Omega_{+}-\Omega_{-}$, где $\Omega_{ \pm}$- положительная и отрицательная части $\Omega$. Тогда, в силу (3.3.2),
\[
\left\langle\Omega_{+}, A \Omega_{-}\right\rangle+\left\langle\Omega_{-}, A \Omega_{+}\right\rangle=0,
\]

откуда по определению положительности (3.3.1) либо $\Omega_{+}=0$, либо $\Omega_{-}=0$. Поэтому мы можем взять $\Omega \geqslant 0$. Если $\|\theta\|
eq 0$ и $\theta \geqslant 0$, то из (3.3.1) следует, что
\[
0<\langle\theta, A \Omega\rangle=\lambda\langle\theta, \Omega\rangle \text {. }
\]

Так как $\theta$ выбрано произвольно, то почти всюду $\Omega>0$.
Наконец, если $\psi$ и $\Omega$ – два линейно независимых собственных вектора $A$ с собственным значением $\lambda$, то, повторяя предыдущие рассуждения для компоненты $\psi$, ортогональной $\Omega$, получим, что существуют два строго положительных ортогональных вектора, а это невозможно. Следовательно, $\lambda$ имеет кратность 1 и вакуумный вектор единствен.

Для того чтобы применять доказанную теорему к гамильтонианам квантовой механики, мы воспользуемся представлением Фейнмана – Каца из $\S 3.2$ и сформулируем достаточное условие строгой положительности ядра оператора $e^{-t H}$.
Теорема 3.3.3. Пусть $V$ – еепрерывная ограниченная снизу функция, а $H=H_{0}+V$-существенно-самосопряженный оператор. Тогда
\[
0<\left(\text { ядро } e^{-t H}\right)\left(q, q^{\prime}\right)=\int \exp \left(-\int_{-t / 2}^{t / 2} V(q(s)) d s\right) d W_{q q^{\prime}}^{t}
\]

Доказательство. Пусть $M(R)=\sup \{V(q):|q| \leqslant R\}$, а $I(R)$ – значение меры Винера $d W_{q, q^{\prime}}^{t} \quad$ для множества $\mathscr{W}^{P}(R)$ траекторий $q(s)$, для которых $\sup \{|q(s)|:-t / 2 \leqslant s \leqslant t / 2\} \leqslant R$. Тогда
\[
\text { (ядро } \left.e^{-t H}\right)\left(q, q^{\prime}\right) \geqslant e^{-M(R) t} \int_{\mathscr{W}(R)} d W_{q, q^{\prime}}^{t} \geqslant I(R) e^{-M(R) t} .
\]

Так как $I(R) \rightarrow 1$ при $R \rightarrow \infty$, то $I(R)$ отлично от нуля при достаточно больших $R$.

Следствие 3.3.4. Пусть $Н$ удовлетворяет условиям теоремы 3.3.3. Тогда все его нормированные основные состояния $\Omega$ отличаются друг от друга фазовым множителем $e^{i \theta}$, где $\theta$-вещественное число, и ровно одно из них может быть выбрано строго положительным.
8амечание. В этой теореме и ее следствии меру $d W_{q, q^{\prime}}^{t}$ можно заменить мерой Орнштейна – Уленбека $d U_{q, q^{\prime}}^{t}$.