В этом параграфе мы будем изучать квадратичное возмущение
\[
: V:_{C}=\frac{1}{2} \int: \varphi(x) v(x, y) \varphi(y):_{C} d x d y
\]
(см. (9.1.22)) и гауссову меру
\[
d \mu=\frac{e^{-: V: C} d \varphi_{C}}{\int e^{-: V: C_{d}} \varphi_{C}}=Z^{-1} e^{-: V: C} d \varphi_{C} .
\]

Здесь предполагается, что $C$-ограниченный положительный самосопряженный оператор в $L_{2}\left(R^{d}\right)$. Например, любой оператор $C \in \mathscr{C}$ удовлетворяет этим условиям. Основное ограничение:
\[
C^{-1}+v>0 \text {. }
\]

Мы требуем также, чтобы функция $v(x, y)$ была вещественной и симметричной. Во избежание технических трудностей предположим также, что $v$-ограниченный оператор. Положим
\[
\hat{v}=C^{1 / 2} v C^{1 / 2} .
\]

Предложение 9.3.1. Предположим, что выполнено условие (9.3.3). Пусть С-ограниченный положительный самосопряженжый оператор, v-ограниченный оператор, а t-огератор ГильбертаШмидта. Тогда функционалы :V:с и $e^{-: V: c}$ принадлежат $L_{p}\left(d \varphi_{C}\right)$ при всех $p<\infty u$
\[
Z=\int e^{-: V: c} d \Phi_{C}=\exp \left(-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}[\ln (I+\hat{v})-\hat{v}]\right) .
\]
Eсли $\|\hat{v}\|_{\mathrm{HS}}<1$, то
\[
Z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n !} \int\left(: V:_{C}\right)^{n} d \varphi_{C},
\]

и ряд аб́солютно сходится.
Замечание 1. Нормирующий множитель $Z$ называется функциональным определителем, так как в случае, когда возмущение $V$ рассматривается без викова упорядочения,
\[
\int e^{-\gamma} d \varphi_{C}=\operatorname{det}(I+\hat{
u})^{-1 / 2}
\]

при условии, что интеграл (9.3.7) существует. Заметим, что для симметричных положительных $A$ имеет место равенство $\operatorname{det} A=$ $=\exp (\operatorname{Tr} \ln A)$, поэтому формально
\[
\begin{aligned}
\operatorname{det}(I+\hat{v})^{-1 / 2} & =\operatorname{det} C^{-1 / 2} \operatorname{det}\left(C^{-1}+v\right)^{-1 / 2}= \\
& =\exp [(-1 / 2) \operatorname{Tr} \ln (I+\hat{v})]
\end{aligned}
\]
(в случае конечномерных гауссовых интегралов эти равенства имеют точный смысл). В частности, $Z$ определяется с помощью выражения (9.3.7) только в том случае, когда $\hat{0}$ имеет след.
Замечание 2. Виково упорядочение $V$, т. е. замена $V$ на $V: c$ в (9.3.7), исключает из экспоненты члены, линейные по $\hat{v}$. Это есть в точности множитель $\exp ((1 / 2) \operatorname{Tr} \hat{v})$, так как $: V:_{C}=V-(1 / 2) \operatorname{Tr} \hat{v}$. Таким образом, можно определить перенормированный определитель $\operatorname{det}_{1}$ :
\[
\begin{aligned}
\operatorname{det}_{1}(I+\hat{v})^{-1 / 2} & =\operatorname{det}(I+\hat{v})^{-1 / 2} \operatorname{det}(\exp \hat{v})^{1 / 2}= \\
& =\exp [(-1 / 2) \operatorname{Tr}(\ln (I+\hat{v})-\hat{\vartheta})] .
\end{aligned}
\]

В этом случае $Z$ определено и тогда, когда оператор $\hat{v}$ не имеет следа.

Замечание 3. Отметим несколько различных случаев. (1) Если $\|\hat{v}\|_{\mathrm{HS}}<1$ и $V$ рассматривается в виковом упорядочении, то $Z$ разлагается в сходящийся ряд по степеням $
u$. (2) Если $\hat{v}$ есть оператор Гильберта – Шмидта и выполнено условие (9.3.3), то $Z$ определяется формулой (9.3.5) и равно $\operatorname{det}_{1}(I+\hat{v})$. (3) Даже если $Z$ равно 0 или $\infty$, мера $d \mu$, определяемая формулой (9.3.2), может существовать как предел аппроксимирующих мер. В предложении 9.3.3 ниже рассматривается ситуация, когда $Z$ может равняться 0 . Если мера $d \mu$ существует, а $Z$ не определено, то говорят о перенормировке вакуумного вектора, связанной с делением на $Z$. Аналогичное явление происходит в случае негауссовых мер: см., например, обсуждение перенормировок в модели $\varphi^{4}$ в \$ 14.3. (В гл. 8–12 мы следуем терминологии, принятой в статистической механике. Так, при мультипликативной перенормировке меры соответствующий множитель называется статистической суммой и обозначается $Z$. В гл. 14 обозначение $Z$ используется для перенормировки величины поля, т. е. мультипликативной перенормировки поля ч.)
Доказательство. Непосредственные вычисления дают
\[
\int: V:_{C}^{2} d \varphi_{C}=\|\hat{v}\|_{H S}^{2}
\]

Аналогичные равенства верны и для старших стеленей, следовательно, $: V:_{c} \in L_{p}$ и $: V: c$ непрерывно зависит от $\hat{\theta}$. Поскольку $\operatorname{Tr}[\ln (I+\hat{\vartheta})-\hat{0}]=\sum_{i=1}^{\infty}\left[\ln \left(1+\lambda_{i}\right)-\right.$ $\left.-\lambda_{i}\right]$, где $\lambda_{l}$ – собственные значения симметрического оператора $\hat{0}$, а $\ln (1+x)-x=O\left(x^{2}\right)$ при $x \rightarrow 0$, этот ряд в случае, когда $\hat{0}$ – оператор Гильберта-Шмидта, сходится. Таким образом, правая часть (9.3.5) конечна и непрерывно (по норме $\|\cdot\|_{\text {нs }}$ ) зависит от $\hat{0}$.

Предположим, что равенство (9.3.5) выполнено для $\hat{v}$ из всюду плотного линейного подпространства пространства операторов Гильберта – Шмидта. Arпроксимируем произвольный оператор $\hat{v}$ последовательностью $\hat{v}_{j}$ из этого подпространства. Тогда $: V_{j: c} \rightarrow: V:_{c}$ в $L_{p}$, и можно выбрать подпоследовательность, для которой имеет место поточечная сходимость почти всюду. Таким образом, можно считать, что $e^{-: V_{f}: C} \rightarrow e^{-: V: C}$ поточечно почти всюду. Кроме того,
\[
\begin{aligned}
\left\|e^{-: V_{i}: C}-e^{-: V_{j}: C}\right\|_{L_{2}}^{2} & =\exp \left(-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left[\ln \left(I+2 \hat{v}_{i}\right)-2 \hat{v}_{i}\right]\right)+ \\
& +\exp \left(-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left[\ln \left(I+2 \hat{v}_{j}\right)-2 \hat{v}_{j}\right]\right)- \\
& -2 \exp \left(-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left[\ln \left(I+\hat{v}_{i}+\hat{v}_{j}\right)-\hat{v}_{i}-\hat{v}_{j}\right]\right) \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad i, j \rightarrow \infty .
\end{aligned}
\]

Следовательно, $e^{-: V: C} \in L_{2}$ и имеет место равенство (9.3.5). Применяя аналогичные соображения к $e^{-(p / 2): V: C}$, получаем, что $e^{-: V:_{C}} \in L_{p}$ при всех $p<\infty$. Наконец, правая часть (9.3.5) при $\|\hat{\hat{v}}\|_{\text {HS }}<1$ разлагается в сходящийся ряд по степеням $\hat{v}$, откуда следует сходимость в (9.3.6). (В качестве упражнения на вычисления с помощью диаграмм Фейнмана мы приведем независимое доказательство формулы (9.3.6) после следующего ниже предложения 9.3.2.)
Рассмотрим теперь подпространство операторов $v$ с гладким ядром вида
\[
v(x, y)=\sum_{i=1}^{J} \lambda_{j} f_{j}(x) f_{l}(y),
\]

где $f_{j} \in \mathscr{P}$. В этом случае $: V:_{c}$ и $e^{-: V:} C$ являются цилиндрическими функциями и $Z$ можно вычислить точно (как конечномерный гауссов интеграл). Положим $g_{j}=C^{1 / 2} \hat{f}_{i}$, так что
\[
\hat{\vartheta}(x, y)=\sum_{j=1}^{J} \lambda_{j} g_{j}(x) g_{j}(y) .
\]

Не теряя общности, можно считать, что функции $g_{f}$ ортонормированы. В снлу (9.3.3), $\lambda_{j}>-1$ при всех $j$, следовательно,
\[
\begin{aligned}
Z=e^{(1 / 2) \operatorname{Tr} \hat{v}}(2 \pi)^{-J / 2} \int \prod_{j} e^{-(1 / 2)\left(\lambda_{j}+1\right) x_{j}^{2}} d x_{j} & \\
& =e^{(1 / 2) \operatorname{Tr} 0} \operatorname{det}(I+\hat{v})^{-1 / 2}=e^{(-1 / 2) \operatorname{Tr}[\ln (I+0)-0]} .
\end{aligned}
\]

Предложение 9.3.2. Мера $d \mu$, определяелая формулой (9.3.2) и предложением 9.3.1, имеет ковариацию
\[
C_{v} \equiv\left(C^{-1}+v\right)^{-1} .
\]

Доказательство. Так как $\hat{0}$ есть оператор Гильберта-Шмидта и $-1<\hat{0}$ по условию (9.3.3), то $-1+\varepsilon<0$ для некоторого $\varepsilon>0$. Следовательно, оператор $(I+\hat{\imath})^{-1}$ ограничен, так же как и оператор $C^{1 / 2}(I+\hat{\imath})^{-1} C^{1 / 2}=C_{0}$. При этом $C_{v}$ удов.тетворяет тождеству
\[
C_{v}=C-C v C_{v} .
\]

Последіяя формула есть результат применения формулы интегрирования по частям к двухточечной функции $\int \varphi(x) \varphi(y) d \mu$.
Прямое доказательство формулы (9.3.6) в предположении $\|\hat{0}\|_{\mathrm{Hs}}<1$. Используя разложение на графы Фейнмана (следствие 8.3.2), вычислим каждый из интегралов, входящих в (9.3.6), и покажем, что ряд (9.3.6) сходится. Графы, дающие вклад в $\int\left(: V{ }_{C}\right)^{n} d \varphi_{C}$, имеют ровно $n$ v-вершин. Каждая $v$-вершина имеет два отростка, и соответствующий граф $G$ есть объединение связных компонент $G_{i}$, где $G_{i}$ – петля с числом вершин $n_{i} \geqslant 2$, см. рис. 9.1. Из-за формы этих графов разложение (9.3.6) называется петельным разложением.

Пусть граф, вносящий вклад в $(-1)^{n} \int\left(: V:_{C}\right)^{n} d \varphi_{C}$, имеет $r$ связных компонент и $n_{1}+\ldots+n_{r}=n$. В силу равенства
\[
\begin{array}{l}
\int d x_{1} \ldots d x_{n} d y_{1} \ldots d y_{n} v\left(x_{1}, y_{1}\right) C\left(y_{1}, x_{2}\right) v\left(x_{2}, y_{2}\right) \times \\
\quad \times C\left(y_{2}, x_{3}\right) \ldots v\left(x_{n}, y_{n}\right) C\left(y_{n}, x_{1}\right)=\operatorname{Tr}\left((v C)^{n}\right)= \\
=\operatorname{Tr}\left(\left(C^{1 / 2} v C^{1 / 2}\right)^{n}\right)=\operatorname{Tr}\left(\hat{6}^{n}\right),
\end{array}
\]

Рис. 9.1. Связная компонента диаграммы, отвечающей $\int\left(: V_{c}:\right)^{n} d \varphi_{c}$.

вклад $i$-й компоненты равен $I\left(G_{i}\right)=(-1 / 2)^{n} i \operatorname{Tr}\left(\hat{\sigma}^{n_{i}}\right)$. Таким образом,
\[
\begin{array}{c}
(-1)^{n} \int\left(: V:_{C}\right)^{n} d \varphi_{C}=\sum_{a} I(G)=\sum_{a} \prod_{i} I\left(G_{l}\right)= \\
=\sum_{a} \prod_{i}(-1 / 2)^{n_{l}} \operatorname{Tr}\left(\delta^{n^{i}}\right),
\end{array}
\]

где $\left\{G_{i}\right\}$ – множество связных компонент графа $G$. Подставляя в (9.3.6), получаем, что
\[
Z=1+\sum_{n} \frac{1}{n !} \sum_{r} \sum_{\left\{n_{1}, \ldots, n_{r}: \Sigma n_{i}=n, n_{i} \geqslant 2\right\}} \Sigma_{G}^{\prime} \prod_{j=1}^{r}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n_{j}} \operatorname{Tr}\left(\partial^{n} j\right),
\]

где $\Sigma_{Q}^{\prime}$ есть число всех $G$, имеющих одинаковое количество петель и одни и те же их размеры. Точнее, будем считать, что вершины $G$ занумерованы и что $n_{1}$ – размер петли, содержащей первую вершину, $n_{2}$ – размер петли, содержащей первую из вершин, не входящих в предыдущую петлю, и т. д. Разложение для $Z$
упрощается, если объединить суммирование по $n$ е суммированием по $n_{i}$. При этом снимается ограничение на $\sum n_{i}$, так что
\[
Z=1+\sum_{r} \sum_{\left\{n_{1}, \ldots n_{r}: n_{i} \geqslant 2\right\}}\left(\left(\sum n_{i}\right) !\right)^{-1} \Sigma_{G}^{\prime} \prod_{j}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \operatorname{Tr}\left(\vartheta^{n} f\right) .
\]

Заметим, что $\Sigma_{G}^{\prime}$ можно вычислить точно:
\[
\Sigma_{Q}^{\prime}=\frac{\left(\sum n_{i}\right) !}{n_{1} ! \ldots n_{r} !} \frac{1}{r !} \prod_{j} 2^{n_{j}-1}\left(n_{j}-1\right) ! .
\]

Здесь биномиальный коэффициент равен чнслу способов разбиения всех вершин на петли фиксированной длины. Деление на $r$ ! учнтываст тот факт, что петли спитались упорядоченными. Число различных расположений вершин внутри петли (с точностью до изменения ее ориентации) есть $\frac{1}{2}\left(n_{f}-1\right)$ !. Наконец, каждой вершине отвечает множитель 2, учитывающий две возможности соединения двух отростков. Воспользовавшись выражением для $\Sigma_{G}^{\prime}$, представим сумму произведений в виде произведения сумм:
\[
Z=\sum_{r=0}^{\infty}(r !)^{-1}\left(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2 n} \operatorname{Tr}\left(-\hat{v}^{n}\right)\right)^{r}=\exp \left(-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}[\ln (I+\hat{v})-\hat{\theta}]\right) .
\]

Таким образом, равенства (9.3.5), (9.3.6) доказаны при условии, что $\|\hat{v}\|_{\text {н }}<$ $<1$.

Рассмотренные выше результаты применимы к локальным возмущениям массового члена и в случае размерности $d=3$, а не только $d=2$. Следующее утверждение относится к случаю более сингулярных возмущений.

Предложение 9.3.3. Определение (9.3.2) мерь dщ можно распространить по непрерывности на случай, когда $\hat{v}$-ограниченный оператор $и 0<\varepsilon \leqslant I+\hat{v}$.
Доказательство. Пусть $\hat{\theta}_{j} \rightarrow \hat{\theta}^{\circ}$ в оильной операторной топологии. Тогда $\left(1+\hat{v}_{j}\right)^{-1} \rightarrow(1+0)^{-1}$ и $C_{v_{j}} \rightarrow C_{v}$. Отсюда вытекает сходимость гауссовых мер в смысле сходнмости характеристических функций и моментов ${ }^{1}$ ).

В типичных случаях ядра, аппроксимирующие ядро $v$, определяются с помощью импульсного и пространетвенного обрезания:
\[
v_{\boldsymbol{x}, \Lambda}(x, y)=\chi_{\Lambda}(x) v_{x}(x, y) \chi_{\Lambda}(y) \text {, }
\]

где $\quad v_{x}(x, y)=\int v\left(x-x^{\prime}, y-y^{\prime}\right) \delta_{x}\left(x^{\prime}\right) \delta_{x}\left(y^{\prime}\right) d x^{\prime} d y^{\prime}$.
1) См. по этому поводу работу: Добрушин Р. Л., Минлос Р. А. Полиномы от линейных случайных функций. – УМН 32, № 2 (1977), с. 67-122.-Прим. ред.