В этом параграфе мы будем изучать квадратичное возмущение
$$:V{:}_C=\frac{1}{2}\int :\phi (x)v(x,y)\phi (y){:}_{C}dxdy$$
(см. (9.1.22)) и гауссову меру
$$d\mu =\frac{e^{-:V:C}d{\phi }_C}{\int e^{-:V:C_d}{\phi }_C}=Z^{-1}{e}^{-:V:C}d{\phi }_C.$$

Здесь предполагается, что $C$-ограниченный положительный самосопряженный оператор в $L_2\left(R^d\right)$. Например, любой оператор $C\in \mathcal{C}$ удовлетворяет этим условиям. Основное ограничение:
$$C^{-1}+v>0\text{. }$$

Мы требуем также, чтобы функция $v(x,y)$ была вещественной и симметричной. Во избежание технических трудностей предположим также, что $v$-ограниченный оператор. Положим
$$\hat{v}=C^{1/2}v{C}^{1/2}.$$

Предложение 9.3.1. Предположим, что выполнено условие (9.3.3). Пусть С-ограниченный положительный самосопряженжый оператор, v-ограниченный оператор, а t-огератор ГильбертаШмидта. Тогда функционалы :V:с и $e^{-:V:c}$ принадлежат $L_p\left(d{\phi }_C\right)$ при всех $p<\mathrm{\infty }u$
$$Z=\int e^{-:V:c}d{\mathrm{\Phi }}_C=\exp (-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}[\ln (I+\hat{v})-\hat{v}]).$$
Eсли $\Vert \hat{v}{\Vert }_{\mathrm{HS}}<1$, то
$$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}\int {(:V{:}_C)}^{n}d{\phi }_C,$$

и ряд аб́солютно сходится.
Замечание 1. Нормирующий множитель $Z$ называется функциональным определителем, так как в случае, когда возмущение $V$ рассматривается без викова упорядочения,
$$\int e^{-\gamma }d{\phi }_C=\det (I+\hat{u}{)}^{-1/2}$$

при условии, что интеграл (9.3.7) существует. Заметим, что для симметричных положительных $A$ имеет место равенство $\det A=$ $=\exp (\mathrm{Tr}\ln A)$, поэтому формально
$$\begin{array}{rl}\det (I+\hat{v}{)}^{-1/2}& =\det C^{-1/2}\det {(C^{-1}+v)}^{-1/2}=\\ & =\exp [(-1/2)\mathrm{Tr}\ln (I+\hat{v})]\end{array}$$
(в случае конечномерных гауссовых интегралов эти равенства имеют точный смысл). В частности, $Z$ определяется с помощью выражения (9.3.7) только в том случае, когда $\hat{0}$ имеет след.
Замечание 2. Виково упорядочение $V$, т. е. замена $V$ на $V:c$ в (9.3.7), исключает из экспоненты члены, линейные по $\hat{v}$. Это есть в точности множитель $\exp ((1/2)\mathrm{Tr}\hat{v})$, так как $:V{:}_C=V-(1/2)\mathrm{Tr}\hat{v}$. Таким образом, можно определить перенормированный определитель ${\det }_1$ :
$$\begin{array}{rl}{\det }_1(I+\hat{v}{)}^{-1/2}& =\det (I+\hat{v}{)}^{-1/2}\det (\exp \hat{v}{)}^{1/2}=\\ & =\exp [(-1/2)\mathrm{Tr}(\ln (I+\hat{v})-\hat{\vartheta })].\end{array}$$

В этом случае $Z$ определено и тогда, когда оператор $\hat{v}$ не имеет следа.

Замечание 3. Отметим несколько различных случаев. (1) Если $\Vert \hat{v}{\Vert }_{\mathrm{HS}}<1$ и $V$ рассматривается в виковом упорядочении, то $Z$ разлагается в сходящийся ряд по степеням $u$. (2) Если $\hat{v}$ есть оператор Гильберта — Шмидта и выполнено условие (9.3.3), то $Z$ определяется формулой (9.3.5) и равно ${\det }_1(I+\hat{v})$. (3) Даже если $Z$ равно 0 или $\mathrm{\infty }$, мера $d\mu$, определяемая формулой (9.3.2), может существовать как предел аппроксимирующих мер. В предложении 9.3.3 ниже рассматривается ситуация, когда $Z$ может равняться 0 . Если мера $d\mu$ существует, а $Z$ не определено, то говорят о перенормировке вакуумного вектора, связанной с делением на $Z$. Аналогичное явление происходит в случае негауссовых мер: см., например, обсуждение перенормировок в модели ${\phi }^4$ в $ 14.3. (В гл. 8—12 мы следуем терминологии, принятой в статистической механике. Так, при мультипликативной перенормировке меры соответствующий множитель называется статистической суммой и обозначается $Z$. В гл. 14 обозначение $Z$ используется для перенормировки величины поля, т. е. мультипликативной перенормировки поля ч.)
Доказательство. Непосредственные вычисления дают
$$\int :V{:}_C^{2}d{\phi }_C=\Vert \hat{v}{\Vert }_{HS}^2$$

Аналогичные равенства верны и для старших стеленей, следовательно, $:V{:}_c\in L_p$ и $:V:c$ непрерывно зависит от $\hat{\theta }$. Поскольку $\mathrm{Tr}[\ln (I+\hat{\vartheta })-\hat{0}]=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}[\ln (1+{\lambda }_i)-$ $-{\lambda }_i]$, где ${\lambda }_l$ — собственные значения симметрического оператора $\hat{0}$, а $\ln (1+x)-x=O\left(x^2\right)$ при $x\to 0$, этот ряд в случае, когда $\hat{0}$ — оператор Гильберта-Шмидта, сходится. Таким образом, правая часть (9.3.5) конечна и непрерывно (по норме $\Vert \cdot {\Vert }_{\text{нs }}$ ) зависит от $\hat{0}$.

Предположим, что равенство (9.3.5) выполнено для $\hat{v}$ из всюду плотного линейного подпространства пространства операторов Гильберта — Шмидта. Arпроксимируем произвольный оператор $\hat{v}$ последовательностью ${\hat{v}}_j$ из этого подпространства. Тогда $:V_{j:c}\to :V{:}_c$ в $L_p$, и можно выбрать подпоследовательность, для которой имеет место поточечная сходимость почти всюду. Таким образом, можно считать, что $e^{-:V_f:C}\to e^{-:V:C}$ поточечно почти всюду. Кроме того,
$$\begin{array}{rl}{\Vert e^{-:V_i:C}-e^{-:V_j:C}\Vert }_{L_2}^2& =\exp (-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}[\ln (I+2{\hat{v}}_i)-2{\hat{v}}_i])+\\ & +\exp (-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}[\ln (I+2{\hat{v}}_j)-2{\hat{v}}_j])-\\ & -2\exp (-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}[\ln (I+{\hat{v}}_i+{\hat{v}}_j)-{\hat{v}}_i-{\hat{v}}_j])\to 0\text{ при }i,j\to \mathrm{\infty }.\end{array}$$

Следовательно, $e^{-:V:C}\in L_2$ и имеет место равенство (9.3.5). Применяя аналогичные соображения к $e^{-(p/2):V:C}$, получаем, что $e^{-:V{:}_C}\in L_p$ при всех $p<\mathrm{\infty }$. Наконец, правая часть (9.3.5) при $\Vert \hat{\hat{v}}{\Vert }_{\text{HS }}<1$ разлагается в сходящийся ряд по степеням $\hat{v}$, откуда следует сходимость в (9.3.6). (В качестве упражнения на вычисления с помощью диаграмм Фейнмана мы приведем независимое доказательство формулы (9.3.6) после следующего ниже предложения 9.3.2.)
Рассмотрим теперь подпространство операторов $v$ с гладким ядром вида
$$v(x,y)=\sum _{i=1}^J{\lambda }_j{f}_j(x)f_l(y),$$

где $f_j\in \mathcal{P}$. В этом случае $:V{:}_c$ и $e^{-:V:}C$ являются цилиндрическими функциями и $Z$ можно вычислить точно (как конечномерный гауссов интеграл). Положим $g_j=C^{1/2}{\hat{f}}_i$, так что
$$\hat{\vartheta }(x,y)=\sum _{j=1}^J{\lambda }_j{g}_j(x)g_j(y).$$

Не теряя общности, можно считать, что функции $g_f$ ортонормированы. В снлу (9.3.3), ${\lambda }_j>-1$ при всех $j$, следовательно,
$$\begin{array}{rl}Z=e^{(1/2)\mathrm{Tr}\hat{v}}(2\pi {)}^{-J/2}\int \prod _j{e}^{-(1/2)({\lambda }_j+1)x_j^2}d{x}_j& \\ & =e^{(1/2)\mathrm{Tr}0}\det (I+\hat{v}{)}^{-1/2}=e^{(-1/2)\mathrm{Tr}[\ln (I+0)-0]}.\end{array}$$

Предложение 9.3.2. Мера $d\mu$, определяелая формулой (9.3.2) и предложением 9.3.1, имеет ковариацию
$$C_v\equiv {(C^{-1}+v)}^{-1}.$$

Доказательство. Так как $\hat{0}$ есть оператор Гильберта-Шмидта и $-1<\hat{0}$ по условию (9.3.3), то $-1+\epsilon <0$ для некоторого $\epsilon >0$. Следовательно, оператор $(I+\hat{ı}{)}^{-1}$ ограничен, так же как и оператор $C^{1/2}(I+\hat{ı}{)}^{-1}{C}^{1/2}=C_0$. При этом $C_v$ удов.тетворяет тождеству
$$C_v=C-Cv{C}_v.$$

Последіяя формула есть результат применения формулы интегрирования по частям к двухточечной функции $\int \phi (x)\phi (y)d\mu$.
Прямое доказательство формулы (9.3.6) в предположении $\Vert \hat{0}{\Vert }_{\mathrm{Hs}}<1$. Используя разложение на графы Фейнмана (следствие 8.3.2), вычислим каждый из интегралов, входящих в (9.3.6), и покажем, что ряд (9.3.6) сходится. Графы, дающие вклад в $\int {(:V{}_C)}^{n}d{\phi }_C$, имеют ровно $n$ v-вершин. Каждая $v$-вершина имеет два отростка, и соответствующий граф $G$ есть объединение связных компонент $G_i$, где $G_i$ — петля с числом вершин $n_i⩾2$, см. рис. 9.1. Из-за формы этих графов разложение (9.3.6) называется петельным разложением.

Пусть граф, вносящий вклад в $(-1{)}^n\int {(:V{:}_C)}^{n}d{\phi }_C$, имеет $r$ связных компонент и $n_1+\dots +n_r=n$. В силу равенства
$$\begin{array}{l}\int d{x}_1\dots d{x}_{n}d{y}_1\dots d{y}_{n}v(x_1,y_1)C(y_1,x_2)v(x_2,y_2)\times \\ \times C(y_2,x_3)\dots v(x_n,y_n)C(y_n,x_1)=\mathrm{Tr}((vC{)}^n)=\\ =\mathrm{Tr}\left({\left(C^{1/2}v{C}^{1/2}\right)}^n\right)=\mathrm{Tr}\left({\hat{6}}^n\right),\end{array}$$

Рис. 9.1. Связная компонента диаграммы, отвечающей $\int {(:V_c:)}^{n}d{\phi }_c$.

вклад $i$-й компоненты равен $I\left(G_i\right)=(-1/2{)}^{n}i\mathrm{Tr}\left({\hat{\sigma }}^{n_i}\right)$. Таким образом,
$$\begin{array}{c}(-1{)}^n\int {(:V{:}_C)}^{n}d{\phi }_C=\sum _{a}I(G)=\sum _a\prod _{i}I\left(G_l\right)=\\ =\sum _a\prod _i(-1/2{)}^{n_l}\mathrm{Tr}\left({\delta }^{n^i}\right),\end{array}$$

где $\left\{G_i\right\}$ — множество связных компонент графа $G$. Подставляя в (9.3.6), получаем, что
$$Z=1+\sum _n\frac{1}{n!}\sum _r\sum _{\{n_1,\dots ,n_r:\mathrm{\Sigma }{n}_i=n,n_i⩾2\}}{\mathrm{\Sigma }}_G^{\prime }\prod _{j=1}^r{(-\frac{1}{2})}^{n_j}\mathrm{Tr}\left({\partial }^{n}j\right),$$

где ${\mathrm{\Sigma }}_Q^{\prime }$ есть число всех $G$, имеющих одинаковое количество петель и одни и те же их размеры. Точнее, будем считать, что вершины $G$ занумерованы и что $n_1$ — размер петли, содержащей первую вершину, $n_2$ — размер петли, содержащей первую из вершин, не входящих в предыдущую петлю, и т. д. Разложение для $Z$
упрощается, если объединить суммирование по $n$ е суммированием по $n_i$. При этом снимается ограничение на $\sum n_i$, так что
$$Z=1+\sum _r\sum _{\{n_1,\dots n_r:n_i⩾2\}}{((\sum n_i)!)}^{-1}{\mathrm{\Sigma }}_G^{\prime }\prod _j{(-\frac{1}{2})}^n\mathrm{Tr}\left({\vartheta }^{n}f\right).$$

Заметим, что ${\mathrm{\Sigma }}_G^{\prime }$ можно вычислить точно:
$${\mathrm{\Sigma }}_Q^{\prime }=\frac{(\sum n_i)!}{n_1!\dots n_r!}\frac{1}{r!}\prod _j{2}^{n_j-1}(n_j-1)!.$$

Здесь биномиальный коэффициент равен чнслу способов разбиения всех вершин на петли фиксированной длины. Деление на $r$ ! учнтываст тот факт, что петли спитались упорядоченными. Число различных расположений вершин внутри петли (с точностью до изменения ее ориентации) есть $\frac{1}{2}(n_f-1)$ !. Наконец, каждой вершине отвечает множитель 2, учитывающий две возможности соединения двух отростков. Воспользовавшись выражением для ${\mathrm{\Sigma }}_G^{\prime }$, представим сумму произведений в виде произведения сумм:
$$Z=\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}(r!{)}^{-1}{\left(\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n}\mathrm{Tr}(-{\hat{v}}^n)\right)}^r=\exp (-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}[\ln (I+\hat{v})-\hat{\theta }]).$$

Таким образом, равенства (9.3.5), (9.3.6) доказаны при условии, что $\Vert \hat{v}{\Vert }_{\text{н }}<$ $<1$.

Рассмотренные выше результаты применимы к локальным возмущениям массового члена и в случае размерности $d=3$, а не только $d=2$. Следующее утверждение относится к случаю более сингулярных возмущений.

Предложение 9.3.3. Определение (9.3.2) мерь dщ можно распространить по непрерывности на случай, когда $\hat{v}$-ограниченный оператор $и0<\epsilon ⩽I+\hat{v}$.
Доказательство. Пусть ${\hat{\theta }}_j\to {\hat{\theta }}^{\circ }$ в оильной операторной топологии. Тогда ${(1+{\hat{v}}_j)}^{-1}\to (1+0{)}^{-1}$ и $C_{v_j}\to C_v$. Отсюда вытекает сходимость гауссовых мер в смысле сходнмости характеристических функций и моментов ${}^1$ ).

В типичных случаях ядра, аппроксимирующие ядро $v$, определяются с помощью импульсного и пространетвенного обрезания:
$$v_{\mathit{x},\mathrm{\Lambda }}(x,y)={\chi }_{\mathrm{\Lambda }}(x)v_x(x,y){\chi }_{\mathrm{\Lambda }}(y)\text{, }$$

где $v_x(x,y)=\int v(x-x^{\prime },y-y^{\prime }){\delta }_x\left(x^{\prime }\right){\delta }_x\left(y^{\prime }\right)d{x}^{\prime }d{y}^{\prime }$.
1) См. по этому поводу работу: Добрушин Р. Л., Минлос Р. А. Полиномы от линейных случайных функций. — УМН 32, № 2 (1977), с. 67-122.-Прим. ред.