Уравнение Бете – Солпитера применяется для изучения четырехточечной, а в общем случае и $n$-точечной функции при ограниченных $n, n \leqslant N$. Это уравнение содержит новую неизвестную $K-$ ядро Бете – Солпитера (и, таким образом, может считаться определением $K$ ). В предположении, что ядро $K$ аналитично в пространстве энергии-импульса, уравнение Бете-Солпитера можно применить к изучению спектра масс и состояний рассеяния с низкой энергией, которые имеют вид полиномов ограниченной степени
\[
\varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{j}\right) \Omega, \quad j \leqslant J \quad \text { (например, } j=2 \text { ). }
\]

Этот метод применим к задаче о связанных состояниях и резонансах, а также к вопросам асимптотической полноты при низких энергиях. Требуемые аналитические свойства ядра $K$ могут быть при малых константах доказаны для сверхперенормируемых моделей теории поля. Результаты, установленные к настоящему времени, приводят к ожидаемой картине, но все это еще не доказано с нужной степенью общности. Некоторые успехи достигнуты и в реализации обратной программы, т. е. установления аналитических свойств ядра $K$ исходя из предполагаемых свойств спектра масс [Bros, 1970], [Bros, LaSalle, 1977].

При $n=2$ уравнение Бете – Солпитера – это уравнение Дайсона. При $n=4$ уравнение Бете – Солпитера тоже имеет резольвентную структуру
\[
R=R_{0}-R_{0} K R .
\]

Для того чтобы упростить изложение, рассмотрим теорию с четным полиномом взаимодействия, в которой функции Швингера нечетного порядка равны нулю: $S^{(2 j+1)}=0$. Мы будем работать в евклидовом пространстве-времени. Оператор $R_{0}$, который играет роль «свободной резольвенты», по определению равен
\[
\begin{array}{l}
R_{0}(x, y)=S^{(2) T}\left(x_{1}-y_{1}\right) S^{(2) T}\left(x_{2}-y_{2}\right)+ \\
+S^{(2) T}\left(x_{1}-y_{2}\right) S^{(2) T}\left(x_{2}-y_{1}\right), \quad x=\left(x_{1}, x_{2}\right), \quad y=\left(y_{1}, y_{2}\right) .
\end{array}
\]

Кроме того,
\[
\begin{array}{l}
R(x, y)=\left\langle\varphi\left(x_{1}\right) \varphi\left(x_{2}\right), \quad\left(1-P_{\Omega}\right) \varphi\left(y_{1}\right) \varphi\left(y_{2}\right)\right\rangle= \\
=S^{(4)}\left(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}\right)-S^{(2)}\left(x_{1}-x_{2}\right) S^{(2)}\left(y_{1}-y_{2}\right),
\end{array}
\]

где $P_{\Omega}$-ортогональная проекция в евклидовом гильбертовом пространстве на подпространство, порожденное вакуумным вектором $\Omega \equiv 1$. Заметим, что имеются как обобщения уравнения (14.4.2), так и альтернативные ему уравнения, но мы здесь не обсуждаем эти вопросы.

В теории возмущений ядро $K$ определяется как сумма по всевозможным связным диаграммам с четырьмя внешними (урезанными) отростками, неприводимым относительно двухчастичного канала. Чтобы объяснить последний термин, в каждой диаграмме, дающей вклад в $K$, сопоставим двум из четырех внешних отро-

Рис. 14.4. Диаграммы для $K$ в модели со взаимодействием $P(\varphi)=\varphi^{4}$.
стков переменные $x$ (out-отростки), а двум остальным переменные $y$ (in-отростки). Тогда неприводимость относительно двухчастичного канала означает, что после стирания двух внутренних ребер диаграммы каждая связная компонента вновь получившейся диаграммы должна содержать по крайней мере один in-oтросток и один out-отросток (рис. 14.4). При этом компоненты, состоящие только из одного внешнего отростка, в этом определении не учитываются.

Вне рамок теории возмущений ядро $K$ определяется уравнением (14.4.2) [Glimm, Jaffe, 1975e]. Однако, пока нет никакой информации о ядре $K$, полученной из других источников, этот факт не представляет особого интереса. Для анализа функций $K$ и $R$ обсудим несколько общих аксиом. Мы будем различать частные утверждения, которые можно доказать для малых констант связи и которые служат для обоснования вычислений по теории возмущений, и более общие утверждения, которые должны быть справедливы для всех некритических теорий.
BS 1 (Полнота полиномиальных состояний). Для фиксированного значения энергии $E$ существует такое $J=J_{E}$, что состояния с энергией $\leqslant E$ не ортогональны семейству (14.4.1). В формуле (14.4.1) $\Omega \equiv 1$ является евклидовым вакуумом, т. е. $\Omega \in \mathscr{E}$, а $x_{v} \in R^{d}$ точка евклидова пространства-времени, причем координата времени $x_{d, v}$ неотрицательна. Евклидов вектор (14.4.1) в пространстве $\mathscr{E}$ проектируется в физическое гильбертово пространство $\mathscr{H}$.

Эта аксиома была проверена при малых константах связи в модели $\lambda P\left(\varphi_{2}\right)$ [Glimm, Jaffe, Spencer, 1974]. Здесь, правда, мы должны взять константу $\lambda=\lambda(E)$ достаточно малой. В частности, при анализе связанных состояний вблизи двухчастичного порога мы должны положить $E=4 m-\varepsilon, \varepsilon>0$, и рассмотреть векторы с $J=2$ в подпространстве четных состояний.
BS 2 (Решение одночастичной задачи). Самое слабое допущение – наличие изолированного одночастичного спектра. Более сильное – ограниченность функции $\widetilde{\Sigma}(p)$ и ее аналитичность в областях (в евклидовом пространстве)
для четных теорий: $\quad p^{2}>-(3 m)^{2}+\varepsilon \quad(14.4 .5 \mathrm{a})$

и
\[
\text { для нечетных теорий: } \quad p^{2}>-(2 m)^{2}+\varepsilon \text {. }
\]

Аналитичность $\tilde{\Sigma}(p)$ в областях (14.4.5) доказана для модели $\lambda p(\varphi)_{2}$ при малой константе связи [Spencer, 1975]. Однако этой области аналитичности соответствуют малые значения энергии связи, которые в случае полей общего вида могут оказаться и больними.
BS 3 (Аналитичность K). Самое слабое допущение состоит в том, что для фиксированного $E$ достаточно сложные ядра $K$ (при больших $n$ ) должны быть аналитическими в области $p^{2} \geqslant-E$.
При $n=2$ положим
\[
x_{\mathrm{tot}}=\left(x_{1}+x_{2}\right) / 2, \quad x_{\mathrm{re} 1}=\left(x_{1}-x_{2}\right) / 2
\]

и аналогично определим $y_{\text {tot }}, y_{\text {rel }}$. Пусть $p$ и $q$ обозначают евклидовы импульсы, сопряженные соответственно к $x$ и $y$. Тогда $p_{1}+$ $+p_{2}=p_{\text {tot }}$ и $p_{1}-p_{2}=p_{\text {rel }}$ сопряжены к $x_{\text {tot }}$ и $x_{\text {rel. }}$. То же самое верно для $q_{\text {tot }}$ и $q_{\text {rel }}$. В силу трансляционной инвариантности, ядро $K=K(x, y)$ является функцией только от разности аргументов. Это означает, что ядро оператора $K$ имеет преобразование Фурье вида
\[
\delta\left(p_{\mathrm{tot}}-q_{\mathrm{tot}}\right) \tilde{K}\left(p_{\mathrm{tot}}, p_{\mathrm{rel}}, q_{\mathrm{rel}}\right) .
\]

В подпространстве, в котором импульс принимает фиксированное значение $p_{\text {tot }}$, функция $\widetilde{\kappa}$ является ядром оператора из пространства функций от переменной $q_{\text {rel в }}$ в пространство функций от $p_{\text {rel }}$. В силу лоренц-инвариантности, без ограничения общности можно положить $p_{\text {tot }}=0$. Определим $E=i p_{\text {tot }}^{0}$. Предполагается, что в области
\[
|E| \leqslant 4 m-\varepsilon,\left|\operatorname{Im} p_{\mathrm{re} 1}\right| \leqslant m-\varepsilon,\left|\operatorname{Im} q_{\mathrm{re} 1}\right| \leqslant m-\varepsilon
\]

функция $R$ аналитична и ограничена. При малой константе связи в модели $P(\varphi)_{2}$ эта ограниченность была установлена для чуть меньших областей [Spencer, 1975]. При этом $\sup |\widetilde{K}|$ при $\lambda \rightarrow 0$ является величиной порядка $O(\lambda)$.
Резюмируем известные результаты.
I. Компактность оператора $K$, ограниченность $R_{0} u R$. Ниже мы введем пространства Пэли-Винера – Соболева $A_{\delta}$. При подходящем выборе пары пространств из семейства $A_{\delta}$ операторы $R_{0}$, $R$ и $K$ действуют из одного такого пространства в другое, причем $R_{0}$ и $R$ ограничены, а $K$ компактен.
II. Продолжение на другой лист. Функция $R_{0}$ аналитична всюду в области (14.4.6), кроме разрезов с началом в точках $E= \pm 2 m$. Эти точки являются для $R_{0}$ точками ветвления второго порядка, и функция $R_{0}$ аналитически продолжается на двулистную риманову поверхность при обходе вокруг точек ветвления. Из теории Фредгольма следует, что функция $R$ также имеет мероморфное продолжение на второй лист римановой поверхности функции $R_{0}$. Все полюсы функции $R$ на первом листе лежат на вещественной оси $E$ и совпадают с точечным спектром массового оператора (энергии связанных состояний). Полюсы функции $R$ на-втором листе интерпретируются как резонансы.
III. Спектральные свойства. Для четной $P(\varphi)_{2}$-теории с малой константой связи существует не более одного связанного состояния. В этой модели известна асимптотическая полнота при $E \leqslant 3 m-\varepsilon$ и получена матрица рассеяния для состояний: частица вместе со связанным состоянием (при всех значениях энергии). Для этой модели ряды теории возмущений являются асимптотическими.

Пространства $A_{\delta}$ состоят из функций от двух переменных: $x_{\text {rel }}=x_{\text {rel }}^{0}, \mathbf{x}_{\text {rel }}$. Здесь $\delta$ обозначает мультииндекс
\[
\delta=\left(\delta_{1}, \delta_{2}\right)=\left(\delta_{1}^{0}, \delta_{1}, \delta_{2}^{0}, \delta_{2}\right),
\]

а $\boldsymbol{\delta}$ – вещественный параметр (т. е. скаляр, а не вектор). Простейшее из этих пространств $A_{0}=L_{2}^{\text {sym }}$ является подпространством в. $L_{2}$, состоящим из функций, инвариантных при замене $x_{\text {ге1 }} \rightarrow$ $\rightarrow-x_{\text {rel }}$. Пространство $A_{\delta_{1}, 0}-$ это соболевское пространство
\[
A_{\delta_{1}, 0}=\left\{f:\left(-\partial_{x_{0, \text { rel }}}^{2}+(5 m)^{2}\right)^{\delta_{1}^{0} / 2} f \in A_{0},\left(-\partial_{\mathbf{x}_{\text {rel }}}^{2}+(5 m)^{2}\right)^{\delta_{1} /{ }^{2}} f \in A_{0}\right\} .
\]

Наконец,
\[
A_{\delta}=\left\{f: e^{\delta_{2}^{0}\left(x_{0, \mathrm{rel}+1}^{2}\right)^{1 / 2}} e^{\delta_{2}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{rel}}^{2}+1\right)^{1 / 2}} f \in A_{\delta_{1}, 0}\right\} .
\]

Простейшие свойства этих пространств изложены в работе [Glimm, Jaffe, 1979c]. (Приведенный там анализ функций, зависящих только от $\mathbf{x}_{\text {rel }}$, легко распространяется и на функции от $x_{0, \text { rel }}, \mathbf{x}_{\text {rel }}$.)

При $\delta_{2}>0$ пространство $A_{\delta}$ есть пространство фурье-образов функций, аналитических в полосе $\left|\operatorname{Im} p_{0 \text {, rel }}\right|<\delta_{2}^{0}$, |Im г $_{\text {ге }} \mid<\boldsymbol{\delta}_{2}$, а граничные значения на краях полосы после умножения на величину
\[
\left(p_{0, \text { rel }}^{2}+(5 m)^{2}\right)^{\delta_{1}^{0} / 2}+\left(\mathrm{p}_{\text {rel }}^{2}+(5 m)^{2}\right)^{8} /^{2}
\]

принадлежат пространству $L_{2}$. Если $\gamma \leqslant \delta$, то вложение $I(\delta, \gamma)$ : $A_{\delta} \rightarrow A_{\gamma}$ ограничено, а если $\gamma<\delta$ (это означает, что для всех четырех компонент $\gamma_{1}^{0}<\delta_{1}^{0}$ и т. д.), то вложение $I(\delta, \gamma)$ компактно.

Рассмотрим оператор $K$ как отображение пространств $A_{\delta} \rightarrow A_{\gamma}$. В силу аксиомы аналитичности BS 3 , действие $K$ увеличивает значение $\delta_{2}$, а так как ядро $K$ всего лишь ограничено (а не лежит, например, в $L_{2}$ ), то $K$ уменьшает величину $\delta_{1}$. В частности, если выбрать значения $\gamma, \delta$ так, как это указано ниже, то $K$ будет компактным оператором и даже оператором Гильберта – Шмидта:
\[
\begin{array}{ll}
\delta_{1}^{0}, \delta_{1}>1, & \gamma_{1}^{0}, v_{1}<-1, \\
\delta_{2}^{0}, \delta_{2}>-m, & \gamma_{2}^{0}, \boldsymbol{v}_{2}<m .
\end{array}
\]

Оператор $R_{0}$ как отображение пространств $A_{\delta} \rightarrow A_{\gamma}$ оказывает противоположное действие на индексы $\delta$. Как показано в $\$ 14.3$, можно написать $S^{(2) T}=Z S_{0}^{(2) T}+$ остаточный член, причем остаточный член, рассматриваемый как оператор, действующий на функции в импульсном пространстве, не нарушает их аналитичности и сохраняет степенно́е убывание. Аналогично, $R_{0}$, рассматриваемый как оператор умножения в импульсном пространстве, может быть записан в виде
\[
\frac{Z}{p_{1}^{2}+m^{2}} \frac{Z}{p_{2}^{2}+m^{2}}+\text { остаточный член, }
\]

где остаточный член может лишь увеличить индексы $\delta_{1}$ и $\delta_{2}$. Все необходимые свойства остаточного члена вытекают из предположения BS 3 об аналитичности и ограниченности. Первое слагаемое в сумме (14.4.8) перепишем в виде
\[
R_{00}=\frac{16 Z^{2}}{\left[\left(p_{0, \mathrm{rel}}-i E\right)^{2}+\mathrm{p}_{\mathrm{rel}}^{2}+4 m^{2}\right]\left[\left(p_{0, \mathrm{rel}}+i E\right)^{2}+\mathrm{p}_{\mathrm{rel}}^{2}+4 m^{2}\right]} .
\]

Оператор $A_{\gamma}^{*}$, где * понимается как сопряжение относительно скалярного произведения в $L_{2}$, оказывается равным $A_{-\gamma}: A_{\gamma}^{*}=A_{-\gamma}$. Поэтому мы рассматриваем $R_{00}$ как ограниченную билинейную форму на тензорном произведении $A_{-\gamma} \times A_{8}$. Поскольку пространство $A_{\delta}$ определяется с помощью симметричного пространства
$L_{2}^{\text {sym }}$, верно равенство $\stackrel{\widetilde{g}}{g}(p)=-\widetilde{\widetilde{g}}(p) \in A_{\delta}$, причем, скалярное произведение
\[
\left\langle\tilde{g}, R_{00} \tilde{f}\right\rangle=\int \overline{\tilde{g}}\left(p_{\text {rel }}\right) R_{00}\left(p_{\text {rel }}\right) \tilde{f}\left(p_{\text {rel }}\right) d p_{\text {rel }}
\]

имеет аналитическое продолжение в полосу (по переменной $E$ ). Итак, мы считаем, что $g \in A_{-\gamma}, f \in A_{\delta}$ и $\delta_{2}^{0}, \quad \delta_{2}>m-\varepsilon, \quad \gamma_{2}^{0}, \quad \gamma_{2}<$ $<-m+\varepsilon$.

Интеграл по $d p_{0, \text { rе }}$ может быть вычислен как интеграл по верхней границе полосы плюс вычет в полюсе, лежащем в верхней части полосы. Первое из этих двух слагаемых ограничено и аналитично по $E$ (вне разреза) при условии, что
\[
\delta_{1}^{0}, \delta_{1} \geqslant-2, \quad \gamma_{1}^{0}, v_{1} \leqslant 2 .
\]

Второй член аналитичен при всех $\delta_{1}^{0}, \gamma_{1}^{0}$ и ограничен при
\[
\boldsymbol{\delta}_{1} \geqslant-3 / 2, \quad \boldsymbol{\gamma}_{1} \leqslant 3 / 2 .
\]

При этом для таких значений $\delta, \gamma$ второе слагаемое допускает аналитическое продолжение по переменной $\zeta=\left(4 m^{2}-E^{2}\right)^{1 / 2}$ через разрез.
Объединяя все полученные оценки, находим, что ряд Неймана
\[
R=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-R_{0} K\right)^{n} R_{0}
\]

сходится и при
\[
-3 / 2 \leqslant \delta_{1}^{0}, \boldsymbol{\delta}_{1}<-1, \quad 0<\delta_{2}^{0}, \boldsymbol{\delta}_{2}<m-\varepsilon
\]

определяет ограниченный оператор из $A_{\delta}$ в $A_{\delta}$. Кроме того, при малых $\lambda$ этот оператор допускает мероморфное продолжение по переменной $\zeta$ как ограниченный оператор из $A_{\delta}$ в $A_{\delta}$.

Дальнейший анализ спектра и рассеяния следует той же общей схеме, что и в случае потенциального рассеяния (см. [Spencer, Zirilli, 1976], [Dimock, Eckmann, 1976, 1977]). Регуляризации неприводимых ядер Бете – Солпитера высших порядков изучаются в работе [Combescure, Dunlop, 1979].