Перенормировка есть изменение параметров (перепараметризация) в лагранжиане. Параметры в исходном лагранжиане не являются непосредственно наблюдаемыми величинами, и перепараметризация делается для того, чтобы заменить разложение по теории возмущений, использованное в § 8.4, разложением, включающим лишь наблюдаемые величины: массы частиц и константы связи. Массы определяются как собственные значения в спектре массового оператора $M=\left(H^{2}-\mathbf{P}^{2}\right)^{1 / 2}$. При этом каждому значению массы соответствует лоренц-инвариантный гиперболоид в спектре оператора энергии-импульса. Эквивалентным образом массу можно определить как показатель экспоненциального убывания корреляций (см. гл. 14). Константы связи определяются в терминах теории рассеяния. В частности, в нерелятивистском пределе рассеяния константа связи определяется характером взаимодействия между частицами на больших расстояниях. Бозонным теориям, рассматриваемым в этом параграфе, в нерелятивистском пределе обычно отвечают короткодействующие потенциалы типа Юкавы. При этом характерное асимптотическое поведение потенциала на больших расстояниях имеет вид
\[
V(r)=(\lambda / 4 \pi r) e^{-m r}+O\left(\varepsilon^{-(m+\varepsilon) r}\right),
\]

где $\lambda$ есть константа связи, а $m>0$ – масса. Параметры $\lambda$ и $m$ являются функциями от параметров $\lambda_{b}$ и $m_{b}$, входяцих в исходный лагранжиан $\mathscr{L}$. Так как теория поля должна описывать наблюдаемые частицы, нам бы хотелось подобрать $\lambda_{b}$ и $m_{b}$ так, чтобы $\lambda$ и $m$ имели предписанные значения. Другими словами, мы обращаем функциональные соотношения $\lambda=\lambda\left(\lambda_{b}, m_{b}\right), m=m\left(\lambda_{b}, m_{b}\right)$. После этого можно рассматривать лагранжиан как функцию (не обязательно однозначную) от $\lambda$ и $m$, определяемую обратными соотношениями $\lambda_{b}=\lambda_{b}(\lambda, m), m_{b}=m_{b}(\lambda, m)$. Перенормированная теория должна определять связанные состояния (другие собственные значения $M$ ) и дифференциальные сечения рассеяния, резонансы, вероятности рождения и распада частиц, отношение ширин распадов и т. д. Таким образом, фиксируя $\lambda$ и $m$, мы выделяем некоторую конкретную теорию поля из двупараметрического семейства таких теорий. После того как этот выбор произведен, теория должна предсказывать любое наблюдение.

Второй, более технический, подход к понятию перенормировки связан с сокращением расходимостей, возникающих при вычислениях по теории возмущений. С математической точки зрения эти
1) В этом параграфе основные идеи и понятия теории перенормировок поля в рамках теории возмущений изложены столь кратко, что читателю, по-видимому, следует обратиться к более подробным руководствам (см., например, Ахиезер А. И. и Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. – М.: Наука, 1969, или [Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., 1976]. – Прим. ред.

расходимости появляются из-за того, что функционал $V(\varphi)$ в случае нелинейной функции $V$ нельзя корректно определить на пространстве обобщенных функций $\mathscr{P}^{\prime}$. Такой подход к перенормировкам обобщает идею перепараметризации, описанную выше. Мы вновь рассматриваем $\lambda_{b}$ и $m_{b}$ как функции от $\lambda$ и $m$. При этом конечным значениям $\lambda$ и $m$ могут отвечать бесконечные $\lambda_{b}$ и $m_{b}$. Таким образом, перепараметризация изменяет потенциал так, что коэффициенты $\lambda_{b}$ и $m_{b}$ в $\mathscr{L}$ становятся бесконечными, причем бесконечности сокращаются при вычислении $m$ или $\lambda$. В результате в перенормированной теории наб̆людаемые величины имеют конечные значения.

Рассмотрим более подробно перепараметризацию на примере теории поля $\varphi^{4}$. Голый евклидов лагранжиан имеет вид
\[
\mathscr{L}_{b}(\varphi)=\int\left(\frac{1}{2}(
abla \varphi)^{2}+\frac{1}{2} m_{b}^{2} \varphi^{2}+\lambda_{b} \varphi^{4}\right) d x .
\]

Здесь $m_{b}$ есть голая масса, а $\lambda_{b}$ – голая константа связи. Положим $\varphi=\varphi_{b}$ и запишем перепараметризацию в виде
\[
\begin{array}{c}
m^{2}=m_{b}^{2}+\delta m^{2}, \quad \varphi_{r}=Z_{\varphi}^{-1 / 2} \varphi, \\
\lambda=\lambda_{b} Z_{\lambda}^{-1} Z_{\varphi}^{2}=\left(\lambda_{b}+\delta \lambda\right) Z_{\varphi}^{2},
\end{array}
\]

где $m, \lambda$ и константа перенормировки поля $Z_{\varphi}$ будут определены позднее. Тогда перенормированный лагранжиан $\mathscr{L}_{r}$ определяется выражением
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}_{r}\left(\varphi_{r}\right)=\mathscr{L}_{b}(\varphi) & =\int\left\{\frac{1}{2}\left(
abla \varphi_{r}\right)^{2}+\frac{1}{2} m^{2} \varphi_{r}^{2}+\lambda \varphi_{r}^{4}+\frac{1}{2}\left(Z_{\varphi}-1\right)\left(
abla \varphi_{r}\right)^{2}+\right. \\
& \left.+\frac{1}{2}\left(m^{2}\left(Z_{\varphi}-1\right)-\delta m^{2} Z_{\varphi}\right) \varphi_{r}^{2}-Z_{\varphi}^{2} \delta \lambda \varphi_{r}^{4}\right\} d x .
\end{aligned}
\]

Теперь мы будем рассматривать $\lambda$ и $m$ как основные параметры теории, а $\delta m^{2}, Z_{\varphi}$ и $\delta \lambda$ как функции от $\lambda$ и $m$, задаваемые в виде рядов по степеням $\lambda$ с коэффициентами, зависящими от $m$. Эти степенные ряды будут определяться из того условия, что $\lambda$ и $m$ выбраны соответственно как физическая константа связи и масса физической частицы. Константа $Z_{\varphi}$ будет определена с помощью дополнительных соглашений.

Введенная таким образом перепараметризация лагранжиана порождает в описанных в § 8.4 диаграммах теории возмущений новые вершины, соединенные новыми ребрами. Члены $\frac{1}{2}\left(
abla \varphi_{r}\right)^{2}+$ $+\frac{1}{2} m^{2} \varphi_{r}^{2}$ в $\mathscr{L}_{r}\left(\varphi_{r}\right)$ определяют ковариацию и гауссову меру, с помощью которой строятся ряды теории возмущений. Новая ковариация определяет значения, приписанные ребрам в графах перенормированного разложения. Каждой $\varphi^{4}$-вершине в разложении из §8.4 соответствуют теперь два члена: один, отвечающий $\lambda \varphi_{r}^{4}$-вершине, -и другой, отвечающий $\delta \lambda \varphi_{r}^{4}$-вершине. Разлагаются также остальные квадратичные члены $-\frac{1}{2}\left\langle\varphi_{r}, \delta Q \varphi_{r}\right\rangle$ лагранжиана (9.4.4). Здесь
\[
\frac{1}{2}\left\langle\varphi_{r}, \delta Q \varphi_{r}\right\rangle=\frac{1}{2}\left(1-Z_{\varphi}\right)\left(
abla \varphi_{r}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\delta m^{2} Z_{\varphi}+m^{2}\left(1-Z_{\varphi}\right)\right) \varphi_{r}^{2} .
\]

Разложение квадратичных членов можно связать с рассмотрениями $\S 9.3$. Действительно, ковариация для $\mathscr{L}$, равна $C_{r}=$ $=\left(-\Delta+m^{2}\right)^{-1}$, а ковариация для $\mathscr{L}_{b}$ равна $C_{b}=\left(-\Delta+m_{b}^{2}\right)^{-1} Z_{\varphi}^{-1}$ (если в качестве переменной интегрирования в обоих случаях использовать $\varphi_{r}$ ). Тогда, согласно $\$ 9.3, C_{r}^{-1}=C_{b}^{-1}+\delta Q$, где $\delta Q$ обозначает ядро квадратичной формы $\delta Q$, определяемой формупой (9.4.5).

Ряд Неймана, выражающий $C_{b}$ через $C_{r}$, можно записать в виде суммы графов Фейнмана (рис. 9.2). Подставляя это графическое
\[
\frac{}{C_{b}}=\frac{\delta Q}{C_{r}}+\frac{C_{r}}{C_{r}}+\cdots
\]

Рис. 9.2.
представление ряда Неймана в неперенормированное разложение $\S 8.4$, получаем перенормированное разложение, содержащее перенормированные ребра с пропагатором $C_{r}$ и $\delta Q$-вершины.

Мы утверждаем, что комбинаторная структура диаграмм, содержащих $\delta Q$-вершины, в точности соответствует комбинаторной структуре некоторого класса поддиаграмм нашего разложения. Это комбинаторное соответствие позволяет указать подобные члены. Затем, сравнивая подобные члены, мы обнаруживаем, что они частично сокращаются. Таким образом происходит сокращение бесконечностей в перенормированной теории возмущений. Фактически вклад в $\delta m^{2}$ и $Z_{\text {д }}$ дают как $\delta Q$-члены, так и соответствующие им члены разложения. Определение $\delta \mathrm{m}^{2}$ и $Z_{\text {ф }}$ фиксирует $\delta Q$ и приводит к частичному сокращению.

Диаграммы, подобные по комбинаторной структуре $\delta Q$-диаграммам, называются массовыми диаграммами. Такие диаграммы имеют два внешних отростка и не распадаются на несвязанные части при выбрасывании одного ребра (одночастично-неразложимые диаграммы, или 1 ЧН).

Определим массовые скелетные диаграммы как диаграммы (с произвольным числом внешних отростков), не содержащие массовых диаграмм в качестве поддиаграмм, за исключением отдельных ребер (пропагаторов). Общей диаграмме отвечает массовая скелетная диаграмма, которая получается превращением каждой линейной цепочки массовых диаграмм в отдельный пропагатор. Пропагатор в скелетной диаграмме имеет структуру ряда Неймана (рис. 9.2), и поэтому общую диаграмму можно восстановить по ее массовой скелетной диаграмме, вставляя в последнюю произвольным образом массовые диаграммы. Каждая $\delta Q$-вершина также является массовой диаграммой, и ее вклад выбирается таким образом, чтобы сократить вклад от других массовых диаграмм. Это приводит к сдвигу спектра масс и изменению величины поля.

Аналогичные соображения применимы к вершинным диаграммам. В случае $\varphi^{4}$-теории вершинные диаграммы имеют четыре внешних отростка и не распадаются при выбрасывании двух или одного внутреннего ребра (двухчастично-неразложимые диаграммы, или $2 Ч \mathrm{H}$ ). K вершинным диаграммам относятся и $\delta \lambda$-вершины. Bсе вершинные диаграммы имеют одинаковую комбинаторную структуру. Вершинная скелетная диаграмма не содержит вершинных поддиаграмм, за исключением отдельных $\lambda \varphi^{4}$-вершин. Общая диаграмма может быть построена из вершинной скелетной диаграммы, если в нее вставить вершинные поддиаграммы. Для вершинных диаграмм также происходит частичное сокращение (связанное с $\delta \lambda$-вершинами).

Полной скелетной диаграммой называется диаграмма, являющаяся одновременно массовой скелетной и вершинной скелетной диаграммой. Так как для вершинной перенормировки необходимо производить вставки массовых диаграмм и наоборот, то массовую и вершинную перенормировки нужно делать одновременно в виде вставок массовых и вершинных диаграмм в полные скелетные диаграммы.

Следующий этап перенормировки состоит в явном определении $\delta m^{2}, \delta \lambda$ и $Z_{\text {p в }}$ в соответствии с исходными данными (массами частиц и данными рассеяния). Это мы отложим до $\$ 14.3$, поскольку к тому времени у нас будет больше теоретических средств для решения этой задачи. В результате $\delta m^{2}, \delta \lambda$ и $Z_{\mathbb{Q}}$ будут представлены в виде рядов по степеням $\lambda$. Коэффициент при $\lambda^{n}$ выбирается так, чтобы обеспечить сокращение в массовых и вершинных диаграммах порядка $\lambda^{n}$. Если диаграмма содержит массовые или вершинные поддиаграммы, то эти поддиаграммы можно включить в сокращенном виде, т. е. в виде конечной суммы двух частично сокращающихся поддиаграмм. Массовые и вершинные диаграммы в низших порядках теории возмущений для взаимодействия $\varphi^{4}$ приведены в § 14.3.

Теория поля называется перенормируемой, если каждая скелетная диаграмма с произвольными вставками перенормированных (т. е. частично сокращенных) массовых \”и вершинных поддиаграмм задает абсолютно сходящийся интеграл по пространству $R^{n}$ при некотором $n$ (как в § 8.2). Поля $\varphi^{4}$, Юкавы, Дирака, Максвелла, КЭД и Янга – Миллса являются перенормируемыми в размерностях $d \leqslant 4$ : см. [Боголюбов, Парасюк, 1957], [Нерр 1971], ‘[‘t Hooft, 1971a, b], [Abers, Lee, 1973] и [Becchi, Rouet, Stora,

1976]. Существует общее правило: теория перенормируема, если константа связи имеет размерность (длина) $j$, где $j \leqslant 0$. Сверхперенормируемость теории означает, что расходимости появляются только в конечных порядках теории возмущений по $\lambda$. В этом случае константа связи имеет размерность (длина) ${ }^{j}$ и $j<0$. Такие поля, как $\varphi^{4}$, КЭД, поле Янга – Миллса сверхперенормируемы, когда $d \leqslant 3$, и перенормируемы при $d=4$. Перенормируемые, но не сверхперенормируемые теории имеют безразмерную константу связи, например константа тонкой структуры $\alpha=e^{2} / 4 \pi \hbar c$ в электродинамике или $\lambda$ в модели $\varphi^{4}$. Эти теории характеризуются также тем, что неравенство Соболева, с помощью которого член со взанмодействием в евклидовом действии мажорируется его кинетической (свободной) частью, может превращаться в равенство.

Безмассовым теориям отвечают специальные значения $m_{b}$ и $\lambda_{b}$; см. гл. 17. Перенормировка в таких теориях сложнее.